专题6.2 立方根-七年级数学人教版（下册）

第六章实数6.2立方根1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．学-科网（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；②；③=a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算K—重点立方根的概念和性质，开立方K—难点利用立方根的性质解方程K—易错混淆平方根和立方根的意义一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A．-4 B．4 C．±4 D．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A．【例2】的立方根是A．－1 B．0 C．1 D．±1【答案】C【解析】∵=-1，∴的立方根是=-1，故选A．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A．=0.5 B．C． D．【答案】D【解析】A．正确；B．正确；C．正确；D．，故错误，故选D．【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）．【解析】（1）因为，所以-343的立方根是-7．（2）因为，所以的立方根是．【例5】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）-．【解析】（1）．（2）．（3）．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a3=–8，则a=__________．【答案】–2【解析】∵a3=–8，∴a=–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x：（1）8x3+125=0；（2）（x+3）3+27=0．【解析】因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以，所以，所以．三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12==13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．1．-27的立方根是A．3 B．-3 C．9 D．-92．判断下列说法错误的是A．2是8的立方根 B．±4是64的立方根C．-是-的立方根 D．（-4）3的立方根是-43．的算术平方根是A．2 B．±2 C． D．4．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为A．±4 B．4 C．±2 D．25．下列说法正确的是A．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零B．一个数的立方根和这个数同号，零的立方根是零C．一个数的立方根不是正数就是负数D．负数没有立方根6．=__________．7．如果一个数的平方根等于这个数的立方根，那么这个数是__________．8．若=-7，则a=__________．9．已知，则__________．10．求下列各数的立方根：（1）；（2）．学-科网11．已知4是3a–2的算术平方根，2–15a–b的立方根为–5．（1）求a和b的值；（2）求2b–a–4的平方根．12．求下列各式中的x：（1）8x3+27=0；（2）64（x+1）3=27．13．小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱的尺寸为50×40×30（长度单位为厘米），现小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，问这两个正方体纸箱的棱长为多少厘米？（结果精确到1厘米）14．已知一个正数的两个平方根分别为2m–6和3+m，则m–9的立方根是__________．15．若x+17的立方根是3，则3x–5的平方根是__________．16．已知=102，=0.102，则x=__________，已知=1.558，=155.8，则y=__________．17．（2018•恩施州）64的立方根为A．8 B．–8 C．4 D．–418．（2018•济宁）的值是A．1 B．–1 C．3 D．–319．（2018•泰州）8的立方根等于__________．20．（2018•常德）–8的立方根是__________．1．【答案】B【解析】因为，所以-27的立方根是-3，故选B．2．【答案】B【解析】根据立方根的意义，由23=8，可知2是8的立方根，故正确；根据43=64，可知64的立方根为3的立方根是-4，故正确，故选B．3．【答案】C【解析】∵=2，2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选C．4．【答案】D【解析】∵立方体的体积为64，∴它的棱长=，∴它的棱长的算术平方根为：2，故选D．7．【答案】0【解析】根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，故答案为：0．8．【答案】-343【解析】∵，∴a=-343，故答案为：-343．9．【答案】-1【解析】∵，∴a=，b=-3，故=-1，故答案为：-1．10．【解析】（1）∵（）3=，所以的立方根是．（2）∵（）3=，所以的立方根是．11．【解析】（1）∵4是3a–2的算术平方根，∴3a–2=16，∴a=6，∵2–15a–b的立方根为–5，∴2–15a–b=–125，∴2–15×6–b=–125，∴b=37．（2）2b–a–4=2×37–6–4=64，64的平方根为±8，∴2b–a–4的平方根为±8．12．【解析】（1）因为8x3+27=0，所以8x3=-27，所以，解得．（2）因为64（x+1）3=27，所以（x+1）3=，所以，解得．13．【解析】设这两个正方体纸箱的棱长为x厘米，根据题意得，所以，所以≈31（厘米）．因此，这两个正方体纸箱的棱长为31厘米．14．【答案】–2【解析】由题意可知：2m–6+3+m=0，∴m=1，m–9=–8，∴–8的立方根是–2，故答案为：–2．15．【答案】±5【解析】∵x+17的立方根是3，∴x+17=27，解得：x=10，则3x–5=25的平方根是：±5．故答