2024-2025学年陕西省西安市高新唐南中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市高新唐南中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.对于数据1，2，4，6，6，11，下列说法错误的是(

)A.平均数为5 B.众数为6 C.极差为10 D.中位数为62.已知复数z=−i，则|z2025−A.2 B.2 C.1 D.3.已知集合A={x|y=10−x2}，则集合A.8 B.16 C.32 D.644.设集合A={x|x+2x−2≤0}，B={x|log2A.[−2,2] B.[−2,2) C.(−1,2] D.(−1,2)5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosA=(

)A.34 B.78 C.236.已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A在C的准线l上，点B在C上，若∠AFB=90°，且|BF|=2|AF|=10，则p=(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1≠a2，且4aA.2533 B.2543 C.85 8.已知α，β为锐角，tan(α−β)=34,sinαsinβ=1A.45 B.35 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知公差为1的等差数列{an}满足a1，a3，A.a1=2 B.{an}的前n项和为n(n+3)2

C.{1anan+110.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e−x⋅(x−1)，则A.当x<0时，f(x)=−ex⋅(x+1)

B.∀x∈R，都有f(x)∈(−1,1)

C.f(x)≥0的解集为[−1,0)∪[1，+∞)

D.f(x)的单调递增区间是11.已知双曲线C：x24−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，过点P的直线lA.|PF1|+|PF2|的最小值为4

B.与C仅有公共点P的直线共有三条

C.若P(4,3)，且P为线段MN的中点，则l的方程为y=x−1

D.若l与C相切于点P(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(m,2m−1),b=(1,−2)，若a//b13.已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值，则c=______．14.某半球形容器如图①所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图②所示，则小球的表面积等于

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

设f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8．

(1)求φ，并求函数y=f(x)的对称中心；

(2)求函数y=f(x)的单调递增区间；

(3)求函数f(x)16.(本小题12分)

设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点F1，F2.已知|A1F2|=3，|A2F2|=1．

(1)求椭圆方程；

(2)若斜率为17.(本小题12分)

如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=2AB=2BC=2CD，E是AD的中点，将△ABE沿BE折起至△A′BE的位置，使得二面角A′−BE−C的大小为120°(如图2)，M，N分别是A′D，BC的中点．

(1)证明：MN//平面A′BE；

(2)求二面角A′−BD−C的余弦值．18.(本小题12分)

设函数f(x)=x+alnx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x−1．

(1)求实数a的值；

(2)若函数y=f(x)−2x+m有两个不同的零点x1，x2，且x1<x2，

①求实数m的取值范围；

②19.(本小题12分)

已知甲盒子中装有1个白球和2个黑球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次(n∈N∗)这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为Xn，甲盒中恰有2个白球的概率为an，恰有1个白球的概率为bn．

(1)求a1，b1和a2，b2；

(2)证明：{an+2b答案解析1.【答案】D

【解析】解：数据1，2，4，6，6，11，

所以平均数为1+2+4+6+6+116=5，众数为6，极差为11−1=10，中位数为4+62=5．

故选：D．2.【答案】B

【解析】解：z=−i，

则z2025=(−i)2024⋅(−i)=−i，z2026=(−i)2024⋅(−i)3.【答案】B

【解析】解：集合A={x|y=10−x2}={x|−10≤x≤10}

则集合A∩N中共有0，1，2，3四个元素，子集个数为24.【答案】D

【解析】解：不等式log2(x+1)<2等价于log2(x+1)<log24，

∴x+1>0x+1<4，∴−1<x<3，∴B={x|−1<x<3}，

不等式x+2x−2≤0等价于(x+2)(x−2)≤0x−2≠0，解得−2≤x<2，

∴A={x|−2≤x<2}；

∴A∩B={x|−1<x<2}．5.【答案】B

【解析】解：根据正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC=2：3：4，

设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)，由余弦定理得cosA=(3k)2+(4k)2−(2k)22×3k×4k=6.【答案】D

【解析】解：已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A在C的准线l上，点B在C上，

又∠AFB=90°，且|BF|=2|AF|=10，

如图，过B作BB1⊥l于B1，

由抛物线的定义知|BB1|=|BF|=10，

又∠AFB=90°，

则Rt△AFB≅Rt△AB1B，

设∠FBA=α，

则∠B1BA=α，

因为|BF|=2|AF|=10，

则|AB|=|BF|2+|AF|2=55，

所以sinα=|AF||AB|=15．

由于BB1//x轴，

所以∠BFx=∠B17.【答案】C

【解析】解：等比数列{an}中，若a1≠a2，且4a3，3a4，2a5成等差数列，

则6a4=4a3+2a5，

即6qa3=4a3+2q28.【答案】D

【解析】解：因为α，β为锐角，所以α−β∈(−π2,π2)，α+β∈(0,π),α+β2∈(0,π2)，

又tan(α−β)=34=sin(α−β)cos(α−β)，所以cos(α−β)=459.【答案】ABD

【解析】解：因为a1，a3，a7成等比数列，所以a1a7=a32，

即a1(a1+6)=(a1+2)2，解得a1=2，故A正确；

等差数列{an}的前n项和为2n+n(n−1)2×1=n(n+3)2，故B正确；

因为1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+210.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，当x<0时，−x>0，则f(−x)=ex(−x−1)，则f(x)=−f(−x)=ex(x+1)，A错误；

对于B，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，

当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，其导数f′(x)=−e−x(x−1)+e−x=e−x(2−x)=2−xex，

在区间(0,2)上，f(x)递增，在区间(2,+∞)上，f(x)递减且f(x)>0，而f(2)=1e2，

综合可得：在区间(0,+∞)上，有−1<f(x)≤1e2；

又由f(x)为奇函数，则在区间(−∞,0)上，有−1e2≤f(x)<1；

综合可得：f(x)∈(−1,1)，B正确；

对于C，由A、B的结论，f(x)=x−1ex,x>00,x=0ex(x+1),x<0，若f(x)≥0，必有x−1ex≥0x>0或x=0或ex(x+1)≥0x<0，解可得−1≤x≤0或x≥1，

即f(x)≥0的解集为[−1,0]∪[1,+∞)

C错误；

对于D，由B的结论，在区间(0,2)上，f(x)递增，在区间(2,+∞)上，f(x)递减，

又由f(x)为奇函数，则在区间(−2,0)上，f(x)递增，在区间(−∞,−2)上，11.【答案】BC

【解析】解：

双曲线x24−y23=1，可得a=2,b=3，因此c=a2+b2=7，

因此焦点F1(−7,0),F2(7,0)，且|PF1|−|PF2|=2a=4，

设P(x0,y0)，因此x0≥2，双曲线C的两条渐近线的方程为y=±32x，

A选项：由|PF1|−|PF2|=4,|PF2|≥7−2，因此|PF1|+|PF2|>4，故A选项错误；

B选项：过点P作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线，

这3条直线与双曲线仅有公共点P，故B选项正确；

C选项：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l的方程为y−3=k(x−4)，因此x1+x2=8，y1+y2=6，

x124−y123=0x224−y212.【答案】3【解析】解：∵a/​/b，

∴−2m−(2m−1)=0，解得m=14，

∴a=(14,−12)，

∴4a+2b=(1,−2)+(2,−4)=(3,−6)，

∴|413.【答案】−3

【解析】解：导函数f′(x)=(x+c)2+2x(x+c)=(x+c)(3x+c)，

因为函数f(x)在x=1处取得极大值，所以f′(1)=0，即(1+c)(3+c)=0，解得c=−1或c=−3，

当c=−1时，导函数f′(x)=(x−1)(3x−1)，

令f′(x)<0，得13<x<1，令f′(x)>0，得x<13或x>1，

因此函数f(x)在(−∞,13)上是增函数，在(1,+∞)上是增函数，在(13,1)上是减函数，

因此函数f(x)在x=1处取得极小值，故c=−1不满足题意，舍去，

当c=−3时，f′(x)=(x−3)(3x−3)，令f′(x)<0，得1<x<3，令f′(x)>0，得x<1或x>3，

因此函数f(x)在(−∞,1)上是增函数，在(3,+∞)上是增函数，在(1,3)上是减函数，

∴f(x)在x=1处取得极大值，符合题意．

综上所述，c=−3．

故答案为：−314.【答案】(16−8【解析】【分析】本题考查半球的内切球问题，化归转化思想，属中档题．

作出图形，设半球形容器的球心为O，四个小球的球心分别为O1，O2，O3，O4，设O1，O2，O3，O4在底面圆O内的射影分别为O1′，O2′，O3′，【解答】

解：如图，设半球形容器的球心为O，四个小球的球心分别为O1，O2，O3，O4，

设O1，O2，O3，O4在底面圆O内的射影分别为O1′，O2′，O3′，O4′，且小球的半径为r，

如图1，易知四边形O1′O2′O3′O4′是以2r为边长的正方形，

∴15.【答案】φ=−3π4，f(x)的对称中心为(kπ2+3π8,0)(k∈z)；

递增区间为[kπ+【解析】(1)由题意，2×π8+φ=kπ+π2，k∈Z，

∴φ=kπ+π4，k∈Z，

又∵−π<φ<0，

∴φ=−3π4，

令2x−3π4=kπ，k∈Z，

则x=12kπ+3π8，k∈Z，

∴φ=−3π4，f(x)的对称中心为(kπ2+3π8,0)，k∈Z；

(2)−π2+2kπ≤2x−3π4≤π2+2kπ，k∈Z，

解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ16.【答案】解：(1)由题意由椭圆性质有，|A1F2|=3=a+c，|A2F2|=1=a−c，

解得a=2，c=1，所以b2=a2−c2=3，

所以椭圆方程为x24+y23=1．

(2)设直线l为y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由题意有，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，

则圆心到直线l的距离d=|m|2<1，即m2<2，

所以|CD|=21−d2=2【解析】(1)根据椭圆的几何性质列式计算得a，b，c，得解；

(2)设直线为y=x+m，由圆心到直线l的距离小于半径得出m的范围，由圆的性质求出弦CD的长，将直线l的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，求出弦AB的长，由条件得出方程，可得答案．

本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题．17.【答案】(1)证明：如图，取ED的中点P，连接MP，NP，

因为E是AD的中点，AD=2BC，所以ED=BC，

又AD//BC，所以四边形BCDE是平行四边形，

因为M是A′D的中点，所以MP//A′E，MP⊄平面A′BE，A′E⊂平面A′BE，

所以MP/​/平面A′BE

又N是BC的中点．NP//BE，

NP⊄平面A′BE，BE⊂平面A′BE，NP/​/平面A′BE，

因为MP⋂NP=P，MP，NP⊂平面MNP

所以平面MNP/​/平面A′BE，

又MN⊂平面MNP，所以MN/​/平面A′BE．

(2)解：取BE的中点O，连接A′O，CO，CE，

在图1中，因为AD=2AB=2BC=2CD，所以△ABE与△BCE是等边三角形，

所以在图2中，A′O⊥BE，CO⊥BE，所以∠A′OC=120°，

以O为原点，射线OB为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

设BC=2，则B(1,0,0),C(0,3,0),D(−2,3,0),A′(0,−32,32)，

A′B=(1,32,−32),BD=(−3,3,0)，

设平面A′BD的法向量为m=(x,y,z)【解析】本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，二面角的余弦值的计算等知识，属于中等题．

(1)取ED的中点P，连接MP，NP，由已知可证得四边形BCDE是平行四边形，由三角形中位线定理可得MP//A′E，NP//BE，然后由线面平行的判定定理可得MP/​/平面A′BE，NP/​/平面A′BE，从而可得平面MNP/​/平面A′BE，再由面面平行的性质定理可得结论．

(2)取BE的中点O，连接A′O，CO，CE，以O为原点，射线OB为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，利用空间向量求解即可．18.【答案】a=1．

①(1,+∞)；

②x1【解析】(1)函数f(x)=x+alnx，求导得f′(x)=1+ax，

由曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=2x−1，得f′(1)=1+a=2，解得a=1，

经验证，a=1符合题意，所以a=1．

(2)函数y=f(x)−2x+m=lnx−x+m有两个不同的零点x1，x2，

等价于方程lnx−x+m=0⇔m=x−lnx有两个不同的根x1，x2，

等价于函数的图象ℎ(x)=x−lnx与直线y=m有两个不同的交点，

ℎ′(x)=1−1x=x−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0；当x>1时，ℎ′(x)>0，

函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，ℎ(x)min=ℎ(1)=1，

而当x从大于0的方向趋近于0时，ℎ(x)→+∞在，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，

所以m的取值范围为(1,+∞)．

②x12+1x1>x22+1x2，不妨令0<x1<x2，x12+1x1>x22+1x2⇔x1+1x1>x2+119.【答案】解：(1)若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为a1=23．

若甲盒中取白球，乙盒中取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中仍为2白，概率b1=13．

研究2次交换球的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑．乙盒中的球为1白1黑时，对应的概率为a1=23，

此时，若甲盒取黑球，乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，

概率为a1×12×13=16a1；

若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1×12×13=16a1