2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【03-暑假培优练】专题11 数列求和与不等式归类 (13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练) (教师版)

专题11数列求和与不等式归类内容早知道☛第一层巩固提升练题型一：分段型数列求和题型二：正负相间型数列求和题型三：错位相消法求和题型四：裂项型：基础型题型五：裂项型：分子函数型题型六：裂项型：指数裂项型题型七：裂项型：有理化型题型八：裂项型：齐次分离常数型题型九：裂项型：同构反解型题型十：裂项型：裂和型题型十一：先求和再放缩证明不等式题型十二：先放缩再求和证明不等式题型十三：恒成立求参型☛第二层能力提升练☛第三层高考真题练巩固提升练题型01分段型数列求和⭐技巧积累与运用分组求和法：1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：可构建新数列；（2）可“跳项”求1．已知数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）应用分步求解即可；（2）根据分组求和和并项求和思想，结合等比数列求和公式求解即可.【详解】（1）当时，；当时，.也满足，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，故，记数列的前项和为，则.记，则，.故数列的前项和.2．等比数列的公比为2，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解；（2）根据等差数列与等比数列的前项和公式分组求和即可.【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，（2），.综上，3．已知等差数列前项的和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求出，再得出通项公式即可；（2）应用分组求和结合等差数列前n项和公式及等差数列前n项和公式计算求解.【详解】（1）因为，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得所以.题型02正负相间型数列求和⭐技巧积累与运用正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。1．设数列的前项和为，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列满足，，求数列的前项的和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证；（2）由（1）可得，从而得到，则当为偶数时，再利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为，当时，得，解得；由题意①，得②，②①得，即，又所以，即所以是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，则，又，所以且，又因为当为偶数时，，即，所以.2．已知数列的首项为，且满足.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和为；(3)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明；（2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求.（3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和.【详解】（1）因为，，若，则，与矛盾，所以，所以，所以，因为，所以，所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.（2）由（1）知，数列的前项和为.（3）因为，设数列的前n项和为，当n为偶数时，，因为，所以，当为奇数时，为偶数.，所以.3．已知数列的前n项和为，，，．(1)证明：；(2)设，求数列的前2n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据进行求解；（2）在（1）基础上，得到，从而得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【详解】（1）证明：由题可知，当时，解得．又因为，将其与两式相减得：，因为，所以．（2）当n为大于1的奇数时，有，，，…，，累加得．又满足上式，所以n为奇数时，；当n为大于2的偶数时，有，，，…，，累加得．又满足上式．综上可知，．所以，.【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和.题型03错位相消型求和⭐技巧积累与运用错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）思维结构结构图示如下1．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.(1)求和的通项公式；(2)若，求【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可；（2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解.【详解】（1）设数列的公比为，依题意，，由是递减数列，解得，因此；数列，，当时，，而满足上式，因此，所以的通项公式为，的通项公式为.（2）当n是奇数时，，则，，两式相减得：，因此；当n是偶数时，，则，所以.【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和.2．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式；（2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和；（3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，则由，即，得，解得或，因为，故舍去，所以，．（2）由（1）得，，所以，令数列的前项和为，则，即①，②，两式相减得：，所以.（3）设数列的前项和为由，，得，则，即；故.3．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，求证：；(3)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)证明见解析(3).【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；（2）利用等比数列前n项和公式求出，求出，得证；（3）利用错位相减法和裂项相消法，分奇偶项两组求和即可.【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，化简，得，整理，得，解得(舍去)，或，则，，.（2）由(1)可知，，则，，.（3）由(1)可得，，，令，两式相减，可得，，令,.题型04裂项型：基础型⭐技巧积累与运用1．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和；(3)求的面积.【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）由代入抛物线方程，求出，即可得解；（2）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，即可得到，从而数列的通项公式，再由，利用裂项相消法计算可得；（3）由（2）可知：，，，求出点到直线的距离及，再由面积公式计算可得.【详解】（1）因为点在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程；（2）由可知，，因为点在抛物线上，则，且，过，，且斜率为的直线，联立方程，消去可得，解得或，，可得，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以，又，，；（3）由（2）可知：，，，直线的方程为，即，点到直线的距离为，，所以的面积为．2．已知数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，即可求得该数列的通项公式；（2）求出，求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，，当时，则有，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以.（2）由（1）可得，则，则，所以，所以.3．已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，即可结论成立.【详解】（1）由可得，且，所以数列是公比和首项都为的等比数列，所以，，故.（2）设等差数列的公差为，且，因为，可得，因为、、成等比数列，即，因为，解得，所以，，因为，综上所述，对任意，.题型05裂项型：分子函数型⭐技巧积累与运用函数型，指的是f（n）=t（q-p），差型；f（n）是分离常数型；1．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式；（2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明.【详解】（1）已知，当时，；当时，，则，显然时，，满足上式，综上，；（2）由上知:，故，易知单调递增，时，，又，即，证毕.2．已知数列中，.(1)求；(2)设，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.（2）由（1）及已知，利用裂项相消法求和即得.【详解】（1）由题意，得，故为常数列.，故.（2）故3．设等差数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件，列出关于等差数列的首项与公差的方程组，进行求解即可.（2）利用裂项相消求出，再结合不等式的性质证明.【详解】（1）设的公差为，依题意可得即解得所以.（2）由（1）可得，所以..题型06裂项型：指数裂项型⭐技巧积累与运用指数型，类似函数型的列项思维形如1．已知正项数列满足，．(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得；（2）根据裂项求和法可求出结果．【详解】（1）∵，，∴，，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴．（2），∴．2．已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由与的关系可求出通项公式；（2）利用裂项相消法求数列的和即可.【详解】（1）当时，，得，当时，，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）可得，所以，所以3．已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由与的关系求通项；（2）先求出，再用裂项相消法求.【详解】（1）由已知①，当时，，即，解得，当时，②，①②得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）因为，所以.题型07裂项型：有理化型⭐技巧积累与运用无理根式型裂项：无理型裂项相消满足：1．已知数列的前项和为，点在函数的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.【详解】（1）因为点均在二次函数的图象上，可得，则有：当时，；当时，；且也符合，所以．（2）由（1）可得：，所以，所以.2．已知数列的前n项和满足，且．(1)求数列其通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得,两式相减得：,所以，两式相减可得：，再求出的值，则可得数列为3为首项，2为公差的等差数列.由此即可求出其通项公式.（2）求出数列的通项公式，利用裂项相消即可求出其前n项和，即可出解不等式.【详解】（1）由题意知，则,两式相减得：,化简得:,所以，两式相减得：，化简得：，令，得：，即，解得，且，所以数列为3为首项，2为公差的等差数列，所以（2）又(1)知，所以则令，得，解得：.又，所以.所以使成立的最小正整数n的值为8.题型08裂项型：齐次分离常数型⭐技巧积累与运用分离常数型分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。1．设为公差不为0的等差数列的前项和，若，，成等比数列，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项和等差数列的通项公式列式求出和，可得数列的通项公式；（2）根据，裂项求和可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，，因为，，成等比数列，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以，所以的通项公式．（2）由（1）知，所以2．数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列.(1)依次求，，，的值；(2)求数列的通项公式；(3)记（n为正整数），求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据题意分别取、，结合等差数列运算求解即可；（2）根据题意可得，分奇偶项结合累加法运算求解；（3）由（2）可得，分奇偶项结合裂项相消法法运算求解；【详解】（1）因为数列，，是公差为的等差数列，且，令，则数列，，是公差为的等差数列，可得；令，则数列，，是公差为的等差数列，可得.（2）因为数列，，是公差为的等差数列，则，可得，当为奇数，可得，且符合上式，所以当为奇数，；当为偶数，可得；综上所述：.（3）由（2）可得：当为奇数，可得；当为偶数，；综上所述：.当为偶数，可得；当为奇数，可得；综上所述：.3．已知数列的前项和满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，若成等比数列，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将替换得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证明即可；（2）先根据条件求解出的通项公式，然后代入的通项，通过裂项先化简，然后用裂项相消法进行求和.【详解】（1）由题可知，因为，所以时，，两式相减得，化简可得，且满足条件，综上可得，是公差为的等差数列；（2）因为，故，解得，所以，所以，所以所以.题型09裂项型：同构反解型⭐技巧积累与运用，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的1．设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）与的等差中项等于与的等比中项，推出并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；（2）利用（1）得到，并利用裂项相消法求和，进而得解.【详解】（1）由题意，当时有，，所以，解得：，，整理得，由此得，所以，整理得，由题意知，所以，即数列为等差数列，其中，公差，所以.（2）令，则，故，，所以.2．已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由的关系式可得是以4为首项，2为公比的等比数列，即可求出；（2）根据裂项相消求和可得，即可得.【详解】（1）当时，由，得.当时，因为，所以，两式相减得，即.故是以4为首项，2为公比的等比数列，从而.即的通项公式为（2）由（1）可知，则，即3．已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求.【答案】【分析】首先利用公式，化简等式，得到，再得到，两式相减后，可判断数列是等差数列，求得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】因为，①所以，，②①-②相减得，所以，③所以，④④-③得，，所以所以，所以为等差数列，因为，所以，又，所以数列的公差，所以，，所以.题型10裂项型：裂和型⭐技巧积累与运用裂和，一般是正负型：等差裂和型1．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系得到为等比数列求解即可;（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，当时，，当时，，所以，即，又因为，满足上式，所以是以为首项，为公比的等比数列，则.（2）因为，所以.2．已知数列满足：，.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)令，求的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.【详解】（1）证明：由，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即（2）由（1）知：，所以.又，3．已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式：(2)若，的前n项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）已知求的问题，一定要分和进行讨论；（2）用裂项相加法求和，再分为奇数、偶数讨论，确定的取值范围.【详解】（1）因为，当时，.当时，，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故：.（2）证明：因为，所以.当n为奇数时，，因为，所以，所以当n为偶数时，，因为，所以，所以.综上，.题型11先求和再放缩证明不等式⭐技巧积累与运用裂项型证明数列不等式：裂项求和。求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明1．已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求，并求证：.【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式；（2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证；【详解】（1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列，则有，解得，所以（2），，所以数列的前n项和.所以，易知单调递增，同时，所以当时取得最小值，同时，所以2．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”.(1)求的值，并求出的和公比；(2)若，求数列的前项和；(3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解；（2）利用错位相减法求解即可；（3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解.【详解】（1）因为，所以数列所以为公差的等差数列，则，，因为，所以，所以，解得，所以；（2）由（1）得，则，则，，两式相减得，所以；（3），即，即，即，即，即，因为，所以，所以.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.3．已知数列的前项和，，且．(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足，求证：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）令，解方程即可求解，（2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解，（3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解.【详解】（1）在，中，，令，可得，∴．（2），①当时，，②可得，∴，∴是公差为的等差数列，∴，∴．（3）证明：由（2）可得，∴，∴．题型12先放缩再求和证明不等式⭐技巧积累与运用先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。1．已知数列的前项和为，若，且．(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案；（2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案.【详解】（1），∴，∴，即，∴，，…，，∴，即，∴．由，令可得，∴，验证符合上式，∴．（2）由（1）得，，，显然；可知当时，，∴，符合上式，∴不等式得证．2．记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)求证：对于且，．【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，求出结合等差等比数列定义求出通项.（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得.（3）求出，借助不等式性质放缩，再利用裂项相消法求和即得.【详解】（1）在等差数列中，，解得，而，则数列的公差，通项公式为，由，得，令等比数列的公比为，由，得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，，所以数列的前项和.（3）由（1）知，当时，，所以.3．已知数列满足：.(1)求证：数列和均为等比数列；(2)设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由，，两式相减结合累加法得，，再由等比数列定义证明即可；（2）先求出的通项公式，进而证明，从而得出，最后结合裂项相消求和法证明即可.【详解】（1）由，①，②将②-①得，故当时，，，，…，，累加得，故，当时，，符合题意，故，即，，因此为以3为首项，9为公比的等比数列.将代入①得，故为以9为首项，9为公比的等比数列.（2）由（1）知，，故，当为奇数时，；当为偶数时，，因此对任意，均有，则.当时，；当时，.题型13恒成立求参型1．已知数列，，，为数列的前项和，且.(1)令.（i）求证:数列为等差数列，并求数列的通项公式；（ii）求数列的前项和；(2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii）(2)【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；（ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得；（2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）（i）时，，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，故，故；（ii）当时，，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，即，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则.所以，，，①，②①②得，因此，.（2）因为，所以，，，恒成立，即，所以，，令，则，由，即，解得，因为，所以，，故数列中，最大，所以，，因此，实数的取值范围是.2．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为.(1)求的和公比;(2)求;(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)4(2)(3).【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值；（2）由（1）得，用错位相减法求和；（3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围．【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，所以，因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立，所以，解得，所以的和公比为4；（2）由（1）知，，所以，所以，相减得，所以；（3）设，，，是递增数列，不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，当为奇数时，，则，当为偶数时，，则，综上，的取值范围是．3．记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式：(2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可；（2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可．【详解】（1）由，得，因为，故，于是.所以，易知，即.当时，，故，，当时，上式也成立，所以，.（2），所以，所以，由，可得，由于，若为偶数时，则，由于，所以，若为奇数时，则，因为，所以，所以．故的取值范围为．能力培优1．已知数列中，(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)令，证明:．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.【详解】（1）由得，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得,解得：.（3）令，，因为在上单调递增，则所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，故得.2．已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求.(3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设出公差公比，由已知建立方程组，再由等差、等比通项公式求解即可；（2）通过错位相减法和裂项相消法求和即可；（3）通过裂项相消求和，再参变分离求最值即可求解.【详解】（1）设的公差为d，的公比为q．则，∴∴；（2）由（1）知，所以，所以，令，，两式相减可得：，所以，令，所以，（3），所以，由恒成立可得：恒成立，即求当时的最小值，对于，显然当递增，当时取最小15，令，则，显然当时，，即当时取最大为，所以的最小值为11，所以，所以实数的取值范围是3．已知数列对于任意都有．(1)求数列的通项公式．(2)设数列前n项和为，求．(3)证明：，．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解；（2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解；（3）通过作差比较得到时，，从而有时，，再分和三种情况讨论，即可证明结果.【详解】（1）因为①，当时，②，由①②，得到，所以，又时，，得到，满足，所以数列的通项公式为.（2）由题意，所以③，得到④，由③④，得到，所以.（3）因为，，所以时，，当时，，当时，，当时，，综上，，.4．已知数列满足，(1)记，写出，，并证明数列为等比数列；(2)求的前项和．【答案】(1)，，证明见解析(2)【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明（2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）显然为偶数，则，．所以，即．且．所以是以5为首项，2为公比的等比数列，于是，，．（2）记，则从而数列的前项和为：5．记数列的前n项和为，且满足（）.（1）求的通项公式；（2）求证：数列的前n项和.【答案】（1）（2）证明见解析；【分析】（1）由题可知，则当时，，从而得出，根据递推关系证出为等比数列，最后利用等比数列通项公式，即可求出的通项公式；（2）根据题意化简得出，再利用裂项相消法求出数列的前n项和，即可证出.【详解】解：（1），①当时，，②∴①-②得，即，则，当时，由，得，是以为首项，2为公比的等比数列，，.（2），，即.【点睛】本题考查利用和的关系和递推关系证明等比数列，还考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法进行求和，考查化简运算能力.6．已知数列满足：，，，，设.（1）求证：数列是等差数列；（2）记，数列的前n项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】(1)由,则，可得，从而可得数列是等差数列.(2)由条件可得，根据（1）可得，用累加法可求出，从而可得，用裂项相消求和的方法可求出，又随n的增大而增大，可证得，从而可证明结论.【详解】解：（1）由于，则，，两式相减得，易知，所以，故数列是等差数列.（2）因为，，所以，所以，，所以所以.又随n的增大而减小，所以随n的增大而增大.所以.综上，.【点睛】本题考查等差数列的定义通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.属于中档题.高考真题1．(2024年全国甲卷文）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2