2024-2025学年四川省广元市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省广元市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin15°cos15°=(

)A.14 B.34 C.12.已知复数z=3+i，则z−在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是(

)A.85 B.90 C.95 D.1004.有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，其平均数和方差分别为x−,s2.由这组数据得到一组新样本数据y1，y2，⋯A.y−=4x− B.y−=45.已知a=(−3,4)，b=(2,−1)，则a在b上的投影向量的模为(

)A.2 B.25 C.56.已知直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为3，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为(

)A.(23+3)π B.(23+4)π7.已知sin(π4+α)=−3A.−1665 B.1665 C.−8.设P(x1,y1)和Q(x2,y2)A.−45 B.−35 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线m，n和平面α，β，则下列命题中真命题是(

)A.若α//β，m//α，则m//β

B.若m//n，m⊥α，则n⊥α

C.若n⊂α，m//n，则m//α

D.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m//α10.下列式子正确的是(

)A.sin15°+cos15°=62 B.cos75°=6+211.正方体ABCD−EFGH的棱长为2，AP=PE,CM=γCEA.|PQ|+|QC|的最小值为15

B.若λ=2μ，则EQ//平面BPG

C.若λ=1,μ=12，则四面体QBPF的体积为23

D.点M三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生______人.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，则A=______．14.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PB⊥底面ABCD.若PB=AB=CD=AD=1，BC=2，则这个四棱锥的外接球表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正方体ABCD−A1BC1D1中，

(1)求证：B1D⊥平面A16.(本小题15分)

某校高一年级共1000名学生参加“墨香盈校，书韵伴行”读书节知识竞赛，学校随机抽取了若干份试卷对其得分(满分100分)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)用样本估计总体，试估计本次读书节知识竞赛得分的中位数(保留一位小数)；

(3)用样本估计总体，试估计本次读书节知识竞赛得分不低于80的人数．17.(本小题15分)

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，AE+BE=0，点F为边BC上靠近点B的三等分点．

(1)求证：CE⊥AF；

(2)18.(本小题17分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，BC⊥平面ABE，BC//AD，且AD=2BC=2，F是DE的中点．

(1)证明：DA⊥CF；

(2)若BA=BE=2，直线CF与直线DB所成角的余弦值为64．

(i)求四面体ABDE的体积；

(ii)求二面角E−DC−B19.(本小题17分)

已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+2(0<ω<2,0<φ<π2)．

请在下面的三个条件中任选两个解答问题．

①函数f(x)的图象过点(0,22)；

②函数f(x)的图象关于点(12,2)对称；

③函数f(x)相邻两个对称轴之间距离为2．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若x1，x2是函数参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.90

13.2π314.5π

15.解：(1)证明：如图所示，连接B1D1，

因为DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

所以DD1⊥A1C1，

又因为B1D1⊥A1C1，B1D1∩DD1=D1，B1D1，DD1⊂平面DD1B1，

所以A1C1⊥面DD1B1，而DB1⊂平面DD1B1，从而A1C1⊥DB1，

同理可证BC1⊥平面DCB1，

而DB1⊂16.(1)由频率分布直方图可得10×(0.038+0.034+0.018+0.006+a)=1，所以a=0.004；

(2)因为(0.004+0.018)×10<0.5，(0.004+0.018+0.038)×10>0.5，

所以本次读书节知识竞赛分数的中位数在[70,80)这一组，

设本次读书节知识竞赛分数的中位数为x，则(0.004+0.018)×10+0.038(x−70)=0.5，解得x≈77.4，

所以估计本次读书节知识竞赛分数的中位数为77.4；

(3)由频率分布直方图可得读书节知识竞赛分数不低于80的频率为(0.034+0.006)×10=0.4，

用样本估计总体，可以估计读书节知识竞赛分数不低于80的人数为1000×0.4=400，

所以估计本次读书节知识竞赛分数不低于80的人数为400．17.(1)证明：因为∠BAC=90°，AB=AC=1，AE+BE=0，点F为边BC上靠近点B的三等分点，

可得E为AB的中点，AB⋅AC=0，且B=C=45°，BC=2，

所以CE⋅AF=(AE−AC)⋅(AB+BF)=(12AB−AC)⋅(AB+13BC)

=(12AB18.(1)证明：取AE的中点H，连接FH，BH，

因为F是DE的中点，所以AD//FH，AD=2FH，

又BC//AD，且AD=2BC=2，

所以BC//FH，BC=FH，即四边形BCFH是平行四边形，

所以CF//BH，

因为BC⊥平面ABE，BC//AD，所以AD⊥平面ABE，

又BH⊂平面ABE，所以AD⊥BH，

所以AD⊥CF．

(2)解：(i)连接DH，

因为BA=BE=2，H是AE的中点，所以BH⊥AE，

由(1)知，AD⊥BH，

因为AE∩AD=A，AE、AD⊂平面ADE，所以BH⊥平面ADE，

又DH⊂平面ADE，所以BH⊥DH，

由(1)知，CF//BH，

又直线CF与直线DB所成角的余弦值为64，所以cos∠DBH=64，

在Rt△BDH中，BD=AD2+AB2=22，cos∠DBH=64=BHBD=BH22，即BH=3，

所以AE=2AH=2AB2−BH2=222−(3)2=2，即△ABE是边长为2的等边三角形，

所以四面体ABDE的体积为VD−ABE=13AD⋅S△ABE=13⋅2⋅12⋅2⋅3=233．

(ii)取AB的中点M，连接EM，则EM⊥AB，且EM=3，

因为AD⊥平面ABE，EM⊂平面ABE，所以AD⊥EM，

又AB∩AD=A，AB、AD⊂平面ABCD，所以EM⊥平面ABCD，

过点M作MN⊥CD于点N，连接EN，则∠MNE即为二面角E−DC−B的平面角，

在直角梯形ABCD中，CM=2，DM=5，CD=5，

而△CDM的面积S=12MN⋅CD=12CM⋅CD2−(12CM)2，

所以MN⋅5=2⋅(5)2−(22)2，即MN=35，

所以EN=MN2+EM2=(35)2+(3)2=265，

所以sin∠MNE=EMEN=35265=64，

故二面角E−DC−B的正弦值为64．

19.解：(1)若选①②，

①由f(0)=22得2cosφ+2=22，即cos