2024-2025学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2−i1−3i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为A.−12i B.12i 2.在α的终边上取一点为P(3,−4)，则cosα=(

)A.45 B.35 C.−43.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,m)，且a//b，则A.(−5,−10) B.(−4,−8) C.(−3,−6) D.(−2,−4)4.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(

)

A.asin53°2sin47∘ B.atan26°tan73°tan47∘5.下列说法正确的是(

)A.底面是矩形的平行六面体是长方体

B.正四面体的高为其棱长的64倍

C.用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形

6.若sin(α+3π2)=35，且A.35 B.45 C.−37.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点，若AC⋅BE=4，则AB=(

)A.1

B.2

C.3

8.将函数f(x)=2tan(ωx+π4)(ω>0)的图像向左平移π2个单位，得到函数g(x)的图像，若g(x)为奇函数，则ωA.12 B.1 C.32 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z，则下列说法正确的是(

)A.若|z|=2，则z=±2 B.若z2>0，则z∈R

C.若|z|=1，则1≤|z−2|≤3 10.已知O是△ABC所在平面内一点，AB=2，AC=3，cosA=13，则下列说法正确的是(

)A.△ABC外接圆的半径为928

B.△ABC内切圆的半径为2

C.若O是△ABC的外心，则BO在BC上的投影向量为BC

D.若O是△ABC的垂心，则BO11.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰△ABO，△CBO，△FEO，△DEO拼成，其中线段AD，CF，BE的中点均为点O，AO=3BO=23.若将该平面图形绕着直线a旋转半周所围成的几何体记为Ω1，将该平面图形绕着直线b旋转半周所围成的几何体记为Ω2，直线A.Ω1的体积为2033π

B.Ω2的体积为4π

C.经过两次旋转后，点A所有的运动轨迹总长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正三棱柱的高为2，底面边长为6，则该三棱柱的外接球的体积为______．13.已知α∈(0,π2)，且cos(α+π414.设n次多项式Pn(t)=antn+an−1tn−1+…+a2t2+a1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosA．

(1)求角A的大小；

(2)若a=7，b=2，求△ABC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像，如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)17.(本小题15分)

如图，在扇形OPQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=x，矩形ABCD的面积为f(x)．

(1)求f(x)，并求当f(x)取得最大值时x的值；

(2)若f(x)≥2−2318.(本小题15分)

如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且a2+43S=(b+c)2，D是AB的中点，点E在线段AC上且AE=2EC，线段CD与线段BE交于点M．

(1)求角A的大小；

(2)若AM=xAB+yAC，求x+y的值；

19.(本小题17分)

如图，我们把由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”，设e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对[x,y]叫做向量OP的“完美坐标”．

(1)若向量OP的“完美坐标”为[3,4]，求|OP|；

(2)已知[x1,y1]，[x2,y2]分别为向量a，b的“完美坐标”，证明：

参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.B

7.A

8.A

9.BC

10.AD

11.ABD

12.413.1714.33

15.(1)由正弦定理化简bcosC+ccosB=2acosA可得：

sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，

由两角和的正弦公式可得sin(B+C)=2sinAcosA，

因为在△ABC中，B+C=π−A，则sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，

所以sinA=2sinAcosA，

因为A∈(0,π)，所以2cosA=1，即cosA=12，

又因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)已知a=7，b=2，A=π3，根据余弦定理代入可得：

(7)2=16.(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像，

由图得T=π，所以ω=2πT=2．

由f(56π)=0，得Asin(53π+φ)=0，

所以53π+φ=2kπ,k∈Z，解得φ=2kπ−53π,k∈Z．

又因为|φ|<π2，故当k=1时，φ=π3．

又由f(0)=3，得Asinφ=3,A=2．

故f(x)=2sin(2x+π3)．

(2)将f(x)=2sin(2x+π3)

的图像向右平移π3个单位，

得到y=2sin[2(x−π3)+π317.(1)根据题意可知AD=BC=2sinx，OB=2cosx，

在Rt△OAD中，ADOA=tan60°=3，

所以OA=33AD=233sinx，

所以f(x)=AB⋅AD=(OB−OA)⋅AD=(2cosx−233sinx)⋅2sinx，

即f(x)=4cosxsinx−433sin2x

=2sin2x+233(cos2x−1)

=2sin2x+233cos2x−233

=433sin(2x+π6)−18.(1)因为a2+43S=(b+c)2，因此43×12bcsinA=b2+c2−a2+2bc，

解得3sinA=cosA+1，可得sin(A−π6)=12，

又因为A∈(0,π)，则A−π6∈(−π6,5π6)，

因此A−π6=π6，因此A=π3；

(2)D、M、C三点共线且结合AE=23AC，AD=12AB，有：

AM=λAC+(1−λ)AD=λAC+1−λ219.(1)因为OP的“完美坐标”为[3,4]，则OP=3e1+4e2，

又因为e1，e2分别为Ox