2024-2025学年吉林省白山市五校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省白山市五校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是(

)A.总体 B.个体 C.样本 D.样本量2.已知向量a,b满足|a|=2，且a⋅bA.1 B.3 C.5 D.73.设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是(

)A.3 B.2 C.1 D.04.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8，P(B)=0.3，则P(A∪B)=(

)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，则sinA=A.714 B.2114 C.6.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为(

)A.162π B.162π7.欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=cosx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix=cosπ+isinπ=−1，得eA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西60°方向，则M、N两建筑物之间的距离为(

)A.326米 B.323米 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则(

)A.这组数据的平均数为6 B.这组数据的方差为16

C.这组数据的极差为11 D.这组数据的第70百分位数为710.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m//α，α//β，则m//β

B.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

C.若α//β，β//γ，则α//γ

D.若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n11.下列关于平面向量的说法中，正确的是(

)A.若a=b，b=c，则a=c

B.若a//b，b//c，则a//c

C.(a⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复平面内，复数z对应的点为(2,−1)，则iz−1=______．13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为______．14.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,0)，b=(m,−1)，a−2b=(−3,2)．

(1)求|a+b|；

(2)16.(本小题15分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA=3．

(1)求四棱锥P−ABCD的体积；

(2)求四棱锥P−ABCD的表面积．17.(本小题15分)

为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本(成绩均在[80,150]内)，将所得成绩分成7组：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；(同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1)

(2)从样本内数学分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中的概率．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为34(b2+c2−a2).

(1)求角A的大小；

19.(本小题17分)

如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且CC1=2CA=2CB=2，点P在线段BC1(含端点)上运动，设λ=BPBC1．

(1)当AB//平面

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题意可知，在这个问题中，30是样本量．

故选：D．

结合样本量的定义，即可求解．

本题主要考查样本量的定义，属于基础题．2.【答案】C

【解析】解：因为向量a,b满足|a|=2，且a⋅b=−3，

所以(2a+b)⋅3.【答案】D

【解析】解：命题①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，所以①不正确；

命题②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，所以②不正确；

命题③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，所以③不正确；

故真命题的个数是0个．

故选：D．

由几何体的结构特征逐一判断各个命题即可求解．

本题考查几何体的结构特征，属于基础题．4.【答案】D

【解析】解：根据题意，由A和C对立，可得P(A)+P(C)=1，

又由P(C)=0.8，则P(A)=0.2，

又由随机事件A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5．

故选：D．

根据题意，由对立事件的性质求出P(A)=0.2，进而由互斥事件的概率性质分析可得答案．

本题考查互斥事件、对立事件的概率性质，注意随机事件的性质，属于基础题．5.【答案】B

【解析】解：△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，

由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，可得sinB=ACABsinC=27⋅32=217，

6.【答案】B

【解析】解：由圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为2π3的扇形，

得圆锥的展开图的弧长为：6×2π3=4π，

则圆锥的底面半径r=4π2π=2，

可得圆锥的高ℎ=62−227.【答案】B

【解析】解：z=e3i=cos3+isin3，

π2<3<π，

则cos3<0，sin3>0，

故复数z=e3i在复平面内对应的点(cos3,sin3)位于第二象限．

8.【答案】D

【解析】解：由题意可知∠MAN=15°+45°=60°，∠MAB=90°+15°=105°，

∠MBN=60°，∠MBA=∠NBA−∠NBM=90°−60°=30°，则∠AMB=45°．

则∠NAB=∠MAB−∠MAN=105°−60°=45°，即在Rt△ABN

中，AB=BN=32．

在△MAB中，由正弦定理可知ABsin∠AMB=MBsin∠MAB，

即32sin45∘=MBsin105∘，解得MB=163+16．

在△NBM中，由余弦定理可知M9.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查平均数、中位数、众数，方差、标准差，极差，百分位数，属于基础题．

由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可．【解答】

解：对A，这组数据的平均数为：17×(0+1+5+6+7+11+12)=6，故A选项正确；

对B，这组数据的方差为：17×(62+52+12+02+12+52+62)=1247，故B10.【答案】BC

【解析】解：对于A，由题意m/​/α，α/​/β，可得m//β或m⊂β，故错误；

对于B，由题意m⊥n，m⊥α，n⊥β，可得α⊥β，故正确；

对于C，由题意α/​/β，β/​/γ，可得α/​/γ，故正确；

对于D，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面A1BCD1=BC11.【答案】AD

【解析】解：对A选项，根据向量相等的概念，易知A选项正确；

对B选项，当b=0时，a//b且b/​/c，但a与c不一定共线，∴B选项错误；

对C选项，∵(a⋅b)c表示与c共线的向量，a(b⋅c)表示与a共线的向量，

∴(a12.【答案】2i

【解析】解：由题意，z=2−i，

则iz−1=i(2−i)−1=2i．

故答案为：2i．

由复数的几何意义及复数的运算求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．13.【答案】0.958

【解析】解：设甲击中靶心为事件A，乙击中靶心为事件B，

因为甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，

则P(A)=0.72，P(B)=0.85，

所以两人都没有击中靶心的概率为P(A−⋅B−)P(A−⋅B−)=(1−0.72)×(1−0.85)=0.042，14.【答案】6【解析】解：由题意圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，

可作出图形：

过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，ED，易知F为AD的中点，

设正方形ABCD的边长为2，则EF=2,AF=2，所以AE=22+(2)2=6，

则ED=AE=6，

因为BC/​/AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)，

在等腰△EAD中，cos∠EAD=12ADAE=16=66，

15.【答案】(1)向量a=(1,0)，b=(m,−1)，

则a−2b=(1−2m,2)，

a−2b=(−3,2)，

则1−2m=−32=2，解得m=2，

故b=(2,−1)，

a+b=(3,−1)，

所以|【解析】(1)结合向量的坐标运算法则，以及向量模公式，即可求解；

(2)结合平面向量的夹角公式，即可求解．

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．16.【答案】解：(1)连接AC，BD，记AC∩BD=O，连接PO，如图所示．

由正四棱锥的特征可得PO⊥平面ABCD，

又AO⊂平面ABCD，所以PO⊥AO，

因为AB=2，PA=3，

所以AO=12AC=12×22=2，

所以PO=PA2−AO2=7，

所以四棱锥P−ABCD的体积V=13S四边形ABCD⋅PO=13×2×2×7=4【解析】(1)求出四棱锥的高与底面积，利用棱锥的体积公式求解即可；

(2)求出正四棱锥的侧面积与底面积即可得表面积．

本题主要考查正四棱锥的结构特征，棱锥的表面积与体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意知(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1，

解得a=0.008，

数学成绩的平均数为：

x−=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=107.4，

由频率分布直方图知，分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为0.34，0.62，

所以该校数学成绩的中位数m∈[100,110)，

则(m−100)×0.028+0.34=0.5，解得m=7407≈105.7；

(2)抽取的5人中，分数在[130,140)内的有0.080.08+0.02×5=4人，

在[140,150]内的有1人，

记在[130,140)内的4人为a，b，c，d，在[140,150]内的1人为A，

从5人中任取3人，有(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,A)，(a,c,d)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,d)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)共10种，

选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中，有(a,b,A)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)【解析】(1)根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，即可求解出a；再用每一组区间的中点值代表该组数据，分别乘以每个小矩形的面积，计算平均数；最后计算中位数，即将频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标；

(2)分别求出在区间[130,140)，[140,150]内抽取的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式即可求解．

本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为S=12bcsinA=34(b2+c2−a2)，

所以12bcsinA=34×2bccosA，

解得tanA=3，又A∈(0,π)，可得A=π3．

(2)根据余弦定理，a2=b2+c2−2bccosA【解析】(1)利用余弦定理和三角形的面积公式以及同角三角函数基本关系式可求tanA的值．

(2)由余弦定理可得a2，根据平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得AD的长度．

19.【答案】解：(1)连接AC1，交A1C于点D，连接PD，则D为AC1的中点，

且平面A1CP∩平面ABC1=PD，

∵AB/​/平