【高考模拟】北京市顺义区2025届高三下学期统一测试(一模)数学试卷（含解析）

北京市顺义区2025届高三下学期统一测试(一模)数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合U=xx+3≥0，集合A=xA．−3,−2∪2,+∞C．−3,−2∪2,+∞2．已知平面向量a，b满足a=2，b=1,0，2A．6 B．3 C．−4 D．−23．下列函数中，单调递增且值域为0,+∞A．y=x2 B．y=x+1 C．y=4．复数z的共轭复数为z，且满足2z+z=3+i，则A．2 B．2 C．1 D．25．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等m和绝对星等M满足m−M=5lgd10，其中dA．MB=MA+4 B．MB6．已知A(1,0),B(0,1),C(0,3)，点M满足MB⋅MC=0A．4 B．2 C．1 D．127．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为SF6，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为P−ABCD−Q，各棱长均相等，则平面PAB与平面A．22 B．23 C．128．设an为等比数列，则“存在i>j>k，使得ai<A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，直线BO与l交于点M，若AF=2A．922 B．32 C．10．已知直线y=−x+4分别与函数y=2x和y=log2x的图象交于Ax1,y1，BA．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知双曲线C：x2a2−y2=1的左、右焦点分别为F1，12．若1−2x5=a0+a113．已知直线l：y=kx−1与圆O：x−12+y−12=114．在△ABC中，2b=3c，∠A=2∠C，则cosC=15．已知函数fx=1x,0<x≤1,x−1,x>1.，数列给出下列四个结论：①若a3=3，则②若m=2−1，则③对于任意m>2，存在正整数T，使得an+T④对于任意大于2的正整数T，存在m>1，使得an+T其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，PA=AB=2，PB=22（1）若平面ACE与棱PD交于点E，且PB//平面ACE，求证：E是PD中点；（2）若F是棱PD上一点，且满足PFPD=23，当BD⊥PC时，求17．已知函数fx（1）求f0（2）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数fx存在且唯一确定.当fx在区间0,aa>0条件①：fx在π条件②：y=fx图象的一个对称中心为π条件③：对任意的x∈R，都有fx注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：试卷序号123456789101112系统甲评分828876928766756990588684系统乙评分808276908061716588548280最后得分818576918564746789568483（1）从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；（2）从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；（3）从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为Y1，乙系统对其评分为Y2，最后得分为Z.令ξ=Y1−Z，η=19．已知椭圆E：x2a2+y（1）求E的方程和短轴长；（2）直线l：y=kx+1与E相交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线x=4交于点M，N.当MN=6时，求k20．已知函数fx（1）求曲线y=fx在点0,f（2）设gx=f'x（3）求证：当x>0时，fx21．已知数列P：a1,a2,⋅⋅⋅,an0n0≥3各项为正整数.对任意正整数k（1）对于数列P：1，3，2，2，写出S1P，S2P，（2）若数列P：a1,a（i）若SkP=2k1≤k≤m，令Pn（ii）求证：a1

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为U=xx+3≥0=所以∁U故答案为：C.【分析】先利用一元一次不等式求解方法得出集合U，再根据已知条件和补集的运算法则，从而得出集合A在集合U中的补集.2．【答案】D【解析】【解答】解：由b=1,0，则由2a则4×22−4a⋅故答案为：D.【分析】根据数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，再结合已知条件建立方程，从而解方程得出a⃗3．【答案】B【解析】【解答】解：对于A：因为函数在−∞,0上单调递减，在0,+∞对于B：因为函数在−1,+∞上单调递增，且函数值域为0,+对于C：因为函数在R上单调递增，且函数值域为0,+∞对于D：因为函数在0,+∞上单调递增，值域为R故答案为：B.【分析】利用已知条件和增函数的定义、函数值域求解方法，从而逐项判断找出单调递增且值域为0,+∞4．【答案】A【解析】【解答】解：设z=a+bi，所以2z+z=3+i，

则2a+bi+a−bi=3+i，整理得：3a+bi=3+i，

所以所以z=1+i，z=1−i，z⋅故答案为：A.【分析】设z=a+bi，代入已知条件结合复数相等的判断方法，从而得出复数z，再利用共轭复数的定义求出复数z，最后由复数的乘法运算法则得出z⋅z5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，可得mA−M两式相减可得：mA又因为mB所以MB所以MA故答案为：C.【分析】由题意得到mA−MA=5lg32.66．【答案】B【解析】【解答】解：设点M(x,y)，

由MB⋅MC=(−x,1−y)⋅(−x,3−y)=0则点M的轨迹为圆心在E(0,2)，半径为1的圆，因为AE=12则AM表示圆外的点A(1,0)到圆E上的点的距离，如图，

则5−1≤AM故答案为：B.【分析】设点M(x,y)，由已知条件得出点M的轨迹为圆心在E(0,2)，半径为1的圆，再将AM理解为圆外的点A(1,0)到圆E上的点的距离，再结合图形得出AM的取值范围，从而得出AM的可能的取值.7．【答案】D【解析】【解答】解：设正八面体的棱长为a，连接AC、BD相较于点O，连接OP，

根据正八面体的性质可知ABCD为正方形，AC⊥BD，OP⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A0,−2a2,0，B所以PA=0,2设平面PAB的法向量为n1所以n1⋅PA=0n1⋅PB=0，

则2则QA=0,2设平面QAB的法向量为n2所以n2⋅QA=0n2⋅QB=0，

则2设平面PAB与平面QAB夹角为θ，

则cosθ=所以，平面PAB与平面QAB夹角的余弦值为13故答案为：D.

【分析】利用已知条件和正八面体的结构特征得出线线垂直和线面垂直，从而建立适当的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面PAB的法向量和平面QAB的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面PAB与平面QAB夹角的余弦值.8．【答案】B【解析】【解答】解：假设等比数列的公比q=−2，首项a1=1，

则数列的项依次为当i=4,j=2,k=1时，满足a4<a2<若an为递减数列，

则对于任意的i>j>k，必然有a所以“存在i>j>k，使得ai<a故答案为：B.

【分析】根据题意，举出反例得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，则可验证必要性满足，从而得到“存在i>j>k，使得ai<a9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点A,B作AA1⊥l,BB1⊥l，直线AB与x设AF=2FB=2m因为BB1//AA1，

则cos∠EBB1=B所以，直线AB的斜率为22，

则直线AB的方程为x=24y+1，与y2=4x联立得则直线OB：y=−22x，AB=所以，点M到直线AB的距离为−4−4−416+2所以，∆ABM的面积为12故答案为：A.【分析】根据AF=2FB和抛物线定义可得直线AB的斜率，从而得出AB的值和点M坐标，再利用点到直线的距离公式可得点M到直线AB的距离，再利用三角形的面积公式得出10．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，可得直线y=−x+4与y=x垂直，

函数y=2x和y=log所以Ax1,由y=−x+4y=x，则交点坐标为2,2，

所以x对于①：因为2x1=−x1+4，且对于②：由2x1+2x2≥2对于③：将直线y=−x+4与y=2x联立，

可得−x+4=2设函数fx=2由f1=−1<0，f(3所以，函数fx在区间(1,32因为x1+x构造函数gx=log当g'(x)>0时，可得x∈(0,e)，∴函数g(x)在当g'(x)<0时，可得x∈(e,+∞)，∴函数因为1<x1<32，52<故答案为：C.

【分析】根据函数y=2x和y=log2x的图象关于y=x对称，直线y=−x+4与y=x垂直，从而可得Ax1,y1B11．【答案】y=±x【解析】【解答】解：因为双曲线C：x2a2−y2=1过点M2,3所以双曲线C的方程为x2−y2=1，

故答案为：y=±x.【分析】利用双曲线C过点M2,3，从而可得12．【答案】1；−122【解析】【解答】解：因为1−2x5令x=0，得15=a令x=1，得a0+令x=−1，得a0−①−②得2a1+a3故答案为：1；−122.【分析】根据二项式的展开式，利用赋值法，令x=0得出a0的值，令x=1、x=−1作差计算可得a13．【答案】1（答案不唯一）【解析】【解答】解：由圆O：x−12+y−12=1，

因为直线l:y=kx−1方程的一般式为l:kx−y−1=0.由点到直线距离公式结合题意，

可得：d=k−1−1k2+1<1所以k可以是1.故答案为：1（答案不唯一）.【分析】根据点到直线距离公式和题意，从而列出关于k的不等式，解不等式得出k的取值范围，从而得出k可取的值.14．【答案】10【解析】【解答】解：根据正弦定理，得2b=3c⇒2sin所以2sin因为∠A=2∠C，

所以2sin所以2sin所以22又因为C为三角形内角，所以sinC≠0，

所以2所以22又因为2b=3c，

所以C<B，则C为锐角，

所以cosC=故答案为：104.

【分析】先利用正弦定理结合三角形内角和定理，把2b=3c化成2sinA+C=3sinC，再结合∠A=2∠C和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而可得15．【答案】①②④【解析】【解答】解：①因为fx=1x,0<x≤1x−1,x>1，

所以an+1=1an当a1=m>1时，则a1−1=a2=4，解得a1=5当a2<1时，1a2=a3=3，解得a2=13，

当a1综上可得：m可以取3个不同的值：5，14，43，因此②若m=2−1<1，

则a2=1a1=12−1=2+1③当m=3时，a2=a1−1=2所以，不存在正整数T，an+T≠a④先考虑数列an对于a1=k+a,k∈N∗,0<a≤1，

则a2=a1−1=k−1+a，a3=a2−1=k−2+a则存在m=k+a，使得数列an是周期数列，周期为k+1所以，要使周期为T，只需T=k+1，

则k=T−1，故④正确．故答案为：①②④.【分析】由已知条件结合代入法得出an+1=1an,0<an≤1an−1,an>1，若a3=3，分别对a2,a1进行分类讨论，则可判断结论①；若m=16．【答案】（1）证明：记AC∩BD=O，连接EO，如下图：因为PB//平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC=EO，

所以PB//EO，在∆PBD中，由O为BD的中点，

则E为PD的中点.（2）解：在菱形ABCD中，易知AC⊥BD，

由AB=2，∠BAD=120∘，

则AO=1，因为BD⊥PC，AC∩PC=C，AC,PC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，

所以BD⊥PA，

由PA2+A因为AB∩BD=B，AB,BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD，取PC的中点为Q，易知AP//OQ，

则OQ⊥平面ABCD，

则OB,OC,OQ两两垂直，以O为原点，分别以OB,OC,OQ所在直线为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，如下图：则P0,−1,2，C0,1,0，A0,−1,0可得PD=−3,1,−2，PC=0,2,−2由PFPD=23，

则PF=设平面ACF的法向量n=x,y,z，

则令x=1，则y=0,z=3，

所以平面ACF的一个法向量n设直线PC与平面ACF所成角为θ，

则sinθ=【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理得出线线平行，再利用中位线定理得出E是PD中点.（2）由题意结合线面垂直的性质定理与判定定理，从而建立空间直角坐标，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ACF的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线PC与平面ACF所成角的正弦值.（1）记AC∩BD=O，连接EO，如下图：因为PB//平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC=EO，所以PB//EO，在△PBD中，由O为BD的中点，则E为PD的中点.（2）在菱形ABCD中，易知AC⊥BD，由AB=2，∠BAD=120∘，则AO=1，因为BD⊥PC，AC∩PC=C，AC,PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，由PA2+A因为AB∩BD=B，AB,BD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，取PC的中点为Q，易知AP//OQ，则OQ⊥平面ABCD，则OB,OC,OQ两两垂直，以O为原点，分别以OB,OC,OQ所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图：则P0,−1,2，C0,1,0，A可得PD=−3,1,−2，PC=由PFPD=23，则设平面ACF的法向量n=x,y,z，则令x=1，则y=0,z=3，所以平面ACF的一个法向量n设PC与平面ACF所成角为θ，sinθ=17．【答案】（1）解：因为fx所以f=1所以f0（2）解：对于条件①：因为fx在π又因为fx在π12,7π12所以πω≥π2，

又因为又因为−π所以−5π所以，函数fx−5π若函数在π12,7π12上单调递增，整理得0<ω≤2ω≥−10+24当k1=0时，0<ω≤2ω≥−10当k1=1时，0<ω≤2ω≥14ω≤26因为π2解得π6ω所以，函数fxπ6ω若函数在π12,7π12上单调递减，整理得0<ω≤2ω≥2+24当k2=0时，0<ω≤2ω≥2当k2=1时，0<ω≤2ω≥26ω≤对于条件②：因为y=fx图象的一个对称中心为π又因为ωx+π3=k3所以函数fx=sin若π3,0是则π3=−π3ω+对于条件③：对任意的x∈R，都有fx则当x=π12时，函数取得最大值，

则解得ω=2+24k若选条件①②，则ω=−1+3k或ω=−1+3k3ω=2k3∈Z，所以fx=sin2x+π3，又因为fx在区间0,a所以2a+π3>π2a+π3≤2π若选条件①③，则ω=2+24k或ω=2+24k4ω=2k4∈Z，所以fx=sin2x+π3，又因为fx在区间0,a所以2a+π3>π2a+π3≤2π若选条件②③，则ω=−1+3k则k3−1=8k4k3,【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，再利用代入法得出f0（2）关于条件①，从函数的周期和函数的单调区间两方面限制ω，从而求出ω的取值范围；关于条件②，从而求出函数对称中心表达式，将π3,0代入确定ω的取值；关于条件③和已知条件确定fπ12=1，从而确定ω的取值；再从选条件①②、①③（1）因为fx所以f=1所以f0（2）对于条件①：fx在π因为fx在π12,所以πω≥π2，又因为因为−π解得−5π所以函数fx−5π若函数在π12,7π整理有0<ω≤2ω≥−10+24当k1=0时，0<ω≤2ω≥−10当k1=1时，0<ω≤2ω≥14因为π2解得π6ω所以函数fxπ6ω若函数在π12,7π整理有0<ω≤2ω≥2+24当k2=0时，0<ω≤2ω≥2当k2=1时，0<ω≤2ω≥26对于条件②：y=fx图象的一个对称中心为π因为ωx+π3=所以函数fx=sin若π3,0是则π3=−π对于条件③：对任意的x∈R，都有fx则x=π12时，函数取得最大值，有解得ω=2+24k若选条件①②，则有ω=−1+3k或ω=−1+3k3ω=2k3所以fx=sin2x+π因为fx在区间0,a所以2a+π3>π2a+π若选条件①③，则有有ω=2+24k或ω=2+24k4ω=2k4所以fx=sin2x+π因为fx在区间0,a所以2a+π3>π2a+π若选条件②③，则有ω=−1+3k即k3此时ω取值不唯一，所以函数fx18．【答案】（1）解：设事件A为从这12篇份试卷中随机抽取1份，

甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分，在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有4篇，所以PA（2）解：由题意，X的可能取值为0，1，2，3，则PX=0=C8P所以X的分布列为：X0123P1428121所以X的数学期望为EX（3）解：Dξ<Dη.证明如下：ξ的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1，平均数为：1.5，Dξ=1−1.5η的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3，平均数为：136Dη=1−所以Dξ<Dη.【解析】【分析】（1）已知条件和古典概率公式，从而得出甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率.（2）利用已知条件确定X的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出对应的概率，则得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求出随机变量X的数学期望.（3）由已知条件和平均数公式、方差计算公式，从而比较出方差Dξ和Dη的大小.（1）设事件A为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分，又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有4篇，所以PA（2）由已知X的可能取值为0，1，2，3PX=0=C8P所以X的分布列为X0123P1428121所以X的数学期望为EX（3）Dξ<Dη，证明如下：ξ的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1，平均数为：1.5，Dξ=η的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3，平均数为：13Dη=1−所以Dξ<Dη.19．【答案】（1）解：因为椭圆E的标准方程为：x2又因为A−2,0是椭圆的一个顶点，

所以a=2，

又因为椭圆E的离心率为e=ca所以2=4−b所以椭圆E的方程为x24+（2）解：将直线l的方程y=kx+1代入椭圆E的方程，

得x24+(kx+1)2整理得1+2k设直线l与椭圆E的交点为Bx1,y1所以x1则直线AB的方程为：y=y1x1+2x+2，

与直线因为直线AC的方程为：y=y2x2+2x+2，

与直线因为∣MN∣=∣yM−yN∣=6，则因为y1=kx1+1和y化简∣k展开得：k=2kx所以2k−1x所以x=又因为x所以|2k−1|×32k2+81+2k222k−1【解析】【分析】（1）由题意可得a=2，ca（2）联立直线与椭圆方程，设直线l与椭圆E的交点为Bx1,y1和Cx2（1）已知椭圆E的标准方程为：x2因为A−2,0是椭圆的一个顶点，所以a=2。又离心率为e=ca所以2=4−b所以椭圆E的方程为x24+（2）将直线l的方程y=kx+1代入椭圆E的方程得x2可得x24+设直线l与椭圆E的交点为Bx1,所以x1直线AB的方程为：y=y1x1+2x+2，与直线直线AC的方程为：y=y2x2+2x+2，与直线因为∣MN∣=∣yM−yN因为y1=kx1+1化简∣k展开分子k=2kx所以2k−1x所以x=−2−8k+4又x1所以|2k−1|×32k2+81+220．【答案】（1）解：依题意，f(0)=0，因为f'所以f'所以，曲线y=fx在点(0,f(0))处的切线方程为y−0=2即2x−y=0.（2）证明：由（1）知，g(x)=f'(x)=2所以g'令ℎ(x)=g'(x)=−sinx+x因为x∈(0,π)，

所以−xsinx<0，

则所以ℎ(x)在(0,π)上单调递减，

所以ℎ(x)<ℎ(0)=0，则g'(x)<0，

所以g(x)是（3）证明：令F(x)=f(x)−2x=3sin则F'由（2）知，f'(x)在所以，当x∈(0,π)时，f'(x)<f'(0)=2，此时F所以F(x)<F(0)=0，即f(x)<2x，当x∈π,+∞时，sinx≤1，所以xcosx ≥−x，

则所以3sinx−xcosx−2x≤3+x−2x=3−x<0，综上可得：当x>0时，f(x)<2x.【解析】【分析】（1）先求出f'(x)=2cosx+xsin（2）通过二次求导得ℎ(x)<ℎ(0)=0，则g'(x)<0，再利用导数的正负判断出函数gx（3）令F(x)=f(x)−2x=3sinx−xcosx−2x，求导得f(x)<2x，再利用放缩法得−xcos（1）依题意，f(0)=0．又f'所以f'所以曲线y=fx在点(0,f(0))处的切线方程为y−0=2即2x−y=0.（2）由（1）知，g(x)=f'(x)=2所以g'令ℎ(x)=g'(x)=−因为x∈(0,π)，所以−xsinx<0，即所以ℎ(x)在