2024-2025学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=N，集合A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6k,k∈N}，则正确的关系是(

)A.A∪B=B B.B∩(∁UA)=⌀ C.B∪(2.命题“存在x>0，x3−2x2A.不存在x>0，x3−2x2+1>0 B.存在x>0，x3−2x2+1≤0

C.3.设a，b∈R，则a<b的一个必要不充分条件是(

)A.1a>1b B.a3<4.数列{an}为1，2，4，…，则不能作为{aA.an=n2−n+22 B.a5.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是(

)A.f(x)的增区间是(a,e)和(g,+∞) B.f(x)有4个极值点

C.f(x)的减区间是(b,c)和(d,f)和(ℎ,i) D.f(x)极大值点和极小值点的个数相同6.若x，y∈[0,+∞)，且2x−y=4−xy，则1x−1+2y+2A.22 B.2 C.27.已知l是函数y=tanx的切线且斜率为2，则与圆x2+y2=196A.6 B.8 C.10 D.128.设f(x)=x+cosx，{an}是等差数列，Sn=i=1nai，A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=x2+2(a−1)x+a，若存在x1，x2∈[−2,2]使得f(A.[−1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3]10.关于函数f(x)=log12(2A.当a=−6时，f(x)的增区间为(−∞,−1)

B.当a=6时，f(x)的值域为[−2,+∞)

C.如果f(x)的值域为R，则a≥2

D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称11.鸡尾酒排序是一种计算机科学领域的排序算法.其基本思想是：通过对数字均不相同的排序序列{x1,x2,…,xn}从左往右，依次对相邻两个数比较大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，使值较大的数逐渐从左移向右，所有相邻两个数完成对比交换后再反向从右往左依次比较相邻两个数的大小，若不是左小右大，则交换两个数的位置，完成两个方向的对比交换称为一个轮次，只完成一个方向算0.5个轮次，重复以上过程直到序列中所有数从左往右都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{2,4,3,1}进行鸡尾酒排序，首先从左往右顺序，先比较{2,4}，无需交换位置，然后比较{4,3}，需交换1次位置，得到新序列{2,3,4,1}最后比较{4,1}，又需要交换1次位置，得到新序列{2,3,1,4}，完成了从左往右的对比换序.然后从右往左方向，先比较{1,4}，无需交换，再比较{3,1}，交换位置得{2,1,3,4}，再比较{2,1}，交换位置得A.对{5,4,2,3,1}需要1.5个轮次完成排序

B.若k∈N，则2k+1个数最多需要k轮次完成排序

C.对{5,4,2,3,1}进行了8次交换位置完成排序

D.对于序列{x1,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知各项均为正数的等比数列{an}和数列{bn}，若bn=3n+1且a213.函数y=2x14.函数f(x)=13x3−4x,x<ax2−10x+563,x≥a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=b⋅2x−1+1a⋅2x−1+1是定义域为R的奇函数，a，b∈R．

(1)求a，b的值，并判断f(x)的单调性(不需要证明)；

(2)16.(本小题15分)

已知f(x)=2x，x∈R．

(1)解不等式：log2[f(x)−2]+log2[f(x)]≤3；

(2)若∃x0∈R使得17.(本小题15分)

调查公司调查了两个群体(群体甲和群体乙)对某新项目的喜好情况，数据如下表所示，公司想知道群体类型(甲/乙)是否与新项目的喜好有关联．喜欢新项目不喜欢新项目群体甲7545群体乙6090附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．

(1)分析群体类型(甲/乙)是否与新项目的喜好有关联；

(2)某人连续对新项目进行三次尝试，每次成功的概率为p，且三次尝试是相互独立的.设事件A为“恰好成功两次”，事件B18.(本小题17分)

数列{an}满足a1=1，a2=3且对于n∈Z+，都有an+2=3an+1−2an+2n．

(1)求数列19.(本小题17分)

对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，使得当x∈[a,b]时，f(x)的值域是[ka,kb](k>0)，则称函数y=f(x)为“k倍区间函数”，[a,b]为函数y=f(x)的一个“k倍区间”，已知函数f(x)=ex+x2−x．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数ℎ(x)=f(x)−x2在区间(0,+∞)上是“k倍区间函数”，求k的取值范围；

(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)答案解析1.【答案】B

【解析】解：由题意，当k=2n，n∈N，集合A={x|x=6n,n∈N}，A=B，

当k=2n+1，n∈N，集合A={x|x=6n+3,n∈N}，B⊆A，

所以A∪B=A，A错误；

B∩(∁UA)=⌀，B正确；

由B⊆A，所以B∪∁UA≠U，C错误；

因为B⊆A，所以A∩(∁UB)≠A，D错误．

故选：B2.【答案】D

【解析】解：根据存在量词命题的否定，

命题“存在x>0，x3−2x2+1>0”的否定为“任意的x>0，x3−2x23.【答案】D

【解析】解：对于A，当a<0<b时，1a<1b，由1a−1b=b−aab<0，∴当ab>0时，b<a，∴1a>1b是a<b的既不充分也不必要条件，选项A错误；

对于B，y=x3在R上为增函数，由a3<b3得a<b，当a<b时，a3<b3，∴a3<b3是a<b的充要条件，选项B错误；

对于C，由a2<b2得|a|<|b|，∴0<a<b或4.【答案】C

【解析】解：若an=n2−n+22，则a1=12−1+22=1,a2=22−2+22=2,a3=32−3+22=4，选项A正确；

若an=5.【答案】A

【解析】解：由y=f(x)的导函数f′(x)的图象可知f(x)的减区间为(−∞,a)和(e,g)，增区间为(a,e)和(g,+∞)，故A正确，C错误，

所以f(x)有3个极值点分别是a，e，g，故B错误，

f(x)极大值点为e，极小值点为a，g，故D错误．

故选：A．

根据图像得函数f(x)的单调性，进而得函数f(x)的极值，逐一判断即可．

本题考查了利用导数研究函数的极值，是中档题．6.【答案】B

【解析】解：因为2x−y=4−xy，所以x=4+y2+y=22+y+1，即x−1=2y+2，

所以1x−1+2y+2=y+22+2y+2≥2y+22⋅2y+27.【答案】C

【解析】解：由题意l是函数y=tanx的切线且斜率为2，

可对函数求导得y′=(tanx)′=(sinxcosx)′=1cos2x=2，

解得x=kπ+π4,y=1，或x=kπ−π4,y=−1，

切线方程为y=2(x−kπ−π4)+1或y=2(x−kπ+π4)−1，

与圆x2+y2=1965有公共点的条件是|2kπ+π4−1|5≤145或|2kπ−π4+1|5≤145，

即−14≤2kπ+π4−1≤14或−14≤2kπ−π8.【答案】A

【解析】解：f′(x)=1−sinx≥0，所以f(x)在R上单调递增．

先说明充分性：S100=100(a1+a100)2=50π，所以a1+a100=π．

T100=S100+(cosa1+cosa2+⋯+cosa100)，

又cosa1+cosa100=cosa1+cos(π−a1)=0．

同理cosa2+cosa99=cosa3+cosa98=⋯=cosa50+cosa51=0，所以T100=S100=50π．

所以S100=50π是T100=50π的充分条件．

再说明必要性，若T100=50π，假设S100<50π，则9.【答案】BC

【解析】解：如果存在x1，x2∈[−2,2]，使得f(x1)=f(x2)，因此函数f(x)的对称轴在(−2,2)即可，

根据函数f(x)的对称轴为x=1−a，因此−2<1−a<2⇒−1<a<3，

因此满足是(−1,3)的子区间即可，因此选项BC正确，选项AD错误．

故选：BC．

若存在x1，10.【答案】AD

【解析】解：由题知f(x)为复合函数，其中对数函数的底数为12<1，所以对数函数单调递减，令μ(x)=2x2−4x+a．

对于A，当a=−6时，f(x)=log12(2x2−4x−6)，所以f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，根据复合函数的单调性知，只需求

μ(x)=2x2−4x−6的减区间即可，μ(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，所以f(x)的增区间为(−∞,−1)，选项A正确．

对于B，当a=6时，f(x)=log12(2x2−4x+6)，此时f(x)的定义域为R，μ(x)=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，所以μ(x)的最小值为4，即内层函数可取[4,+∞)，即log124=−2，所以f(x)的值域为(−∞,−2]，选项B错误．

对于C，因为f(x)的值域为R，所以只需内层函数μ(x)=2x2−4x+a能取到所有的正实数，即判别式(−4)2−4×2×a≥0，解得a≤2，选项11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，C：对{5,4,2,3,1}，第1次交换{4,5,2,3,1}，第2次交换{4,2,5,3,1}，

第3次交换{4,2,3,5,1}，第4次交换{4,2,3,1,5}，

此时进行了从左往右的换序，然后从右往左，

第1次交换{4,2,1,3,5}，第2次交换{4,1,2,3,5}，

第3次交换{1,4,2,3,5}，此时进行了从右往左的换序，

进行了1个轮次，再从左往右，

第1次交换{1,2,4,3,5}，第2次交换{1,2,3,4,5}完成，

所以对{5,4,2,3,1}需要1.5个轮次完成排序，共进行9次交换位置，所以A选项正确，C选项错误；

对于选项B：从上的鸡尾酒排序发现，从左往右进行交换，可以实现最大的数排到右边，

从右往左可以实现最小的数排到左边，

所以k∈N，2k+1个数中，每一个轮次鸡尾酒排序可以把2个数字进行正确排序，

最后一个自然定序，所以最多需要k轮次完成排序，所以B选项正确；

对于选项D：序列{x1,x2,⋯,xn}进行排序，第一个轮次鸡尾酒排序从左往右最多需要n−1次交换位置，

从右往左最多需要n−2次交换位置，以此类推，

所以对于序列{x1,x2,⋯,xn}最多需要12.【答案】1272【解析】解：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，数列{an}的前n项和为Sn，

由题意有b5=a2=16b1=a4=4，则q2=a4a2=14，解得q=12或q=−12(舍去)，13.【答案】(7【解析】解：根据函数解析式，可得2x−8≠0x−3>0(2x−8)0−log12(x−3)>0，即x≠4x>3x>72，

解得72<x<4或x>414.【答案】(2,4)

【解析】解：令g(x)=13x3−4x，g′(x)=x2−4=(x−2)(x+2)，

令g′(x)=(x−2)(x+2)=0，

解得x1=2，x2=−2，

当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x<−2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当−2<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)在x=−2有极大值，在x=2有极小值，

分别为g(2)=83−8=−163，g(−2)=−83+8=163，

其图象如下图：

令ℎ(x)=x2−10x+563=(x−5)2−193，其图象上图，

由于f(x)=g(x),x<aℎ(x),x≥a，且f(x)−k=0有5个根，

即y=f(x)与y=k的图象有5个交点，

即y=k与g(x)=13x3−4x的图象有3个交点，

与ℎ(x)=x2−10x+563的图象有2个交点，

y=k要与g(x)=13x3−4x的图象有3个交点，

则在图象左侧部分有两个交点，

图象右侧部分必须a>2，才有第三个交点，即必须包括极小值点，

y=k与ℎ(x)=x2−10x+563的图象有2个交点，

则图象右侧部分有一个交点，

左侧部分必须a<5包括对称轴，才有第二个交点，

又因为ℎ(x)=x2−10x+15.【答案】a=2，b=−2，减函数；

(−∞,4)．

【解析】(1)根据题意，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，

所以f(0)=b2+1a2+1=0，得b=−2，

又f(−1)=−f(1)，即−12+1a4+1=−−2+1a+1，得a=2，

则f(x)=−2x+12x+1，经检验符合题意．

故a=2，b=−2；

f(x)是R上的减函数．

理由：f(x)=−1+22x+1，函数y=2x+1在R上为增函数且在R上递增，

所以f(x)是R上的减函数．

(2)根据题意，由f(kx)>−f(−x2−4)在x∈[1,4]时恒成立，

因为f(x)是单调递减的奇函数．

所以f(kx)>f(4+x2)，即kx<4+x2在x∈[1,4]时恒成立，

变形可得：k<x+4x，16.【答案】{x|1<x≤2}；

(−∞,−22【解析】(1)log2[f(x)−2]+log2[f(x)]≤3，即log2(2x−2)+log22x≤log28，

所以log2[(2x−2)2x]≤log28，

由y=log2x单调性知2x−2>0(2x−2)2x≤8，

由(2x−2)2x≤8，得(2x−4)(2x+2)≤0，

所以2x≤4，

又因为2x>2，17.【答案】有99.9%把握认为群体类型与新项目的喜好有关联；

p=32【解析】(1)零假设H0：群体类型(甲/乙)与新项目的喜好没有关联，

χ2=270×(75×90−60×45)2135×135×150×120=13.5>10.828，

所以有99.9%的把握认为群体类型与新项目的喜好有关联．

(2)依题意，对新项目三次尝试成功的次数服从二项分布，

又因A发生时B一定发生，则AB=A，

则P(A)=C32p2(1−p)=3p2(1−p)，P(B)=1−C30p0(1−p)3=p[1+1−p+(1−p)2]=p3−3p2+3p，

故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=3p2(1−p)p3−3p2+3p=3p−3p23−3p+p2，p∈[0,1]．

设f(p)=3p−3p23−3p+p2，

则18.【答案】a3=9，a4=25，a5=65；

【解析】(1)根据题意，a3=3a2−2a1+2=3×3−2×1+2=9，

a4=3a3−2a2+22=27−6+4=25，a5=3a4−2a3+23=75−18+8=65，

所以a3，a4，a5的值分别为9，25，65；

(2)证明：由an+2=3an+1−2an+2n，得an+2−an+1=2(an+1−an)+2n，

所以an+2−an+12n=an+1−an2n−1+1，即an+2−an+1219.【答案】f(x)的单调递减区间是(−∞,0)，单调递增区间是(0,+∞)；

(e−1,+∞)；

不存在，理由见解析．

【解析】(1)由f(x)=ex+x2−x，求导得f′(x)=ex+2x−1，

令g(x)=ex+2x−1，

求导得g′(x)=ex+2>0恒成立，即g(x)，即f′(x)在R上单调递增．

又f′(0)=0，故当x<0时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调递减区间是(−∞,0)；

当x>0时，f′(x)>0，

即f(x)的单调递增区间是(0,+∞)．

综上，f(x)的单调递减区间是(−∞,0)，单调递增区间是(0,+∞)；

(2)ℎ(x)=f(