2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=−1+ii的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.−i2.在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是：115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是(

)A.130 B.132 C.134 D.1363.已知圆锥的母线长为2，高为3，则圆锥的全面积为(

)A.5π B.4π C.3π D.2π4.如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，下列运算正确的是(

)A.AB+BD=DA

B.BA+BC5.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=45°，a=3，c=2，则b=(

)A.2 B.5 C.17 6.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为(

)A.25 B.35 C.6257.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是(

)A.若m⊥α，m⊥β，则α//β B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若α⊥β，m⊥β，则m//α8.某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[50,100]内，按分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论错误的是(

)A.成绩在[80,90)上的人数最多 B.成绩不低于70分的学生所占比例为70%

C.50名学生成绩的平均分小于中位数 D.50名学生成绩的极差为50二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=(1−i)(6+i)，则(

)A.z−=7+5i B.|z−2|=52

C.z+7为纯虚数10.新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科，每位同学从中选择1门课程学习.现对该校2000名学生的选科情况进行了统计，如图①，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取5%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②．

则下列说法正确的是(

)A.满意率调查中抽取的样本容量为2000

B.该校学生中对物理课程满意的人数约为720

C.若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则a=80

D.抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数11.如图，三棱台ABC−A′B′C′的侧棱长均相等，△ABC和△A′B′C′都是等边三角形，A′B′=2，AB=4，AA′=2，则(

)A.直线AA′与直线CC′所成的角为π3

B.直线AB与直线A′C′所成的角为π3

C.三棱台ABC−A′B′C′的体积为22

D.三棱台三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量AB=(2,2)，AC=(−1,k−3)，若A，B，C三点共线，则k=______．13.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为34，45，则目标至少被击中1次的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，a+c=6，b=23，则△ABC的面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：

(1)[79.5,89.5]这一组的频率和频数分别为多少？

(2)估计该次环保知识竞赛的及格率(60分以上为及格)；

(3)估计这组数据的80百分位数．16.(本小题15分)

已知向量a=(1,4)，b=(2,3)．

(Ⅰ)求a+2b的坐标；

(Ⅱ)求|a|；

(Ⅲ)若c17.(本小题15分)

为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．

(1)求A，C两地的距离；

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC(已知声音的传播速度为340米∕秒18.(本小题17分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．

(1)证明：BD1//平面19.(本小题17分)

DeepSeek是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在[2,2.5)内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5,3)内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．

参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.B

6.A

7.A

8.D

9.ABD

10.BC

11.BD

12.2

13.192014.215.(1)根据题目容易知，79.5−89.5这一组数据的频率为0.025×(89.5−79.5)=0.25，

79.5−89.5这一组数据的频数为60×0.25=15；

(2)及格率为1−0.01×10−0.015×10=75%；

(3)因为数据落在[39.5,79.5)的频率为0.7，

数据落在[79.5,89.5)的频率为0.25．

设这组数据的80百分位数为x，

所以x∈[79.5,89.5)，

所以x−79.589.5−x=0.10.15，故x=83.5，

即这组数据的80百分位数为16.(Ⅰ)向量a=(1,4)，b=(2,3)．

则a+2b=(1,4)+2×(2,3)=(5,10)；

(Ⅱ)a=(1,4)，则|a|=12+42=1+1617.解：(1)由题意，设AC=x，则

∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒

∴BC=x−217×340=x−40，

在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2−2BA⋅CA⋅cos∠BAC，

即(x−40)2=x18.(1)证明：设AC∩BD=O，连接PO，

在△BDD1中，点P为棱DD1的中点，O为BD的中点，所以PO//BD1，

因为BD1⊄平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD1//平面PAC；

(2)解：由PO//BD1，可知∠APO(或补角)为异面直线BD1与AP所成的角，

由题意得AD=DP=DC=1，PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，

所以AP=PC=AC=2，

因为OA=OC，PO为等边三角形△APC的中线，

所以∠APO=π6，可得异面直线BD1与AP所成的角为π6；

(3)解：连接BC1，

根据D1C119.(1)根据题意可知，0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1，∴a=0.72，

平均值为，0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73，

(2)根据题意可知，抽取的6名学生中，青铜用户选4名，记为a