2024-2025学年黑龙江省大庆市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省大庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=(2a+3)x−4a+3,x≥1ax,x<1，对任意的x1，x2∈R，且x1A.a>1 B.a<2 C.1<a<2 D.1<a≤22.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BA.82

B.823

3.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为(

)A.35 B.50 C.70 D.1004.定义符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，设f(x)=sgn(12−x)+12⋅f1(x)+sgn(x−12A.(32,2] B.[1,2] C.{1}∪(5.函数f(x)的定义域为R，f(2)=3，若∀x∈R，f′(x)>1，则f(x)>x+1的解集为(

)A.(−2,2) B.(2,+∞) C.(−∞,2) D.(−∞,+∞)6.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)，且x∈(−1,1]时f(x)=|x|，则函数f(x)的图象与函数y=log2|x|的图象的交点的个数是A.2 B.3 C.4 D.多于47.设函数f(x)=x2−4x+6,x≥0x+6,x<0，则不等式f(x)>3A.(−3,1)∪(3,+∞) B.(−3,1)∪(2,+∞)

C.(−1,1)∪(3,+∞) D.(−∞,−3)∪(1,3)8.已知二次函数y=2x2−1在区间[a,b]上有最小值−1，则下面关系一定成立的是A.a≤0<b或a<0≤b B.a<0<b

C.a<b<0或a<0<b D.0<a<b或a<b<0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+5，则A.f(0)=0 B.g(x)=xf(x)是奇函数

C.f(−1)=7 D.当x<0时，f(x)=−10.函数f(x)=x3−mA. B. C. D.11.已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的是(

)A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反

B.当λ=0时，λa的方向具有任意性

C.|λa|=λ|a|

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.全期望公式E(Y)=xiE(Y|X=xi)P(X=xi)是条件数学期望的一个非常重要的性质.全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设X为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得E(X)=16(1+E(x))+56×1，解得E(X)=65，其中1+E(x)表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为E(X)，加上之前投的一次总次数为13.设{an}是等比数列，且a1+a2+14.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，方程f(x)−loga|x|=0有10四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23．

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对116.(本小题15分)

记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1且2Sn=(n+1)an．

(1)求{a17.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x2−a)ex，a∈R．

(1)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数f(x)有两个不同的极值点x118.(本小题17分)

短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度.为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人．

(Ⅰ)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；

游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计(Ⅱ)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一.现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出．

(i)求经过i次传递后球回到甲的概率；

(ii)记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望．

参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+dα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex+cosx(x∈R)在x=0处的切线斜率为2．

(1)求a的值；

(2)求证：ex≥cosx+x；

(3)是否存在实数m，使得答案解析1.【答案】D

【解析】解：根据题意，函数f(x)对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，

所以f(x)在R上为增函数，

又f(x)=(2a+3)x−4a+3x≥1axx<12.【答案】B

【解析】解：由题意，可得AB⊥平面B1C1CB，

则AC1与平面B1C1CB所成的角即为∠AC1B，从而∠AC1B=30°，

因为AB⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB，所以AB⊥BC1，

在直角△ABC13.【答案】B

【解析】解：根据题意，假设两辆汽车为甲、乙，

分3种情况讨论：

①、甲车里坐2人，则乙车坐4人，有C62种坐法，

②、甲车里坐3人，则乙车坐3人，有C63种坐法，

③、甲车里坐4人，则乙车坐2人，有C64种坐法，

则不同的乘车方法有C62+C63+4.【答案】D

【解析】解：①x=12，sgn(12−x)=0=sgn(x−12)，则f(x)=12f1(x)+12f2(x)，∵f1(x)=2(1−x)，f2(x)=x+12，∴f(x)=54−12x，代入x=12，得f(x)=1；

②12<x≤1，sgn(12−x)=−1，sgn(x−12)=1，f(x)=f2(x)=x+5.【答案】B

【解析】解：构造函数f(x)=2x−1，满足f(2)=3，f′(x)=2>1，

则由f(x)>x+1可得2x−1>x+1，解得x>2，

即不等式的解集为(2,+∞)．

故选：B．

构造函数f(x)=2x−1，解不等式即可得出答案．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了函数的图象的应用，属于中档题．由题意作出函数f(x)的图象与函数y=log2【解答】解：由题意作出函数f(x)的图象与函数y=log2|x|的图象，

则由图象可得，有2个交点，

故选7.【答案】A

【解析】解：由题意函数f(x)=x2−4x+6,x≥0x+6,x<0，不等式f(x)>3等价于x2−4x+6>3x≥0和x+6>3x<0，

解得x>3或者0≤x<1和−3<x<0，

所以不等式f(x)>3的解集为(−3,1)∪(3,+∞)；

故选：8.【答案】A

【解析】解：二次函数y=2x2−1的图象是开口朝上，且以(0,−1)为顶点的抛物线，

若二次函数y=2x2−1在区间[a,b]上有最小值−1，

则函数的最小值点0∈[a,b]，

即a≤0<b或a<0≤b，

故选A．

本题考查二次函数的图象和性质，其中注意答案不能写成a≤0≤b，这种表达方式包含a=b=0，这与区间的定义矛盾，二次函数y=2x2−1的最小值为−19.【答案】AD

【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，f(0)=0，A正确；

所以f(−x)=−f(x)，

则g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，即g(x)为偶函数，B错误；

当x>0时，f(x)=x2+x+5，则f(1)=7，

所以f(−1)=−f(1)=−7，C错误；

当x<0时，−x>0，

则f(−x)=x2−x+5=−f(x)，

所以f(x)=−x2+x−5，D10.【答案】ABD

【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，

当m>0时，f′(x)=3x2+mx2>0，函数f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，选项B符合；

当m=0时，f(x)=x3，选项D符合；

当m<0时，当x>0时，f(x)=x3−mx>0，当x<0时，f(x)=x311.【答案】ABD

【解析】解：根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定可知，λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反，A正确；

对于B，当λ=0时，λa=0，零向量的方向具有任意性，故B正确；

对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，

所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；

对于C，|λa|=|λ||a|，故C12.【答案】10

【解析】解：由全期望公式可知，E(X)=13×2+13[E(X)+3]+13[E(X)+5]，解得E(X)=1013.【答案】32

【解析】解：因为{an}是等比数列，且a1+a2+a3=−3，a2+a3+a4=6，

设{an}的公比为q14.【答案】(5,7)

【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)−loga|x|，其定义域为{x|x≠0}，

由于f(x)为偶函数，

g(−x)=f(−x)−loga|−x|=f(x)−loga|x|=g(x)，则g(x)也是偶函数，

若方程f(x)−loga|x|=0有10个根，则该方程在(0,+∞)上有5个根，

则在(0,+∞)上，g(x)与x轴有5个交点，即函数y=f(x)与y=logax在(0,+∞)上有5个交点，

函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，则有f(x+2)=f(x)，

即f(x)是周期为2的周期函数，

当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，

在同一坐标系中作出y=f(x)和y=logax在(0,+∞)的图象，

必有a>1loga5<1loga7>1，解可得5<a<715.【答案】解：(1)易知X的所有可能取值为0，10，20，30，

此时P(X=0)=C33C103=1120，P(X=10)=C7X0102030P17217故E(X)=0×1120+10×740+20×2140+30×724=21；

(2)记“该同学仅答对1道题”为事件M【解析】(1)由题意，先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；

(2)根据相互独立事件的概率，即可求解．

本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．16.【答案】解：(1)根据题意，a1=1，2Sn=(n+1)an，则2Sn−1=nan−1，

两式相减可得2an=(n+1)an−nan−1，即anan−1=nn−1(n≥2)，

【解析】(1)由an与Sn的关系可得数列{an}的递推式为anan−1=nn−1(n≥2)17.【答案】(1)解：f(x)=(x2−a)ex在R上连续不断，且f′(x)=ex(x2+2x−a)，

由f(x)在(1,2)上单调递增，因ex>0，则x2+2x−a≥0在x∈(1,2)上恒成立，

即a≤x2+2x在x∈(1,2)恒成立，

因g(x)=x2+2x=(x+1)2−1在(1,2)上单调递增，则g(x)>g(1)=3，

故a≤3，即a∈(−∞,3]；

(2)证明：由(1)可知：f′(x)=ex(x2+2x−a)，且ex>0，令f′(x)=0，可得x2+2x−a=0，

由函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2【解析】(1)由函数在(1,2)上单调递增，借助于导函数推得x2+2x−a≥0在x∈(1,2)上恒成立利用参变分离法即可求得参数范围；

(2)由函数有两个极值点，可推得x2+2x−a=0有2个实根x1，x2，利用韦达定理可将f(x18.【答案】解：(Ⅰ)将所给数据进行整理，得到如下列联表：游客短视频合计收看未看南方游客200100300北方游客80120200合计280220500假设H0：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联，

χ2=500×(200×120−80×100)2300×200×280×220=8000231≈34.632>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．

(Ⅱ)(i)设经过i次传递后回到甲的概率为Pi，

则Pi=(1−Pi−1)×14=−14Pi−1+14(i≥2)，

即Pi−15=−14Pi−1−15，

又P1=0，P1−1【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量的均值(期望)，属于中档题．

(Ⅰ)利用已知条件，填写列联表，利用独立检验公式求解判断即可．

(Ⅱ)(i)设经过i次传递后回到甲的概率为Pi，求出关系式，得到通项公式．

(ⅱ)设第i次传递时甲接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，E(Yi)=Pi，设前19.【答案】解：(1)根据题意，f′(x)=aex+sinx(x∈R)，

f′(0)=a=2；

(2)证明：设g(x)=ex−x−1(x∈R)，g′(x)=ex−1，

当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，函数在(−∞,0)上单调递减，

当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，函数在(0,+∞)上单调递增，

则g(x)在R上的最小值为g(0)=0，所以ex≥x+1≥x+cosx；

(3)设ℎ(x)=f(x)−mx3−x22−2x−3=2ex+cosx−mx3−x22−2x−3(x∈R)，

则ℎ′(x)=2ex−sinx−3mx2−x−2(x∈R)，

设H(x)=ℎ′(x)=2ex−sinx−3mx2−x−2，

则H′(x)=2ex−cosx−6mx−1，设G(x)=H′(x)=2ex−cosx−6mx−1，

则G′(x)=2ex+sinx−6m，设T(x)=G′(x)=2ex+sinx−6m，

T(0)=2−6m，T′(x)=2ex