2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第12讲 概率与统计重点题型全归纳（思维导图+知识串讲+8大考点+复习提升）（学生版）

第12讲概率与统计重点题型全归纳

内容导航

串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01分层随机抽样

1、分层随机抽样的必要性

简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能出现比较“极端”

的样本，从而使得估计出现较大的偏差，这时候我们可以考虑采用一种新的抽样方法——分层随机抽样。

2、分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总

体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为

分层随机抽样，每一个子总体称为层．

3、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为

比例分配，即：

样本中第n层的个体数样本容量

（1）

总体中第n层的个体数总体容量

总体中第m层的个体数样本中第m层的个体数

（2）

总体中第n层的个体数样本中第n层的个体数

1

4、分层随机抽样使用的原则

（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原

则；

（2）分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层

个体数量的比等于抽样比．

5、分层随机抽样的步骤

（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；

（2）求比：抽样比；

????

（3）定数：按抽样比�=确?定???每层抽取的个体数；

（4）抽样：每层分贝按简单随机抽样的方法抽取样本

（5）成样：综合各层抽样，组成样本。

知识点02分层随机抽样的平均数计算

1、总体平均数和样本平均数的计算

在分层随机抽样中，如果层数为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽样的样本容量分别

为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为X和Y，第1层、第2层的样本平均数分别为x和y，总

体平均数为W，样本平均数为，则

MXNYMN

（1）WXY

MNMNMN

mxnymn

（2）xy

mnmnmn

2、用样本平均数估计总体平均数

由于第1层的样本平均数x可以估计第1层的总体平均数X，用第2层的样本平均数y可以估计第2层的

MxNyMN

总体平均数Y，因此可以用xy估计总体平均数W.

MNMNMN

mnmn

在比例分配的分层随机抽样中，，

MNMN

MNmn

所以xyxy

MNMNmnmn

因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数为W.

知识点03频率分布直方图

1、频率分布直方图

（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：

2

①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；

极差

②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且组距=；

组数

③将数据分组：通常对组内数值所在左闭右开区间，最后一组取闭区间；

也可以将样本数据多取一位小数分组．

④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．

频率

⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。

组距

（2）频率分布直方图的特点：

频率

①小长方形的面积=组距=频率，

组距

②个小长方形的面积等于1，

频率1

③小长方形的高=，所有小长方形的高的和=．

组距组距

（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，

一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．

（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，

频率分布直方图可以用一条光滑曲线yf(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．

总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．

2、根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数

（1）频率分布直方图中的“平均数”：因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布

直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．

（2）频率分布直方图中的“中位数”：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也

就有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该

相等，由此可估计中位数的值。

（3）频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横

坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替。

知识点04总体百分位数的估计

1、第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%

的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

2、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；

3

若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

知识点05总体集中、离散趋势的估计

1、相关概念

（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；

（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，

若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。

xxx

（3）平均数：设样本的数据为x，x，，x,则样本的算术平均数为x12n；

12nn

2、众数、中位数和平均数的比较

名称优点缺点

与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越

平均数

信息，对样本中的极端值更加敏感“离群”，对平均数的影响越大

不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数

中位数对极端值不敏感

据)的影响

众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值

众数体现了样本数据的最大集中点

不敏感

3、平均数相关结论：

①如果两组数x1,x2,,xn和y1,y2,,yn的平均数分别是x和y，则一组数x1y1,x2y2,,xnyn的平均数

是xy；

②如果一组数x1,x2,,xn的平均数为x，则一组数kx1,kx2,,kxn的平均数为kx。

③如果一组数x1,x2,,xn的平均数为x，则一组数x1a,x2a,,xna的平均数为xa

4、用样本的标准差估计总体的标准差

（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；

（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；

（3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；

，，，

一般地，设样本的数据为x1x2xn，样本的平均数为x，

(xx)2(xx)2(xx)2

定义样本方差为s212n；

n

11

简化公式：s2[(x2x2x2)nx2]=(x2x2x2)x2

n12nn12n

（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）

（4）样本的标准差是方差的算术平方根．

4

(xx)2(xx)2(xx)2

样本标准差s12n，s0．

n

标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．

（5）方差相关结论：

22

①如果一组数x1,x2,,xn的方差为s，则一组数x1a,x2a,,xna的方差为s；

222

②如果一组数x1,x2,,xn的方差为s，则一组数kx1,kx2,,kxn的方差为ks。

知识点06事件的关系和运算

1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，

也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，

则称事件A与事件B互斥(或互不相容)

2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，

即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．

－

事件A的对立事件记为A

3、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，

我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，

即B⊇A(或A⊆B)，

特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，

则称事件A与事件B相等，记作A＝B

4、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，

这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，

则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)

5、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生，

5

这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，

则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)

知识点07古典概型

1、古典概型的定义

我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

2、古典概型的判断标准

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所

有的试验都是古典概型.

3、古典概型的概率计算公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义

事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.

知识点08概率的基本性质

1、概率的基本性质

性质1对任意的事件A，都有P（A）≥0.

性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）=1，

P()=0.

性质3如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.

推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件

发生的概率等于这m个事件分别发生的概率

之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），

P(A)=1P(B).

性质5如果，那么P（A）≤P（B）.

性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P

（A）＋P（B）P（）.

2、复杂事件概率的求解策略

6

(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是

这些简单事件的概率的和.

(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，

然后转化为所求问题.

注：概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，

P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.

知识点09事件的相互独立性

1、定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为

独立．

概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事

件A发生的概率；

（2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为

必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事

件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。

2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。

3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件A与事件B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)

、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相

4n(n2,nN)A1,A2,,An

互独立，则这个事件同时发生的概率

nP(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)

知识点10判断事件是否相互独立的方法

1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是

从定性的角度进行判断。

2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.

用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：

（1）用恰当的字母表示题中有关事件；

（2）根据题设条件，分析事件间的关系；

（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足

相互独立)；

（4）利用乘法公式计算概率．

知识点11相互独立事件的概率计算公式

已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有

7

事件表示概率

A，B同时发生ABP(A)P(B)

A，B都不发生ABP(A)P(B)

A，B恰有一个发生ABABP(A)P(B)P(A)P(B）

A，B中至少有一个发生ABABABP(A)P(B)P(A)P(B）P(A)P(B）

A，B中至多有一个发生ABABABP(A)P(B)P(A)P(B）P(A)P(B）

【考点一：分层随机抽样】

一、单选题

1．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）一个公司共有名210员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个

容量为30的样本．已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（）

A．9B．6C．10D．8

2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样

的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为50，则n的值为（）

A．100B．120C．150D．180

3．（24-25高一下·河南周口·月考）某校高一年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试

结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则

n（）

A．20B．30C．40D．48

4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）某中学高一学生500人，其中男生300人，女生200人﹐现获得全体学

生的身高信息，采用样本量比例分配的分层抽样方法，抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本

均值为171cm，方差为29cm2；女生身高样本均值为161cm，方差为19cm2，下列说法中不正确的是（）

1

A．男生样本容量为30B．每个男生被抽入到样本的概率均为

10

C．所有样本的均值为167cmD．所有样本的方差为45cm2

二、填空题

5．（23-24高一下·福建福州·期末）某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生

的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和22

x1,x2S1,S2.

22

若x1x2,S120,S230，则该校高一年级全体学生身高的方差为.

8

【考点二：频率分布直方图】

一、多选题

1．（24-25高一下·浙江金华·期中）饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分

类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持

续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单

位：个），并按10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分组，分别得到频率分布直方图如下：下列

说法正确的是（）

A．A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41

160

B．B班5月产生饮料瓶数的第75百分位数x

23

C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在40,50之间

D．m0.025

2．（2025·四川自贡·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对A、B两

个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图

（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为a1、x1、b1、s1，乙组同学所

得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为a2、x2、b2、s2.则下列判断正确的有（）.

A．a1a2且x1x2.B．b1b2且s1s2.

C．a1x1且a2x2.D．b1a1x1.

9

二、解答题

3．（24-25高一下·吉林长春·月考）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符

合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：

分组（单位：岁）频数频率

[20,25)50.05

[25,30)①0.20

[30,35)35②

[35,40)300.30

[40,45)100.10

总计1001.00

(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？

(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；

(3)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35,40)、[40,45)的样本中共抽取n名志愿者，已知从[40,45)中

抽取了2人，求n的值．

4．（24-25高一下·广西贵港·月考）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一

个容量为100的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为

92,94，94,96，96,98，98,100，100,102，102,104，104,106七组，其频率分布直方图如图所

示．

10

(1)求图中的x值；

(2)根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从94,96，100,102两个区间共抽取出7个产品，则每个

区间分别应抽取多少个产品；

(3)记产品尺寸在98,102内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在92,94内为不合格品，每件亏损2元；

其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频

率，若单月利润未能达到10000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实

施升级改造．

5．（24-25高一下·云南昆明·期中）云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学

生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数xi(i1,2,,300)全部介于45分到95分之间，学校将

所有分数分成5组：[45,55)，[55,65)，…，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这

组数据的中间值作为代表）．

(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；

(2)学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果

保留一位小数）；

2

(3)试估计这300名学生的分数xi(i1,2,,300)的方差s，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成

绩是否进人到了xs,xs范围内？

n

12

2

（参考公式：sfixix，其中fi为各组频数，参考数据：12911.4）．

ni1

6．（24-25高一下·江西抚州·期中）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为

样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100，

得到如图所示的频率分布直方图.

11

(1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第80百分位数；

(2)已知落在区间50,60的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间60,70的样本平均成绩为66，方差是4，

求两组样本成绩合并后的平均数z和方差s2.

参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，

222212222

x，s；n，y，s记总的样本平均数为，样本方差为s，则sms1xns2y.

12mn

【考点三：总体百分位数的估计】

一、单选题

1．（23-24高一下·山东淄博·期末）已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（）

A．1B．2C．3D．4

3

2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）如图所示，某市5月1日到10日PM2.5日均值（单位：ug/m）变化

的折线图，则该组数据的第54百分位数为（）

A．45B．48C．60D．80

3．（24-25高一上·河南南阳·期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，

18，a，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则a（）

A．20B．21C．23D．24

4．（23-24高一下·天津南开·月考）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，

成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）

12

①a的值为0.005

②估计这组数据的众数为75

③估计这组数据的下四分位数为60

④估计成绩高于80分的有300人

A．1B．2C．3D．4

5．（23-24高一下·新疆伊犁·期末）某校高一年级一共有1500名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的

第70百分位数是92分，则数学成绩不小于92分的人数至少为（）

A．420B．350C．450D．400

二、填空题

6．（2024高一下·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小

颗粒物的浓度（单位：μg/m3），数据依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,mm50．已知这组数据的极

差为40，则这组数据的第m百分位数为.

【考点四：平均数、方差等数据特征的计算】

一、单选题

1．（24-25高一下·广西贵港·月考）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，

随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲

座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（）

A．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

C．讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是90%

13

D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

12345678910

讲座前65%60%70%60%65%75%90%85%80%95%

讲座后90%85%80%90%85%85%95%100%85%100%

2．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）设一组样本数据x1,x2,,xn的平均数为3，方差为4，则数据

3x11,3x21,,3xn1的标准差为（）

A．12B．33C．6D．36

3．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知一个样本容量为10的样本平均数为5，方差为1.6.现将样本中的3

个数据4,5,6去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数x和s2是（）

A．5，1B．5，2C．5，3D．4，3

2

4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知互不相等的一组数x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8的平均数为x8，方差为s1，

2

若x1,x2,x3，x4,x5,x6,x7的方差为s2，则（）

2222

A．s1s2B．s1s2

2222

C．s1s2D．s1与s2的大小关系不确定

5．（2025高一·全国·专题练习）已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数

和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（）

A．6B．6.5C．7D．7.5

二、多选题

6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数

是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，

其中肯定能通过选拔的是（）

A．甲选手：平均数为8，众数为7B．乙选手：平均数为9，方差为1

C．丙选手：中位数为7，众数为8D．丁选手：中位数为9，极差为2

7．（24-25高一下·四川广安·月考）已知数据x1,x2,,x6的平均数为10，方差为1，且yi2xi4i1,2,,6，

则下列说法正确的是（）

A．数据y1,y2,,y6的方差为4；

B．数据y1,y2,,y6的平均数为24；

C．数据x1,x2,,x6,10的平均数为10，方差大于1；

D．若数据x1,x2,,x6的中位数为m，75%分位数为n，则mn.

8．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知样本数据x1,x2,,x10,y1,y2,y10，则下列命题正确的是（）

14

yy

A．该样本数据的上四分位数为56

2

2

B．若该样本数据的方差s0，则x1x2x10y1y2y10

C．数据x1,x2,,x10分别为1,1,2,2,2,0,3,3,2,4，若数据y1,y2,,y10满足yi5xi10(i1,2,,10)，则数

据y1,y2,,y10的平均数为20

2；2

D．若x1,x2,,x10的平均数为x，方差为s1y1,y2,,y10的平均数为y，方差为s2，样本的平均数为，

[s2(x)2][s2(y)2]

则样本的方差为s212

2

【考点五：事件的关系与运算】

一、多选题

1．（24-25高一上·河南信阳·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中

不放回依次摸出2个球，记A“恰有一次摸到红球”，B“两次都摸到红球”，C“两次都摸到黄球”，D=“至

少有一次摸到红球”，E“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（）

A．事件A与事件B是互斥事件B．事件B与事件C是对立事件

C．事件C与事件D是对立事件D．事件D与事件E是互斥事件

2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）某同学参加3次不同测试，用事件Jii1,2,3表示随机事件“第

ii1,2,3次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（）

A．J1J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格

B．J2J3表示后两次测试成绩均不及格

C．J1J2J3表示三次测试成绩均及格

D．J1J2J3表示三次测试成绩均不及格

3．（23-24高一下·河南开封·期末）已知PA0.5，PB0.3，则下列说法中正确的是（）

A．如果BA，那么PAB0.5B．如果BA，那么PAB0.3

C．如果A,B互斥，那么PAB0.8D．如果A,B互斥，那么PAB0.15

4．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件

A“两次都击中飞机”，事件B“两次都没击中飞机”，事件C“恰有一次击中飞机”，事件D=“至少有一

次击中飞机”，则（）

A．ADB．BD

C．ACDD．ACBD

5．（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是

（）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件

15

B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件

C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件

6．（23-24高一上·广东佛山·月考）设A、B为两个互斥的事件，且PA0，PB0，则下列各式正确

的是（）

A．PABPAPBB．PABPAPB

C．PAB0D．PAB1PAPB

【考点六：古典概型】

一、单选题

1．（24-25高一上·江西·期末）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随

机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，

否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（）

1115

A．B．C．D．

4326

2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由

三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦

中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（）

3333

A．B．C．D．

8142856

3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知集合A{1,2,3,4}，B{1,2,3,4,5}，从集合A中任取3个不同的元

素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记Xba，

则P(X3)等于（）

9433

A．B．C．D．

2015810

4．（24-25高一上·广东·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或

16

向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（）

5111

A．B．C．D．

161642

二、解答题

5．（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）

眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2024-2027年中国智能眼镜市场规

模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.

(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；

(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.

6．（24-25高一下·全国·单元测试）爸爸和亮亮用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）玩游戏，

他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．

(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4．

①请把下面这种情况的树状图绘制完整；

②求亮亮抽出的扑克的牌面数字比4大的概率．

(2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的扑克的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个

游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平．

7．（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、

2

偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：f1(x)x，f2(x)x1，f3(x)x，

1

f(x)．

4x

(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；

(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则

称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．

8．（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活

动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，

统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下：

17

一周课外读书时间合

0,22,44,66,88,1010,1212,1414,1616,18

/h计

频数4610121424a4832n

频率0.020.030.050.060.070.120.25p0.161

(1)根据表格中提供的数据，求a,p,n的值，学校将对读书时间更长的前25%的同学授予“读书积极分子”称

号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．

(2)如果读书时间按0,6，6,12，12,18分组，用分层抽样的方法从n名学生中抽取20人．

①求每层应抽取的人数；

②若从0,6，6,12中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．

9．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）为了加强对数学文化的学习，某校高一年级特命制了一套与数学文化

有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取

了50名学生的成绩（单位：分），按照50,60，60,70，…，90,100分成5组，制成了如图所示的频率

分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组

区间的中点值代表）；

(2)用样本估计总体，若高一年级共有2000名学生，试估计高一年级这次测试成绩不低于75分的人数；

(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这

次考试的质量分析会，试求成绩在70,80的学生至多有2人被抽到的概率.

【考点七：概率的基本性质的应用】

一、单选题

1．（24-25高一下·全国·单元测试）若“AB”发生（A，B中至少有一个发生）的概率为0.6，则A，B同

时发生的概率为（）

A．0.6B．0.36C．0.24D．0.4

12

2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设A,B是一个随机试验中的两个互斥事件，且P(A),P(B)，则

25

18

P(AB)（）

1112

A．B．C．D．

63103

3．（24-25高一上·北京·期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先

科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通

用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速

平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互

不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（）

8928