2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数11+i的虚部是(

)A.12 B.−12 C.12.下列说法正确的是(

)A.球面上任意两点连成的线段都是球的直径

B.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥

C.用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形

D.棱台的侧棱延长后交于同一点3.若平面α//平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a，b的位置关系是(

)A.无公共点 B.平行 C.既不平行也不相交 D.相交4.在△ABC中，若acos A=bcos BA.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形5.如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，且A′B′=B′C′=1，则△ABC的边BC=(

)A.1

B.2

C.3

6.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD、EF、GH分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若sinα<cosα<tanα，则P所在的圆弧是(

)A.AB

B.CD

C.EF

D.GH7.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b的始点和终点，则a⋅的最大值为(

)A.1

B.2

C.4

D.28.青花瓷(blue and wℎiteporcelain)，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑，图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的最小值是(

)A.32 B.2 C.52 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是(

)A.复数z=3+4i的模为5

B.复数z=3+4i，则z−在复平面上对应点在第一象限

C.复数(m2+3m−4)+(m−1)i是纯虚数，则m=1或m=−4

D.若1≤|z|≤10.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，NA.直线BN与MB1是相交直线

B.直线MN与AC所成的角是π3

C.直线MN//平面ACD11.一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离是r.我们规定：比值xy，ry，rx分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cotα，cscα，secα，把y=cscx，y=secx分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.下列叙述正确的有(

)A.cot5π4=−1 B.sinα⋅cscα=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.2cos213.已知a=(1,1)，b=(0,1)，设c=ka+b，d=2a−14.已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，则该圆锥外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角θ=π6，且|a|=3,|b|=3．

(1)求a⋅b，16.(本小题15分)

已知f(α)=sin(−α)⋅cos2(π−α)⋅cos(π2−α)cos(3π2+α)⋅17.(本小题15分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB−bcosA2=a2+c2−b24c．

(1)18.(本小题17分)

如图所示，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，将△ABD沿BD折起(折起后A到P的位置)，设PA=3，点M是线段PC的中点．

(1)证明：PA//平面MBD；

(2)证明：平面PAC⊥平面MBD；

(3)求三棱锥M−PBD的体积．19.(本小题17分)

已知向量a=(2sinx,3cosx)，b=(cosx,2cosx)，函数f(x)=a⋅b−3．

(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；

(2)若x∈[−π3,π6]，求函数f(x)的值域；

(3)将函数f(x)的图象右移参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.D

6.C

7.C

8.B

9.AD

10.BCD

11.BC

12.313.(−∞,−2)∪(−2,−114.48π

15.(1)由题意可知，a⋅b=|a||b|cosθ=33×32=92，

|a−b|=a216.(1)f(α)=sin(−α)⋅cos2(π−α)⋅cos(π2−α)cos(3π217.(1)根据余弦定理得ccosB−bcosA2=2accosB4c=acosB2

根据正弦定理得sinC⋅cosB=sinBcosA+sinAcosB2=sin(A+B)2=sinC2

由于C是三角形内角，因此sinC>0，

因此cosB=12，因此B=π3．

(2)根据第一问知，B=π3，C=2π3−A，

在锐角三角形18.(1)证明：连接OM，

因为O，M分别是AC，PC的中点，因此OM//PA，

又因为OM⊂平面MBD，PA⊄MBD，因此PA//面MBD．

(2)证明：连接OP，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以△BAD和△BPD是等边三角形，

所以BD⊥AC，BD⊥OP，

又AC∩OP=O，AC，OP⊂面PAC，所以BD⊥平面PAC，

又BD⊂面MBD，所以平面PAC⊥平面MBD．

(3)过点P作PH⊥AC，

由(2)知，BD⊥平面PAC，又PH⊂面PAC，因此BD⊥PH，

又BD∩AC=O，BD，AC⊂面ABCD，所以PH⊥面ABCD，

因为AB=2，∠BAD=60°，所以OP=OA=3，

又AP=3，所以三角形APO为等边三角形，所以PH=32，

又S19.(1)根据题意，函数f(x)=a⋅b−3=2sinx⋅cosx+23cos2x−3

=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

因此函数f(x)的最小正周期π．

(2)若x∈[−π3,π6]，令u=2x+π3，那么u∈[−π3,2π3]，

y=2sinu在[π2,2π3]单调递减，在[−π3,π2]上单调递增，

那么当u=π2时，即x=π12，f(x)取最大值2，当u=−π3时，即x=−π3，f(x)取最小值−3，

因此f(x)的值域是[−3,2]．

(3)根据题意，函数g(x)=2sinx，

原不等式化为a(sinx+cosx)2−(2a+1)(sinx−cosx)−2a−2<0，

令t=sinx−