2024-2025学年四川省甘孜州高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省甘孜州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.1−7i3−i=(

)A.1−2i B.−12−52i2.已知向量a=(m+1,1)，b=(3,−3)，若a//b，则A.2 B.−2 C.12 D.3.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3：2：2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为(

)A.7 B.10 C.15 D.204.已知圆台上下底面积分别为π，4π，母线长为5，则该圆台的体积为(

)A.7π3 B.10π3 C.14π35.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=3P(B)，则P(AA.1720 B.1120 C.9206.在△ABC中，若A=π3，a=3，b=1，则A.π6或5π6 B.π6 C.π3 7.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是(

)A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”

B.“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”

C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”

D.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”8.如图，四面体ABCD中，AC=3，BD=2，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为(

)A.72B.132

C.19

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，M为边AB的中点，则(

)A.AB=CB−CA B.BC=BA10.已知i为虚数单位，则下列命题正确的是(

)A.若复数z=3+4i，则|z−|=5

B.若|z|=1，则z=±i或±1

C.若复数(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，则实数m=1或−4

D.在复平面内，z111.已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是(

)A.23π cm3 B.43π c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某次体检，7位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69，1.77，则这组数据的第75百分位数是______(米)．13.某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量y(单位：万件)，得到以下数据：月份x789101112销售量y111214151820根据表中所给数据，可得相关系数r≈______.(结果用四舍五入法保留2位小数)

(参考公式：相关系数r=i=1n(x14.如图，在△ABC中，点P在边BC上，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，且P是MN的中点，若AM=mAB，AN=nAC(m,n>0)，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且F在直线DC上，且DF=tFC，记AB=a，AD=b，DE+BF=23a+12b．16.(本小题15分)

如图1，梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知O′A′//B′C′，O′A′=2，O′B′=B′C′=3．

(1)在图2给定的表格中画出四边形OABC；

(2)若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征．17.(本小题15分)

近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润(单位：百元)进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前13的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由．18.(本小题17分)

已知四棱锥P −ABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD//平面AMHN．

(Ⅰ)证明：MN⊥PC；

(Ⅱ)当H为PC的中点，PA=PC=3AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求二面角19.(本小题17分)

当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°的点M为△ABC的“费马点”；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为△ABC的“费马点”.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是△ABC的“费马点”．

(1)若acosC+3asinC−b−c=0，a=23，B<C．

①求A；

②设△ABC的周长为23+6，求|PA|+|PB|+|PC|的值；

答案解析1.【答案】A

【解析】解：1−7i3−i=(1−7i)(3+i)(3−i)(3+i)=10−20i10=1−2i．2.【答案】B

【解析】解：向量a/​/b，b=(3,−3)，a=(m+1,1)，

得−3(m+1)=1×3，所以m=−2．

故选：B．3.【答案】C

【解析】解：某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3：2：2，

若利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则高一年级抽取学生人数为35×33+2+2=35×37=15人．

故选：4.【答案】C

【解析】解：由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为5，

∴圆台的高为5−1=2，

∴圆台的体积为13(π+4π+2π)×2=5.【答案】B

【解析】解：根据题意，事件A，B互斥，P(A∪B)=35，则有P(A)+P(B)=35，

而P(A)=3P(B)，

解可得P(A)=920，故P(A−)=1−P(A)=6.【答案】B

【解析】解：A=π3，a=3，b=1，

由正弦定理得，asinA=bsinB，

∴sinB=bsinAa=323=12，

又∵B∈(0,π)，且b<a，

7.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误；

对于B，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；

对于C，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确；

对于D，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误．

故选：C．

根据题意，利用互斥，对立事件定义分析各选项可得答案，综合可得答案．

本题考查互斥和对立事件的定义，注意两者的联系和区别，属于基础题．8.【答案】D

【解析】解：取BC的中点P，连接PM、PN，

在△ABC中，PM为中位线，所以PM/​/AC，且PM=12AC=32，

同理可证PN/​/BD，且PN=12BD=1，

因为异面直线AC与BD所成角的大小为60°，所以∠MPN=60°或120°，

①△PMN中，当∠MPN=60°时，

由余弦定理得MN2=PM2+PN2−2PM⋅PN×cos60°=94+1−32=74，得MN=72，9.【答案】AB

【解析】解：在△ABC中，AB=CB−CA，A选项正确；

BC=BA+AC，B选项正确；

在△ABC中，M为边AB的中点，则2CM=CB+CA，C选项错误；10.【答案】AD

【解析】解：对于A，由复数z=3+4i，得z−=3−4i，则|z−|=32+(−4)2=5，故A正确；

对于B，若|z|=1，则z在复平面内对应的点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数z对应，故B错误；

对于C，若复数(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，则m2+3m−4=0m2−2m−24≠0，解得m=1，故C错误；

对于D，若OZ111.【答案】ABC

【解析】解：由已知，直角三角形斜边长为12+22=5cm，

若以5cm斜边为轴，则斜边上的高为1×25=255cm，所求为13×5×π×(212.【答案】1.78

【解析】解：将这7个数据从小到大排列为1.41，1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，

因为7×75%=5.25，故第75百分位数为第6个数1.78(米)．

故答案为：1.78．

首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得．

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．13.【答案】0.99

【解析】解：计算i=16(xi−x−)2：x−=7+8+9+10+11+126=9.5，

i=19(xi−x−)14.【答案】32【解析】解：因为点P在BC上，AM=mAB，AN=nAC，

所以AP=λAB+(1−λ)AC，

因为P是MN的中点，所以AP=12AM+12AN，

所以AP=12mAB+12nAC，

所以12m=λ，1215.【答案】解：(1)∵E是BC的中点，∴DE∵DE→+由DF=tFC可知又∵BF=BC+CF=b+(−11+t又由∠DAB=π3，BF2=AD−13AB2∴DE∴|DE

【解析】本题主要考查了向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积及向量的模，以及平面向量的基本定理及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

(1)利用向量的线性运算求解即可；

(2)由题意，可推出BF→=16.【答案】图形见解析；

几何体的结构特征见解析．

【解析】(1)根据题意，因为O′A′与x′轴重合，则OA与x轴重合，且OA=O′A′=2，

B′C′与x′轴平行，则BC与x轴平行，且BC=B′C′=3，

O′B′与y′轴重合，则OB与y轴重合，且OB=2O′B′=6，

连接AB，OC，即可得四边形OABC.如图所示：

(2)根据题意，所得的几何体是一个组合体，由两部分组成，

第一部分是以OA为高，O为底面圆的圆心，OB底面半径的圆锥，

另一部分是以BC为高，OB为直径再挖去同底等高的圆锥所得的几何体．

(1)根据题意，由斜二测画法的步骤，还原四边形OABC，即可得答案；

(2)根据题意，由旋转体的定义，分析所得的几何体结构特征，即可得答案．

本题考查几何体的结构特征，涉及平面图形的直观图，属于基础题．17.【答案】解：(1)由题意可知(0.005×2+0.015+m+0.025+0.03)×10=1，解得m=0.02，

设中位数为n，则0.05+0.15+0.2+(n−70)×0.025=0.5，解得n=74，所以中位数为74，

平均数为(45+95)×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.3=72.5．

(2)由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为(80−7810×0.25+0.3+0.05)×600=240，

方案二受到奖励的商家的个数为13×600=200，【解析】(1)由频率分布直方图中各组频率之和等于1，列出方程求出m，利用中位数定义和平均数公式分别计算即得；

(2)按照方案一要求，利用频率分布直方图先求出平均日利润超过78百元的商家所占的比率，再求对应的商家数目；方案二只需取前13，即前200个商家家，比较即得结论．

18.【答案】(Ⅰ)证明：连接AC交BD于O，

因为ABCD为菱形，

所以BD⊥AC，且O为AC、BD的中点，

∵PD=PB，

∴PO⊥BD．

∵AC∩PO=O，且AC⊂面PAC、PO⊂面PAC．

∴BD⊥面PAC．

∵PC⊂面PAC，

∴BD⊥PC．

∵BD//平面AMHN，且面PBD∩平面AMHN=MN，BD⊂面PBD，

∴DB/​/MN．

∴MN⊥PC．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得DB⊥AC且PO⊥BD，

∵PA=PC，且O为AC中点，

∴PO⊥AC，

又AC∩BD=O，AC⊂面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

∵PA

与平面

ABCD

所成的角为∠PAO=60°．

可得AO=12PA，PO=32PA，

∵PA=3AB，

∴BO=36PA．

以O为原点，建立如图的空间直角坐标系O−xyz．

记PA=2，∴O(0,0,0)，A(1,0,0)，

B(0,33,0),C(−1,0,0),D(0,−33,0)，P(0,0,3)，H(−12,0,32)，

∴DB=(0,233,0)，AH=(−32,0,3【解析】本题考查了空间线面垂直的判定和性质，向量法求二面角，属于中档题．

(Ⅰ)连接AC交BD于O，可得BD⊥PC.由BD/​/平面

AMHN，可得DB//MN.即可证明MN⊥PC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得DB⊥AC且PO⊥BD，PA

与平面

ABCD

所成的角为∠PAO=60°．

以O为原点，建立空间直角坐标系O−xyz.记PA=2，求出平面

AMHN的法向量m，平面PAB的法向量n，由cos<m,n>=19.【答案】解：(1)①由sinAcosC+3sin