2024-2025学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2+x−2<0}，B=[−2,0]，则A∩B=A.(−2,0] B.[−1,0] C.{−1,0} D.{−2,−1}2.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1A.1 B.12 C.2 D.3.若l，m是两条直线，α，β是两个平面，且l⊂β，α∩β=m.设p：l//α，q：l//m，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.(1+2x)6的展开式中第4项的系数是(

)A.20 B.15 C.160 D.1205.若随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，则A.P(X>0.9)=P(X<1.1)

B.P(X<0.8)>P(X>1.1)

C.P(0.9<X<1.1)=P(1<X<1.2)

D.P(0.8<X<1.2)<P(0.9<X<1.3)6.如图，圆C和Rt△AOB的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设∠AOP=θ，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是(

)A.B.C.D.7.若sinαcosβ−cosA.cos(α+β)=0 B.cos(α−β)=12 C.8.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(−1−x)=f(−1+x)，f(1−x)+f(1+x)=0.当x∈[−1,1]时，f(x)=ax3−3，则f(x)的最大值是A.6 B.3 C.5 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x1<x2<x3，样本数据S1：x1，A.S1的平均数一定等于S2的平均数 B.S1的中位数一定小于S2的中位数

C.S1的极差一定大于S2的极差10.已知函数f(x)=(x−a)(x−b)2，a，b∈R，(

)A.若a=2，b=−1，则函数f(x)+2为奇函数

B.若f(x)有极小值0，则a>b

C.若f(x)有极大值2，则a<b

D.f(x)可能在x=a+b11.如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线C过点F1(−1,0)，且曲线C上任意一点P到F1和F2(1,0)的距离满足|PA.a=4

B.曲线C与单位圆有3个交点

C.|OP|的最小值为35

D.|OP|的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有______种不同的选法．13.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是

．14.定义：平面点集D中的每一点P(x,y)(x∈R,y∈R)都有唯一的实数f(x,y)与之对应，则称f(x,y)为D上的二元函数.若点P(x,y)的横、纵坐标x，y均为整数，则称点(x,y)为“整数点”.已知f(x,y)=x2−2xy+3y2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x−32．

(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若函数16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x+1)ex．

(1)求y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值；

(3)判断方程f(x)=a(a∈R)的解的个数．17.(本小题15分)

在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE.设M是线段A1C的中点，CE⊥A1E.

(1)证明：CE⊥平面A1DE；

(2)求三棱锥A18.(本小题17分)

若无穷正项数列{an}同时满足以下两个性质：①存在M>0，使得an<M，n∈N∗；②{an}为单调数列，则称数列{an}具有性质Q．

(1)若an=2n−1，bn=(12)n；

(i)判断数列{an}，{bn}是否具有性质Q，并说明理由；

(ii)记19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=±3x，且经过点(2,3)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)F1，F2分别是双曲线C的左右焦点，过双曲线C上一点P(x0,y0)作双曲线的切线l(l的方程为x0xa2−y0参考答案1.A

2.D

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.A

9.AC

10.AC

11.ABD

12.6

13.y214.(3,1)

15.解：(I)f(x)=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3)，

−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，

所以16.(1)由函数f(x)=(x+1)ex，可得f′(x)=(x+2)ex，

则f′(0)=2，f(0)=1，即切线的斜率k=2，切点坐标为(0,1)，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y=2x+1．

(2)由(1)知f′(x)=(x+2)ex，

当x<−2时，f′(x)<0；当x>−2时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,+∞)单调递增，

当x=−2时，f(x)有极小值f(−2)=−1e2．

(3)由(2)知，函数f(x)在(−∞,−2)递减，在(−2,+∞)递增，且f(x)有极小值−1e2，

又由x→−∞时，f(x)→0；x→+∞时，f(x)→+∞，

函数f(x)的图象如图所示，

又由方程f(x)=a(a∈R)的解的个数，即为y=f(x)与y=a的图象的交点个数，

由图象可得：当a<−1e2时，没有公共点，此时方程f(x)=a无解；17.(1)证明：因为AB=2，AD=1，∠DAB=60°，E为AB中点，

所以AE=AD=BE=BC=1，∠ABC=120°，

即△ADE为等边三角形，所以DE=1，

在△BCE中，EC2=BE2+BC2−2BE⋅BC⋅cos∠ABC=1+1−2×1×1×(−12)=3．

所以CE=3，因为DE2+CE2=DC2，所以CE⊥DE，

又CE⊥A1E，A1E∩DE=E，A1E，DE⊂平面A1DE，所以CE⊥平面A1DE

(2)由(1)可知，CE为三棱锥C−A1DE的高，

SΔA1DE=12A1D⋅A1E⋅sin∠DA1E=12×1×1×32=34，

所以VA1−DEC=VC−A118.(1)(i)假设存在M>0，使得an=2n−1<M，则有n<M+12，

因为n∈N∗，所以数列{an}不具有性质Q；

因为bn=(12)n<1，且{bn}为单调递减数列，所以数列{bn}具有性质Q；

(ii)数列{Sn}具有性质Q，Sn=1⋅12+3⋅(12)2+⋯+(2n−1)(12)n，12Sn=1⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+(2n−1)(12)n+1，

两式作差得：12Sn=12+2⋅(12)19.(1)由题意得：ba=3，即b=3a，又双曲线C经过点(2,3)，

得1=2a2−3b2=2a2