2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第11讲 立体几何中的外接球、内切球问题（思维导图+知识串讲+10大考点+复习提升）（学生版）

PAGE1第11讲立体几何中的外接球、内切球问题内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点01外接球模型一：墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．知识点04外接球模型四：垂面模型1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．知识点06内切球思路：1、等积法思路以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．2、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．3、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．4、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．5、棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【考点一：墙角模型】一、单选题1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．4．（24-25高一下·湖北·开学考试）在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（

）A． B． C． D．【考点二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型】一、单选题1．（23-24高一上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为．【考点三：其他补成长方体模型】一、单选题1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于.【考点四：直棱柱、圆柱的外接球模型】一、单选题1．（23-24高一上·河北唐山·开学考试）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·广东潮州·期中）已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．4．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．5．（2024高一·全国·专题练习）已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（

）A． B． C． D．【考点五：正棱锥、圆锥及侧棱相等模型】一、单选题1．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，圆锥的顶点及底面圆的圆周都在球的球面上，且圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，则球的表面积为（

）

A． B． C． D．2．（23-24高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·福建莆田·期中）在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·浙江金华·期中）体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（

）A． B． C． D．【考点六：垂面模型】1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·广东·月考）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（

）A．96π B．84π C．72π D．48π5．（2025·四川德阳·二模）在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【考点七：棱柱、圆柱内切球】一、单选题1．（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（

）A． B．2 C． D．32．（23-24高一下·重庆长寿·期末）某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·全国·课后作业）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（

）A． B． C． D．【考点八：圆锥、圆台内切球】一、单选题1．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（

）

A． B． C． D．5．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（

）A． B． C． D．【考点九：棱锥内切球】一、单选题1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（

）A． B． C． D．2．（2024·山东烟台·一模）如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为A． B． C． D．4．（23-24高一下·全国·月考）若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（

）A． B．4 C． D．【考点十：棱切球】一、单选题1．（23-24高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（

）A． B． C． D．3．（2024·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为.5．（23-24高一下·河南·月考）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为．一、单选题1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，三棱锥的三条棱两两互相垂直，且，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·河北张家口·月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．（23-24高一下·广东汕尾·期末）已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．6．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（）A． B． C． D．7．（24-25高一下·湖北·月考）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（

）A． B． C． D．8．（24-25高一下·福建福州·期中）已知圆台上、下底面的半径分别为2，4，圆台的高为6．若该圆台的两个底面的圆周都在同一个球的表面上，则这个球的半径为（

）A．3 B． C．4 D．9．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，PA为球O的直径，且，则点P到底面ABC的距离为（

）A．4 B． C． D．10．（23-24高一下·浙江金华·期末）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．11．（24-25高一上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（

）A．24 B．32 C．96 D．12812．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．13．（23-24高一下