【高考模拟】浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题（含解析）

浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆M：x−12A．1,−2，4 B．−1,2，4 C．−1,2，2 D．1,−2，22．已知等差数列an的公差d>0，a4=2A．1 B．2 C．3 D．43．若随机变量X~N1,σ2，且PA．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.64．已知复数z1=1+2i，z2=a+4i（a∈R，i为虚数单位），则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）A．15 B．14 C．136．已知a∈R，若函数fx=x+aA．14,+∞ B．0,14 7．已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为33和123，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（）A．4 B．25 C．3 D．8．已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2bA．203 B．213 C．26二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知fx是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对∀x∈RA．fx=f−x B．f1+x=f1−x10．已知a=2，b=3，A．a+bB．a+C．a+bD．a+b11．如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为2cmA．截口曲线的离心率为1B．该几何体的体积为8C．该几何体的侧面积为8D．该几何体的上截面面积为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知cosα+cosβ=13，sin13．如图，已知在△ABC中，AB=3，AC=22，BC=5，D是线段AC上的动点，E、F是线段AB上的动点（F在E的右侧），且四边形DEFG是正方形，则线段CG长度的最小值是14．已知集合S=x∈Zx−1x−（1）若x1+x（2）若2x1+x2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：了解情况非常了解一般了解不了解人数（名）580320100（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.16．已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=1，AB=3（1）求证：直线CM∥平面PAB；（2）当二面角P−AD−B的大小为π317．已知数列an和bn满足a1b1+1+（1）求数列an和b（2）求n=1501an的值.（其中x表示不大于18．已知抛物线Γ：y2=2pxp>0的焦点为F1,0，直线l与抛物线（1）求抛物线Γ的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）过点Qm,1m<0作抛物线Γ的两条切线，分别交l于C，D两点，求19．函数fx的定义域为D，记fx的图象在点a,fa处的切线方程为y=ga（1）若fx=sin（2）若fx=ex，（3）若fx=x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为圆M：x−12+y+22=4，

所以，圆x−1故答案为：D.【分析】利用已知圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径长.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为等差数列an的公差d>0，

由a4=2a2则a1+1所以a1故答案为：B.【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式，从而用公差d表示a1，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出a3．【答案】B【解析】【解答】解：由X−1<0.1，

可得−0.1<X−1<0.1，

则0.9<X<1.1因为随机变量X~N1,σ2所以PX−1故答案为：B.【分析】利用正态密度对应的概率密度函数图象的对称性和绝对值不等式求解方法，从而得出PX−14．【答案】C【解析】【解答】解：因为复数z1=1+2i，z2=a+4i，

所以z1所以“a=2”是“z1故答案为：C.【分析】根据已知条件和复数的加法运算法则以及复数求模公式，从而得出a的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.5．【答案】A【解析】【解答】解：设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，

事件B表示：另一个也是红球，则PA=C已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为：PB故答案为：A.【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，再利用组合数公式和古典概率公式，从而分别求出PA和P6．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数fx=x+a所以f'又因为函数fx则关于x的方程x2−x−a=0有两个不等的正根x1所以，Δ=1+4a>0x1+x2因此，实数a的取值范围是−1故答案为：C.

【分析】利用求导的方法，从而得出f'x=x2−x−ax2，利用函数fx既有极大值，又有极小值，则关于x的方程x7．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，O1,O2分别为上下底面的外心，

则外接球球心O连接C'O1并延长交A'B设等边三角形A'B'C'的边长为a∴a1=23设等边三角形A'B'C'的边长为a∴a2=43，O2C=23CD=2设正三棱台的外接球的半径R，所以R2−O2C2+故答案为：B.

【分析】利用正三角形的面积公式分别求出上下底面所在平面截球所得圆的半径，从而找到球心，再利用勾股定理得出正三棱台外接球的半径.8．【答案】B【解析】【解答】解：由双曲线定义得，AF1−设BF1=AB=m，则BF2在△ABF1中，

由余弦定理，得cos∠ABF∴BF在△BF1F2中，∴7a2=3c2故答案为：B.【分析】设BF1=AB=m，根据双曲线定义表示出BF2,A9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：由函数fx是定义域为R且周期为2，

则将0,2的图象往左和往右复制延伸可得f可知函数关于y轴对称，所以，函数fx对于B：由图象可知x=1为函数图象的对称轴，

得f1+x对于C：令ℎ(x)=x−sinx，

则ℎ'(x)=1−cos所以ℎ'(x)≥0恒成立，则当x∈0,+∞时，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则由图象可知，当x∈0,1时，fx单调递增，则当x∈1,2时，fx单调递减，则对于D：由函数fx图象可知，当x∈0,1时，fx令g(x)=x−sinπ2x，

则g'(x)=1−π2cosπ2则当x∈0,x0时，g'(x)≤0当x∈x0,1时，g'(x)>0则x∈0,1，g(x)≤0，

所以x≤sinπ2x令φ(x)=sinπx2，该函数周期T=12×2π故答案为：ABD.

【分析】结合函数fx是定义域为R且周期为2，可得函数在R上的图象关于y轴对称，从而判断出函数为偶函数，则可判断选项A；由函数的图象的对称轴，则可以判断选项B；令ℎ(x)=x−sinx，利用导数判断函数的单调性，从而判断出fx,fsinx的大小，则可判断选项C；由图象可知，在x∈0,1时，fx=x，10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于选项A：由向量模长的三角不等式，

得|a+b+c当这三个向量当a,b,因为长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，则a+对于选项B，因为a当a,b,则a+b⋅对于选项C、选项D，因为

a设d=b+c当a与d反向时，a⋅d⋅所以b⋅c=|d|−252所以，当d=2时，取得最小值为−212所以cos<故答案为：ABC.

【分析】利用向量的模的三角不等式|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|（当且仅当11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为2cm所以，截面椭圆长轴长为2a=4sin45∘=42，短轴长为所以e=c对于选项B：因为上、下截面间的距离为2cm，

所以AB=将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置，则正好是以底面半径为2cm，高为2cm的圆柱，

则对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，高为2的圆柱的侧面，

则S=2π×2×2=8πcm对于选项D：利用椭圆的面积公式，得S=πab=42故答案为：BCD.

【分析】利用截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为2cm，则根据正弦函数的定义求出椭圆长轴长和短轴长，则判断出选项A；利用割补法将图形等价于底面半径为2cm，高为12．【答案】−【解析】【解答】解：由cosα+cosβ=13两式相加得：2+2cos故答案为：−59【分析】利用平方关系结合两角差的余弦公式，从而得出cosα−β13．【答案】2【解析】【解答】解：在∆ABC中，AB=3，AC=22，BC=由余弦定理，可得cos∠BAC=因为0<∠BAC<π，所以∠BAC=π设DE=x，

则DG=x，AD=2x，由题意，可得AD≤ACAE+EF≤AB，

则2x≤222x≤3x>0因为DG//AB，

所以∠CDG=π在∆CDG中，由余弦定理，

可得C=则CG≥255，当且仅当x=65∈(0,3故答案为：255.

【分析】利用余弦定理可得∠BAC的值，设DE=x，则DG=x，AD=2x，CD=2214．【答案】4k2【解析】【解答】解：（1）由S=x∈Zx−1x−4k+1≤0,k≥2,k∈Z因为A=x1,x2又因为x1+x2∈S根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设x1<x2，当x1=1时，x2可取2，3，4，……，4k,k≥2,k∈Z当x1=2时，x2可取3，4，……，4k−1,k≥2,k∈Z当x1=3时，x2可取4，……，4k−2,k≥2,k∈Z……当x1=2k−2,k≥2,k∈Z时，x2可取2k−1，2k，2k+1，2k+2当x1=2k−1,k≥2,k∈Z时，x2可取2k，2k+1，2k+2,k≥2,k∈Z当x1=2k,k≥2,k∈Z时，x2可取2k+1,k≥2,k∈Z易知1，3，5，……，4k−3,k≥2,k∈Z，4k−1,k≥2,k∈Z，

构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为4k−1−12和为1+3+5+⋯+4k−3+4k−1=2k（2）由（1）知，1≤x≤4k+1,k≥2,k∈Z，因为2x1+①当x1为奇数时，x显然在1≤x2≤4k+1,k∈Z，满足条件的x2有2，6，……，4k−2,k≥2,k∈Z，在1≤x1≤4k+1,k≥2,k∈Z，满足条件的x1有1，3，5，……，4k+1,k≥2,k∈Z，此时满足条件的不同的有序数对x1,x②当x1为2的奇数倍时，x显然在1≤x2≤4k+1,k≥2,k∈Z，满足条件的x2有4，8，……，4k,k≥2,k∈Z，在1≤x1≤4k+1,k≥2,k∈Z，满足条件的x1有2，6，……，4k−2,k≥2,k∈Z，此时满足条件的不同的有序数对x1,x③当x1为2的偶数倍，即4的整数倍时，x2应取4的整数倍，且显然在1≤x1≤4k+1,k≥2,k∈Z，满足条件的x1有4，8，……，4k,k≥2,k∈Z，在1≤x2≤4k+1,k≥2,k∈Z，满足条件的x2有4，8，……，4k,k≥2,k∈Z，且此时满足条件的不同的有序数对x1,x综上所述，

满足条件的不同的有序数对x1,x故答案为：4k2,k≥2,k∈Z【分析】（1）根据已知条件可得1≤x≤4k+1,k≥2,k∈Z，根据集合中元素的性质，设x1<x2，则1≤x1≤2k,k≥2,k∈Z（2）根据已知条件可知2x1+x2为4的整数倍，再分x1为奇数、15．【答案】（1）解：已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100名，根据古典概型概率公式，可得P=mn=1001000（2）解：因为原来“不了解”的市民占比为0.1，

“非常了解”的市民占比为5801000=0.58，

“一般了解”的市民占比为3201000=0.32，

经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，

有20%转变为“非常了解”，其余保持不变，

所以，重点宣传后“非常了解”的概率为：0.58+0.1×20%=0.58+0.02=0.6.

从该市成年人口中随机抽取3人，

记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，

因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，

所以X∼B3,0.6，

根据二项分布的概率公式，

得PX=k=C3k0.6X0123P0.0640.2880.4320.216因为X∼B3,0.6，

根据二项分布的数学期望公式，可得E(X)=3×0.6=1.8【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而得出其对垃圾分类知识“不了解”的概率.（2）先求出重点宣传后“非常了解”的概率，再根据二项分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100名，根据古典概型概率公式可得P=m所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识“不了解”的概率P=0.1.（2）原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为5801000=0.58，“一般了解”的市民占比为经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58+0.1×20%从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，所以X∼B3,0.6根据二项分布的概率公式PX=kPX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216因为X∼B3,0.6，根据二项分布的数学期望公式可得E(X)=3×0.6=1.816．【答案】（1）证明：如图，取PA的中点N，连接MN,BN，又因为M是PD的中点，

所以MN//AD,且MN=12AD，

所以MN//BC且MN=BC，

所以四边形MNBC为平行四边形，故CM//NB，又因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，

所以直线CM∥平面PAB.（2）解：取AD的中点E，连接PE,CE，因为三角形PAD为等边三角形，

所以PE⊥AD，且PE=2∵AE//BC且AE=BC，

所以四边形AECB为平行四边形，∴CE//AB，因为AB⊥BC，所以CE⊥AD，

所以∠PEC为二面角P−AD−B的平面角，所以∠PEC=π3，

∵CE=AB=3,PE=3因为AD⊥PE,AD⊥CE,PE∩CE=E,PE⊂平面PCE，

CE⊂平面PCE，所以AD⊥平面PCE，

作PO⊥CE于点O，

因为OP⊂平面PCE，

所以AD⊥OP，又因为PO⊥CE,AD∩CE=E,AD⊂平面ABCD，

CE⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，

如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，则P0,0,32显然平面ABCD的法向量为n=0,0,1，

设直线CM与平面ABCD所成角为则sinθ=故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为310【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形MNBC为平行四边形，则CM//NB，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线CM∥平面PAB.（2）取AD的中点E，连接PE,CE，再利用二面角的定义，从而得到∠PEC为二面角P−AD−B的平面角，再建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ABCD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线CM与平面ABCD所成角的正弦值.（1）如图，取PA的中点N，连接MN,BN，又M是PD的中点，则MN//AD,且MN=12AD所以MN//BC且MN=BC，所以四边形MNBC为平行四边形，故CM//NB，因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，所以直线CM∥平面PAB（2）取AD的中点E，连接PE,CE，因为三角形PAD为等边三角形，所以PE⊥AD，且PE=∵AE//BC且AE=BC，所以四边形AECB为平行四边形，∴CE//AB，因为AB⊥BC，所以CE⊥AD，所以∠PEC为二面角P−AD−B的平面角，所以∠PEC=π3，∵CE=AB=3因为AD⊥PE,AD⊥CE,PE∩CE=E,PE⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AD⊥平面PCE，作PO⊥CE于点O，因为OP⊂平面PCE，所以AD⊥OP，又因为PO⊥CE,AD∩CE=E,AD⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，则P0,0,32显然平面ABCD的法向量为n=0,0,1，设直线CM与平面ABCD所成角为则sinθ=故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为31017．【答案】（1）解：由bn+1=2bn+1，

所以，数列bn+1是首项和公比都为所以，bn+1=2⋅2n−1=由a1可得2a1当n≥2时，

则2a1①−②得2nan=2n−1因为a1=1也满足故对任意的n∈N∗，（2）解：因为1=−2n−1所以n=1另一方面，

当n≥2时，1=所以n=1所以101−1<又因为101−1>100−1=9，

【解析】【分析】（1）由已知条件得出bn+1+1=2bn+1，再利用等比数列的定义判断出数列bn+1是等比数列，从而确定该数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列b（2）由放缩法得出1an>−2n−1+2n+1，当n≥2时，（1）由bn+1=2bn+1所以，数列bn+1是首项和公比都为所以，bn+1=2⋅2由已知a1可得2a1当n≥2时，则有2a1①−②得2nana1=1也满足故对任意的n∈N∗，（2）因为1=−2n−1所以，n=150另一方面，当n≥2时，1=2所以，n=150所以，101−1<又因为101−1>100−1=918．【答案】（1）解：因为抛物线Γ：y2=2pxp>0所以p2所以抛物线Γ:（2）解：由题意知，直线AB的斜率存在，设Ax1,y1,Bx2因为线段AB的中点为M52,1，

所以y1−y2x1−x2（3）解：设抛物线的切线方程为x−m=ty−1则x−m=t(y−1)y2=4x，

所以y2−4ty+4t−4m=0，

则t1+t2=1t1联立x−m=t则xC=5t1则CD=5x所以点Q到直线线l的距离为d=|2m−5|5，

所以令ℎm因为1−4m>0，

所以m<14，ℎ'当m<−12时，ℎ'm<0，ℎm单调递减；

当所以ℎmmin=ℎ【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标得出p的值，从而得出抛物线的标准方程.（2）根据点差法结合两点求斜率公式以及中点坐标公式，从而得出直线的斜率，进而得出直线l的方程（3）设抛物线的切线方程为x−m=ty−1，联立直线方程与抛物线方程，从而得出交点坐标关系式，设QC的方程为x−m=t1y−1，联立x−m=t1y−1y=2x−4，从而求出xC、xD，再利用两点求距离公式得出|CD|，则根据点到直线的距离公式求出点（1）因为抛物线Γ：y2=2pxp>0所以p2所以抛物线Γ:（2）由题易知直线AB的斜率存在．设Ax1,y1因为线段AB的中点为M52,1所以y1−y2x1−（3）设抛物线的切线方程为x−m=ty−1x−m=t(y−1)y2=4x，即y2−4ty+4t−4m=0t1+t2=1联立x−m=txC=5CD=Q点到直线线l的距离d=|2m−5|5，所以令ℎm因为1−4m>0，则m<14，ℎ'当m<−12时，ℎ'm<0，ℎm单调递减，当所以ℎmmin=ℎ19．【答案】（1）解：因为fx=sin2x−π3，

所以f'所以，函数fx在x=π6处的切线方程为y=2x−π（2）证明：假设Pf≠∅，

则存在a∈R，使得对任意的x≠a，

所以因为fx=ex，则f'所以，函数fx=ex在所以gax=ea当x=a−