2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2x−A.5 B.−5 C.80 D.−802.已知随机变量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，则P(40<X<80)=A.0.21 B.0.29 C.0.71 D.0.793.离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若E(X)=2.7，则下列结论错误的是(

)A.m+n=0.5 B.E(3X−1)=7.1 C.D(X)=0.81 D.P(X>2)=0.54.某地区从教育、医疗、卫生、环保四个领域中遴选6个提案提交审议，若每个领域至少有一个提案，则教育领域至少有2个提案的概率为(

)A.310 B.25 C.125.函数f(x)=x−lnx的单调减区间是(

)A.(12,+∞) B.(0,12)6.北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为(

)A.60 B.90 C.150 D.2407.函数f(x)=x2+2lnx−x的极值点的个数A.无数个 B.2 C.1 D.08.若函数f(x)=ex−x+2a,x>0(a−1)x+3a−2,x≤0在(−∞,+∞)上是单调函数，则aA.[1,+∞) B.(1,3] C.[12,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中错误的有(

)A.相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱

B.决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好

C.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，则E(3X+2)=3，D(3X+2)=4

D.随机变量X～N(3,σ10.已知(2−x)5=aA.a0=32 B.a1+a211.已知函数f(x)=x3+axA.曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1

B.当a=−3时，x=1是f(x)的极值点

C.存在实数a，使得f(x)的图象关于点(0,1)对称

D.若f(x)在区间[12, 3]内存在极值点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=lnx+ax，若f′(1)=2，则a=______．13.已知函数g(x)=13x3−a2x214.已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D(X)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=lnx+mx．

(1)若m=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)求函数f(x)在[1,e]16.(本小题15分)

若(1−3x)8=a0+a1x+a217.(本小题15分)

某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x(单位：箱)76656收益y(单位：元)165142148125150(1)求收益y关于售出水量x的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？

附：b=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2,18.(本小题17分)

向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如表所示．Sora的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用541872没有应用364278合计9060150(1)根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？

附：χ2=n(ad−bcα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828(2)某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23，12，13，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora．

①求员工经过培训能应用Sora的概率；

②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx−x−a，g(x)=x2+lnx−ax．

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)若f(x)+2x≤g(x)对任意的x≥1恒成立，求实数a的取值范围．答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题设，(2x−1x2)5展开式通项为Tr+1=C5r(2x)5−r(−1x2)2.【答案】B

【解析】解：已知随机变量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，得μ=80，

则P(40<X<80)=P(80<X<120)，

故P(40<X<80)=0.5−P(X>120)=0.5−0.21=0.29．

3.【答案】D

【解析】解：由分布列的性质可得m+n+0.3+0.2=1，则m+n=0.5，故A正确；

E(X)=2.7，则E(3X−1)=3E(X)−1=8.1−1=7.1，故B正确；

D(X)=(1−2.7)2×0.1+(2−2.7)2×0.3+(3−2.7)2×0.4+(4−2.7)2×0.2=0.81，C正确；

由E(X)=m+0.6+3n+0.8=2.7，则m+3n=1.3，联立m+n=0.5，

所以m=0.1，n=0.4，则P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6，故D错误．

故选：4.【答案】B

【解析】解：用(a,b,c,d)表示教育、医疗、卫生、环保四个领域遴选提案的个数，(a≥1,b≥1,c≥1,d≥1且a+b+c+d=6)，

则样本空间Ω={(1,1,2,2)，(1,2,1,2)，(1,2,2,1)，(2,1,1,2)，(2,1,2,1)，(2,2,1,1)，

(3,1,1,1)，(1,3,1,1)，(1,1,3,1)，(1,1,1,3)}，n(Ω)=10，

记“教育领域至少有2个提案”为事件A，

则A={(2,1,1,2)，(2,1,2,1)，(2,2,1,1)，(3,1,1,1)}，n(A)=4，

所以教育领域至少有2个提案的概率为P(A)=410=25．

故选：B5.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=x−lnx，x>0，f′(x)=1−1x=x−1x，

令f′(x)<0，得0<x<1，

因此，函数f(x)=x−lnx的单调递减区间是(0,1)．

故选：D．

求出函数的导数为f′(x)，再解f′(x)<06.【答案】C

【解析】解：依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，

5人分为：1，2，2，则有C52C32A22A33=90种；

5人分为：1，1，3，则有C57.【答案】D

【解析】解：由f(x)=x2+2lnx−x，得f′(x)=2x+2x−1=2x2−x+2x(x>0)，

当x>0时，2x2−x+2>0恒成立，则f′(x)>0恒成立，

∴f(x)=x2+2lnx−x在定义域8.【答案】B

【解析】【分析】

先利用导数与函数单调性的关系可知，当x>0时，f(x)单调递增，于是f(x)在R上单调递增，还需要满足a−1>03a−2≤e0+2a，解之即可得a的取值范围．

本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．

【解答】

解：当x>0时，f(x)=ex−x+2a，

∴f′(x)=ex−1>0在(0,+∞)上恒成立，

即f(x)在(0,+∞)上单调递增，

又∵函数f(x)在(−∞,+∞)9.【答案】AC

【解析】解：对于选项A：|r|值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误；

对于选项B，决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确；

对于选项C，若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，

则P(X=1)=1−P(X=0)=1−23=13，

所以E(X)=13，D(X)=13×23=29，

所以E(3X+2)=3×13+2=3，D(3X+2)=9D(X)=9×10.【答案】ACD

【解析】解：对于A，取x=0，得a0=32，故A正确；

对于B，取x=1，得a0+a1+a2+...+a5=1，

因此a1+a2+...+a5=−31，故B错误；

对于C，a2=C52⋅23(−1)2=8011.【答案】ACD

【解析】解：由题意可得f′(x)=3x2+2ax+3，

对于选项A，f′(0)=3，f(0)=1，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y−1=3(x−0)，即y=3x+1，故A选项正确；

对于选项B，当a=−3时，f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，无极值点，故B选项错误；

对于选项C，若函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，则∀x∈R，f(x)+f(−x)=2，

又f(−x)=−x3+ax2−3x+1，所以2ax2+2=2恒成立，故a=0，

所以存在a=0，使得f(x)的图象关于点(0,1)对称，故C选项正确；

对于选项D，若f(x)在区间[12, 3]内存在极值点，则f′(x)=3x2+2ax+3=0有变号零点，

所以a=−3x2−32x，设ℎ(x)=−3x2−32x,ℎ′(x)=−32+32x2=3(1+x)(1−x)2x2，

当x∈[1212.【答案】−1

【解析】解：因为f(x)=lnx+ax，

所以f′(x)=1−(lnx+a)x2，

因为f′(1)=2，所以1−a=2，解得a=−1．

故答案为：−1．

13.【答案】(−∞,−3]

【解析】解：因为g(x)在(−2,−1)上单调递减，

所以g′(x)=x2−ax+2≤0在(−2,−1)上恒成立．

所以g′(−2)≤0g′(−1)≤0，即4+2a+2≤01+a+2≤0，解得a≤−3，

即实数a的取值范围为(−∞,−3]．

故答案为：(−∞,−3]．

求出函数的导函数，由已知可得，g′(x)=x2−ax+2≤0在14.【答案】316【解析】解：根据题意可得X=0，1，

又P(X=0)=12×12=14，P(X=1)=12+12×1215.【答案】解：(1)m=2时，f(x)=lnx+2x，则f′(x)=1x−2x2，

故f′(1)=1−2=−1，f(1)=ln1+21=2，

故切线方程为y−2=−(x−1)，即x+y−3=0．

(2)f′(x)=1x−mx2=x−mx2且x∈[1,e]，

当m≤1时，f′(x)≥0，f(x)的增区间为[1,e]，f(x)min=f(1)=m；

当1<m<e时，当1<x<m时，f′(x)<0，当m<x<e时，f′(x)>0【解析】(1)求导，即可根据点斜式求解直线方程；

(2)分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值和切线方程，属于中档题．16.【答案】解：(1)令x=0得a0=1；

(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|等于(1+3x)8的展开式的各个项系数的和，

令x=1代入(1+3x)8，

【解析】(1)利用赋值法，令x=0即可求解，

(2)在(1+3x)8中令x=1即可求解，

(3)求导后赋值即可求解．17.【答案】解：(1)由题意可知，x−=6，y−=146，i=15xiyi=4420，i=15xi2=182，

所以b=i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=4420−5×6×146182−5×62=20【解析】(1)利用公式求线性回归方程，代入数据即可得到结果．

(2)利用条件概率公式求解可得结果．

本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了条件概率的定义，属于中档题．18.【答案】解：(1)零假设为

H0：Sora的应用与视频从业人员的减少无关，

则根据列联表中数据可得χ2=150×(54×42−36×18)272×78×90×60=67552≈12.981>10.828=x0.001，

所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断出H0不成立，

即有99.9%的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关；

(2)①设B=“员工经过培训能应用Sora”，

因为每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23，12，13，每轮相互独立，

又有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora，

所以P(B)=23×12×13+(1−23)×12×13+23×(1−12)×13+2【解析】详细解答和解析过程见【答案】19.【答案】解：(1)g′(x)=2x+1x−a=2x2−ax+1x，x>0，

当a≤0时，g′(x)>0，所以g(x)