2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【02-暑假预习】专题11 两条直线平行和垂直的判定（2知识点+6大题型+思维导图+过关检测）（教师版）

专题11两条直线平行和垂直的判定

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点01：两条直线平行

1、对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.

2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；

②l1与l2不重合．

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1l2.

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：

l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在.

1

知识点02：两条直线垂直

1、如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等

于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.

2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

(1)l1l2k1k21成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k10且k20.

(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．

(3)判定两条直线垂直的一般结论为：

l1l2k1k21或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．

2

一、单选题

1．下列说法中正确的是（）

A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行

．若∥，则kk

Bl1l2l1l2

C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行

【答案】C

【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；

若∥，则kk或，的斜率都不存在，错误；

l1l2l1l2l1l2B

若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；

若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．

故选：C.

2．（23-24高二上·北京·期中）若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1，2，斜率分别为k1，

k2，则下列命题

∥∥

①若l1l2，则斜率k1k2；②若斜率k1k2，则l1l2；

∥∥

③若l1l2，则倾斜角12；④若倾斜角12，则l1l2，

其中正确命题的个数是（）.

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．

【详解】由于l1与l2为两条不重合的直线且斜率分别为k1，k2，所以l1l2k1k2，故①②正确；

∥

由于l1与l2为两条不重合的直线且倾斜角分别为1，2，所以l1l212，故③④正确，

所以正确的命题个数是4．

故选：D．

3．（24-25高二上·全国·课后作业）过点A2,5和点B4,5的直线与直线y3的位置关系是（）

A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直

【答案】B

【分析】根据斜率公式求得AB的斜率，得出直线AB的方程，进而得出两直线的位置关系.

55

【详解】由题意，由点A(2,5)和点B(4,5)，可得k0，所以AB的方程为y5，

AB42

又由直线y3的斜率为0，且两直线不重合，所以两直线平行.

3

故选：B．

4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1的倾斜角为60，直线l2经过点A(1,3),B(0,0)，则直线l1,l2

的位置关系是（）

A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合

【答案】A

【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系.

30

【详解】依题意，直线l1的斜率k1tan603，直线l2的斜率k3，

210

即k1k2，所以l1//l2或l1,l2重合.

故选：A

二、多选题

5．（23-24高二上·全国·课后作业）下列各组直线中l1与l2一定平行的是（）

A．l1经过点A2,1,B3,5，l2经过点C3,3,D8,7

B．l1经过点E0,1,F2,1，l2经过点G3,4,H2,3

o

C．l1的倾斜角为60，l2经过点M(1,3),N(2,23)

D．l1平行于y轴，l2经过点P0,2,Q0,5

【答案】AD

【分析】由题意，先求出两直线的斜率，当斜率相等再看两直线是否重合，从而得出结论.

514734

【详解】对于A．由题意知k,k，所以直线l与直线l平行或重合，

1325283512

5(3)44

又k，故l//l，A选项正确；

BC333512

11344(1)

对于B．由题意知k1,k1，所以直线l与直线l2平行或重合，kFG1，故直

12022313(2)

线l1与直线l2重合，B选项错误；

233

对于C．由题意知ktan603,k3，k1k2，所以直线l1与直线l2可能平行可能重合，

1221

C选项错误；

对于D．由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1//l2，D选项正确．

故选：AD

三、解答题

6．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

(1)l1经过点A2,3，B4,0，l2经过点M3,1，N2,2；

4

1

(2)l1的斜率为，l2经过点A4,2，B2,3；

2

(3)l1平行于y轴，l2经过点P0,2，Q0,5；

(4)l1经过点E0,1，F2,1，l2经过点G3,4，H2,3．

【答案】(1)不平行

(2)平行或重合

(3)平行

(4)重合

【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；

30121

【详解】（1）k，k1，kABkMN，所以l与l2不平行．

AB242MN231

1231

（2）l的斜率k，l的斜率k，kk，所以l1与l2平行或重合．

1122242212

（3）由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1//l2.

1143

（4）由题意，知k1，k1,

EF20GH32

kEFkGH，所以l1与l2平行或重合．

23

需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，k1.

FG14

所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．

一、单选题

1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知A3,5,Bm,2,C2,8，若AC∥BC，则m（）

11

A．4B．4C．D．

44

【答案】B

【分析】根据平行列方程，化简求得m的值.

8582

【详解】依题意，k3,k，

AC23BC2m

82

又AC∥BC，则kACkBC，即3，解得m4．

2m

故选：B

2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1经过点A1,2，B1,4，直线l2经过点P2,1，Qx,6，

且l1∥l2，则x（）

A．2B．2C．4D．1

5

【答案】A

【分析】平面直角坐标系内两直线平行，其中一条斜率不存在，则另一条直线斜率也不存在.

【详解】由A,B两点的坐标知l1的斜率不存在，又l1∥l2，所以l2的斜率也不存在，所以x2.

故选：A.

2

3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点A(3,n),B(5,m)的直线l1与经过点Pm,0,Q0,n(mn0)的

m

直线l2平行，则的值为（）

n

A．－1B．－2

C．－1或2D．－2或1

【答案】C

【分析】利用直线的斜率公式求解.

mnn2

【详解】由题意得k,k，

l12l2m

mnn2

因为l1//l2，所以klkl，即，

122m

化简得m2mn2n20，

所以mn或m2n，

m

又由mn0得＝－1或2，

n

故选:C.

二、填空题

4．（23-24高二上·全国·课后作业）在△ABC中，A0,3，B2,1，E，F分别为边AC，BC的中点，则

直线EF的斜率为.

【答案】2

【分析】先根据三角形中位线得到EF∥AB，再利用直线的斜率公式和两直线平行列出关系式，求解即可.

【详解】∵E，F分别为边AC，BC的中点，

∴由三角形中位线可得：EF∥AB.

13

∴kk2.

EFAB20

故答案为：2

三、解答题

5．（24-25高二上·重庆·月考）已知直线l经过两点A1,m,Bm,1，同当m取何值时；

(1)直线l与x轴平行？

(2)直线l斜率不存在；

6

(3)直线的倾斜角为锐角？

【答案】(1)m1

(2)m1

(3)1m1

【分析】根据直线斜率的定义以及公式，解得直线位置关系，可得答案.

1m

【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k0，所以m1．

m1

（2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m1.

1m

（3）由题意可知，直线l的斜率k0，即0，解得1m1．

m1

一、单选题

1．（24-25高二上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（）时候垂直？

A．斜率之积为-1时

B．两条直线有1个公共点的时候

C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候

D．以上答案均不正确

【答案】A

【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.

【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确

对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误

对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误

对于D：错误

故选：A

2．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知直线l1经过A3,4，B8,1两点，直线l2的倾斜角为135，那

么l1与l2（）

A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直

【答案】A

【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系.

14

【详解】由题意k1,ktan1351，

l183l2

所以kk1，

l1l2

所以l1l2.

故选：A.

7

2

3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1,k2是方程xx10的两根，

则l1与l2的位置关系为（）

A．平行B．相交且垂直C．重合D．相交且不垂直

【答案】B

【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．

【详解】由题意k1k21，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．

故选：B．

二、多选题

4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（）

11

A．B．C．aD．不存在

aa

【答案】BD

【分析】分为a0和a0，两种情形，根据两直线垂直和斜率的关系可得结果.

1

【详解】当a0时，由k·k1知，k.故B可能正确；

122a

当a0时，l2的斜率不存在，故D可能成立.

故选：BD

5．（23-24高二上·河北邯郸·月考）满足下列条件的直线l1与l2，其中l1l2的是（）

A．l1的倾斜角为45，l2的斜率为1

3

B．l1的斜率为，l2经过点A2,0，B3,3

3

C．l1经过点P2,1，Q4,5，l2经过点M1,2，N1,0

1

D．l1的方向向量为1,m，l2的方向向量为1,

m

【答案】BCD

【分析】根据直线斜率之积为1判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.

【详解】对，ktan451，k1，kk1，所以不正确；

Al1l2l1l2A

303

对B，k3，kk31，故B正确；

l232l1l23

5120

对C，k1，k1，klkl1，故C正确；

l142l21112

1

对D，因为1,m1,110，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1l2，故D正确.

m

故选：BCD

8

三、解答题

6．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线l1与l2是否垂直：

2π

(1)l1的倾斜角为，l2经过M4,3，N5,23两点；

3

3

(2)l的斜率为，l经过P3,2，Q6,4两点；

122

13

(3)l的斜率为，l的倾斜角为，为锐角，且tan2；

1324

(4)l1经过点A3,a和Ba2,3，l2经过点C2,3和D1,a2．

【答案】(1)垂直

(2)不垂直

(3)垂直

(4)当a0或a5时，直线l1l2，当a0且a5时，l1与l2不垂直．

2π

【分析】（1）l的斜率为tan3，根据过两点的斜率公式可求l的斜率，判断斜率的乘积是否为1即

132

可；

（2）根据过两点的斜率公式可求l2的斜率，判断斜率的乘积是否为1即可；

（3）根据二倍角的正切公式求出tan的值，判断斜率的乘积是否为1即可；

（4）分l1的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线

斜率为0，

也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为1，从而确定直线l1与l2垂直时a的值.

2π

【详解】（1）由题意知，直线l的斜率为ktan3，

113

2333

直线l2的斜率为k，

2543

3

因为kk31，所以l1l2．

123

4223

（2）由题意知，直线l2的斜率为k，直线l1的斜率为k1，

26332

32

而k1k21，所以l1与l2不垂直．

23

2k3

32

（3）记l2的斜率为k2tan，因为tan2，所以2，

41k24

1

解得k3或k，

223

9

又因为为锐角，所以k23．

11

因为l1的斜率为k1，且k1k231，所以l1l2．

33

（4）由题意，直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能存在或不存在．

①当直线l1的斜率k1不存在时，3a2，即a5，此时k20，满足l1l2．

3a3aa23a5

②当直线l的斜率k存在时，a5，由斜率公式，得k，k．

111a23a52123

3aa5

若ll，则kk1，即1，解得a0．

1212a53

综上所述，当a0或a5时，直线l1l2，当a0且a5时，l1与l2不垂直．

一、单选题

1

1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l的斜率为，直线l经过A3,5,Bx,1，若ll，则x（）

12212

A．5B．1C．1D．5

【答案】D

【分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得x的值.

【详解】依题意，直线l的斜率为1，ll，所以直线l的斜率存在，

12122

441

所以k,kk1，解得x5．

l23xl1l23x2

故选：D

2．（24-25高二上·新疆阿克苏·期中）直线l的方向向量为2,1，经过A2,5，Bm,1两点的直线与

直线l垂直，则m（）

A．2B．1C．3D．4

【答案】D

【分析】由条件确定直线l的斜率，根据直线l与AB垂直可得m2，根据垂直关系列方程求m

【详解】因为直线l的方向向量为2,1，

1

所以直线l的斜率为，

2

因为经过A2,5，Bm,1两点的直线与直线l垂直，

151

所以m2，且·1，

m22

所以m4.

故选：D.

10

3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若点Pa,b与Qb1,a1关于直线l对称，则l的倾斜角为（）

A．135B．45C．30D．60

【答案】B

【分析】由题意知PQl，则kPQkl1，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解．

【详解】由题意知PQl，则kPQkl1，

a1b

∴k1，得k1，

b1all

设l的倾斜角为，0180，

∴tan1，则45．

故选：B．

4．（24-25高二上·江西赣州·月考）已知点Am,m1,Bm,2m,C4,m,D1,0，且直线AB与直线CD垂

直，则m的值为（）

A．7或0B．0或7C．0D．7

【答案】B

【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解．

【详解】当m0时，直线AB的斜率不存在，直线CD的斜率为0,

此时直线AB的方程为x0，直线CD的方程为y0，故ABCD;

2mm1m1m0m

当m0时，k，k，

ABmm2mCD413

m1m

则kk1，解得m7，

ABCD2m3

综上，m0或7.

故选：B.

二、解答题

5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l1经过点A(3,a)，B(a1,2)直线l2经过点C(1,2),D(2,a2).

若l1l2，求a的值.

【答案】a3或a4

【分析】求出直线l2的斜率，按直线l1的斜率存在与否讨论，并结合两条直线垂直的斜率关系计算即得.

a22a

【详解】依题意，直线l的斜率k，

22213

4

当a13，即a4时，直线l的斜率不存在，此时k，直线l,l不垂直；

12312

a2a2

因此a4，直线l的斜率k存在，k1，

113(a1)4a

11

aa22

由l1l2，得k1k21，则1，整理得aa120，解得a3或a4，

34a

所以a3或a4.

6．（24-25高二上·广东东莞·月考）已知M1,1，N2,2，P3,0.

(1)若点Q在y轴上，且满足PQMN，求点Q的坐标；

(2)若点Q在x轴上，且NQPNPQ，求直线MQ的倾斜角.

【答案】(1)Q(0,1)

(2)90

【分析】（1）根据两直线垂直式斜率之间的关系，列式求解，即得答案；

（2）由NQPNPQ，可得kNQkNP，结合斜率公式即可求得答案.

211

【详解】（1）设Q(0,y)，而k3，因为PQMN，故k，

MN21PQ3

y1

故,，即y1，

33

即Q(0,1)；

（2）设Q(x,0)，因为NQPNPQ，故kNQkNP，

22

而k,k2，即得2,x1，

NQ2xNP2x

即Q(1,0)，结合M1,1，故MQx轴，

故直线MQ的倾斜角为90.

一、单选题

1．（24-25高二上·云南·期中）已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（）

A．若l1，l2的斜率相等，则l1，l2平行

B．若l1//l2，则l1，l2的倾斜角相等

C．若l1，l2的斜率乘积等于1，则l1，l2垂直

D．若l1l2，则l1，l2的斜率乘积等于1

【答案】D

【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直

线斜率之积等于1可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项

D错误.

【详解】根据两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等且不重合，则l1，l2平行，A正确.

由l1//l2，可得l1，l2的倾斜角相等，B正确.

12

由l1，l2的斜率乘积等于1，可得l1，l2垂直，C正确.

当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，l1l2，但直线l1的斜率不存在，D错误.

故选：D.

2

2．（23-24高二上·广东·月考）已知直线l1,l2的斜率是方程xpx20的两个根，则（）

A．l1l2B．l1//l2

C．l1与l2相交但不垂直D．l1与l2的位置关系不确定

【答案】C

【分析】由k1k22可知两直线不垂直，且k1k2知两直线不平行，由此可得结论.

【详解】设直线l1,l2的斜率为k1,k2，则k1k22，

k1k21，l1,l2不垂直，A错误；

2

若k1k2，则k1k2k10，与k1k22矛盾，k1k2，l1,l2不平行，B错误；

l1,l2不平行，也不垂直，l1,l2相交但不垂直，C正确，D错误.

故选：C.

二、多选题

3．设平面内四点P4,2，Q6,4，R12,6，S2,12，则下面四个结论正确的是（）

A．PQ∥SRB．PQPSC．PS∥QSD．PRQS

【答案】ABD

【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断.

42312631225124

【详解】由题意可得：k，k，k，k4，

PQ645SR2125PS243QS26

621

k，

PR1244

因为kPQkSRkPS，可知PQ∥SR，故A正确；

因为kPQkPS1，可知PQPS，故B正确；

因为kPSkQS，可知PS与QS不平行，故C错误；

因为kPRkQS1，可知PRQS，故D正确；

故选：ABD.

三、解答题

4．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知A0,3，B4,0，C8,9，判断A，B，C三点是否在

同一条直线上；

π

（2）已知直线l1的倾斜角为，直线l2经过P1,3，Q8,23两点，判断l1与l2是否垂直.

3

13

【答案】（1）A,B,C三点在同一直线上；

（2）l1与l2互相垂直

【分析】（1）计算可得kABkAC，可得结论；

g

（2）计算可得k1k21，可得结论.

【详解】（1）因为A0,3，B4,0，C8,9，

033933

所以k,k，又直线AB,AC均过点A，

AB404AC804

所以点A,B,C三点在同一条直线上；

ππ

（2）因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率ktan3，

13113

因为直线经过，两点，所以233333，

l2P1,3Q8,23k2

8(1)93

3

所以kk3()1，所以l1与l2互相垂直.

123

1

5．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，A2,3，B3,2，C,m，D0,3

2

(1)若直线AC与直线BD平行，求m的值；

(2)若直线AC与直线BC垂直，求m的值.

23

【答案】(1)m

6

152

(2)m

2

【分析】（1）根据kDBkAC可求出结果；

（2）根据kBCkAC1可求出结果.

【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以kDBkAC，

3m2323

m

所以1，经检验两直线不重合，

2306

2

23

所以m

6

（2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在，

所以kBCkAC1，

3m2m152

1m

所以11，

232

22

6．（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线l1经过Am,1,B4,m3，直线l2经过点

14

C1,2,D4,m2.

(1)若l1//l2，求m的值；

(2)若l1l2，求m的值.

【答案】(1)1或6

(2)3或4

【分析】（1）易得直线l2的斜率存在，则根据l1//l2，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解；

（2）分直线l2的斜率等于零和直线l2的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解.

2m2m

【详解】（1）由题可知直线l2的斜率存在且k，

2143

若则直线l1的斜率也存在，

1m32m

由kk，

21m4m4

2mm

得，即m27m60解得m1或6，

m43

经检验，当m1或6时，l1//l2；

21

（2）若ll，当k20时，此时m0,l斜率k存在，不符合题意，

121142

×=-

当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k21，

m2m

即1，即m2m120，

3m4

解得m3或4，

所以当m3或4时，l1l2.

一、单选题

1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以A1,1,B2,1,C3,7为顶点的三角形是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形

【答案】B

【分析】求出直线AB和AC的斜率，判断出ABAC，进而可得结果.

112713

【详解】因为k,k，

AB213AC312

所以kABkAC1,

故ABAC，

因此该三角形为直角三角形.

故选：B.

15

2．（23-24高二上·全国·课后作业）以A(2,1),B(4,2),C(2,6),D(3,1)为顶点的四边形是（）

A．平行四边形，但不是矩形B．矩形C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯

形

【答案】D

【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.

【详解】

1162

在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中k2,k2,kk,AD//BC，

AD32BC24ADBC

211

k,kk1,ABBC，

AB422ABBC

2222

AD23115,BC422620AD，

所以四边形ABCD是直角梯形；

故选：D.

二、多选题

3．（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知点A0,2，B1,0，下列结论正确的是（）

1

A．若直线AB的方向向量为1,k，则k

2

1

B．若直线l的斜率为，则lAB

2

C．若C1,1，则VABC为直角三角形

D．若C1,1，D3,3，则四边形ABCD是平行四边形

【答案】BC

【分析】求出直线AB的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D.

20

【详解】对于A，kk2，所以直线AB的方向向量为1,2，A错误.

AB01

1

对于B，因为k1，所以lAB，B正确.

2AB

16

011

对于C，因为k,kk1，所以ABBC，C正确.

BC112BCAB

3111

对于D，因为k2k,k,k,kk，

CD31ABAD3BC2ADBC

所以四边形ABCD不是平行四边形，D错误.

故选：BC.

三、解答题

4．（23-24高二·全国·假期作业）已知在ABCD中，A1,2,B5,0,C3,4.

(1)求点D的坐标；

(2)试判定ABCD是否为菱形？

【答案】(1)(1,6)

(2)是

【详解】（）设点坐标为(a,b)，因为四边形为平行四边形，所以，

1DABCDkABkCD,kADkBC

02b4

,

51a3a1,

所以解得

b240b6,

,

a135

所以D(1,6).

4260

（2）因为k1,k1，

AC31BD15

所以kACkBD1，所以ACBD，所以ABCD为菱形.

5．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点A2,4,B2,0,C1,1．

(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；

n

(2)若Em,n是线段AC上一动点，求的取值范围．

m2

【答案】(1)3,5；

1

(2),1．

3

【分析】（1）设Dx,y，根据kABkCD,kACkBD求解即可；

n

（2）因为表示直线BE的斜率，求出E与点C重合时，直线BC的斜率；E与点A重合时，直线BE的

m2

斜率，由此即可得答案．

【详解】（1）如图，当点D在第一象限时，kABkCD,kACkBD，

17

y1

1

x1x3

设Dx,y，则，解得，

y14y5

x212

故点D的坐标为3,5.

n

（2）由题意得为直线BE的斜率，如图，

m2

11

当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，k；

BC123

当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，kAB1．

1

故直线BE的斜率的取值范围为,1，

3

n1

即的取值范围为,1．

m23

18

一、单选题

1．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知A1,0，B2,2，C5,2三点，则VABC的AB边上的高线所

在直线的斜率是（）

233

A．B．C．D．3

324

【答案】B

【分析】AB边上的高线垂直于AB边，通过AB边的斜率即可求出高线的斜率.

20213

【详解】∵kAB，∴k.

213kAB2

故选：B.

2．（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线l1经过A3,7，B2,8两点，且直线l2l1，则直线l2的倾斜

角为（）

A．30oB．45C．135D．150

【答案】B

【分析】先求出直线l1的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解．

【详解】设直线l2的倾斜角为，

78

因为直线l1的斜率k1，由l1l2，得klkl1，

l13212

所以k1，即，又，则，

l2tan1018045

所以直线l2的倾斜角为45．

故选：B．