2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一下学期7月月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一下学期7月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足1−iz=1−3i，则复数|z|=A.3 B.5 C.22.已知向量a=(1,5)，b=(0,3)，则|aA.3 B.5 C.3 3.函数f(2x)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域是(

)A.(−2,1] B.−12,1 C.4.已知点A(1,−1,2)在平面α上，其法向量n=(2,−1,2)，则下列点不在平面A.(2,3,3) B.(3,7,4) C.(−1,−7,1) 5.在▵ABC中，a=2，∠A=π3，∠B=A.223 B.2 C.6.已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+A.34 B.94 C.327.如图，在▵ABC中，AB=AC=3，BC=22，D是棱BC的中点，以AD为折痕把▵ACD折叠，使点C到达点C′的位置，则当三棱锥A.9π4 B.5π2 C.8.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3，则P(A∪B)=(

)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是异面直线，α，β是两个不重合的平面，m⊂α，n⊂βA.当m⊥β，或n⊥α时，α⊥β

B.当α⊥β时，m⊥β，或n⊥α

C.当m//β，且n//α时，10.在直角坐标系xOy中，已知点A(−1,1),B(−2,3),C(−3,2)，且OP=mAB+nACA.若OP⊥BC，则m=n

B.若PA+PB+PC=0，则2m+n=1

C.若点P在直线BC上，则3m+3n=5

D.11.将函数f(x)=2sin2x−π6的图像向左平移θ(θ>0)A.当θ=5π6时，g(x)为偶函数

B.当θ=π6时，g(x)在区间−π3,π3上单调递增

C.当θ=π4时，g(x)在区间−π6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为

．

13.在▵ABC中，∠A=π6，a=52，若▵ABC14.如图，点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1上底面的一个动点，直线AP与平面ABCD四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知点A(−2,1)，B(2,3)，C(−1,−(1)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；(2)求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．16.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；(3)估计居民月均用水量的中位数．17.(本小题12分)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a，a(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m18.(本小题12分)如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2A(1)在平面BCC1内，过C1(2)设平面A1AB∩平面C1CB=l,Q∈l，BC119.(本小题12分)设数列an是1,2,⋯,nn∈N∗的一个排列．由an中连续r项组成的集合称作“an的长为r的子列集”，其中1≤r≤n.任取不大于n的正整数s,t，当st≥n时，若数列an的任意长为s的子列集B=b1,(1)判断下列数列是否为“好数列”：①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．(2)证明：由1,2,⋯,n的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过n+12的“好数列”([x]表示不超过x的最大整数)(3)若数列an为“好数列”，求n的最大值．

答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解．【详解】由题意得z=1−3所以|z|=故选：B．2.【答案】B

【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得．【详解】向量a=(1,5)，b=(0,3)，则所以|a故选：B3.【答案】C

【解析】【分析】根据题意先求出f(x)的定义域，即可求出f(1−3x)的定义域．【详解】因为f(2x)的定义域为[0,1)，则在f(2x)中，0≤x<1所以f(x)的定义域为[0,2),则在f(1−3x)中，由0≤1−3x<2解得所以f(1−3x)的定义域是−1故选：C．4.【答案】D

【解析】【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可．【详解】A(1对于A：记A1(2,3,3)，则因为AA1·n=(1,4,1)·(2对于B：记B(3,7,4)，则AB=(2,8,2)因为AB·n=(2,8,2)·(2,−1,2)=4−8+4=0对于C：记C(−1,−7,1)，则因为AC·n=(−2,−6对于D：记D(−2,0,1)，则AD=(−3,1,−1)因为AD·n=(−3,1,−1)·(2,−1,2)=−故选：D5.【答案】C

【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得．【详解】在▵ABC中，由∠A=π3，由正弦定理csinC=故选：C6.【答案】B

【解析】【分析】变形式子x2+1x【详解】由x为正实数，y为非负实数，得x>0,y+1≥1，由x+2y=2，得于是x=1≥14[5+2所以当x=43,y=13故选：B7.【答案】D

【解析】【分析】C′D⊥平面ABD【详解】在▵ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则有ADC′D=DB=当C′D⊥BD，即C′D⊥可把三棱锥C′−ABD补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：所以三棱锥的外接球半径为R=所以外接球的表面积为S=4π故选：D．8.【答案】D

【解析】【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可．【详解】由A和C对立，P(C)=0.8，可得P(A)+P(C)=1，解得P(A)=0.2，又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0，由P(A∪将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(A∪故选：D．9.【答案】AC

【解析】【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可．【详解】对于A：当m⊥β，m⊂当n⊥α，n⊂β时，对于B：当α⊥β时，由m⊂α，得m//当α⊥β时，由n⊂β，得n//α或对于C：当m//β，n//α时，又m,n为异面直线，所以对于D：当α，β不平行时，可能m//β或m与β相交，n//α或n与故选：AC10.【答案】AC

【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出OP，再结合数量积、共线向量、投影向量的意义依次判断得解．【详解】依题意，AB=(−1,2),则OP=m对于A，由OP⊥BC，则OP⋅对于B，PA=(−1+m+2n,1−2m−n),由PA+PB+PC=0，得−6+3m+6n=06−6m−3n=0对于C，依题意，PB=(−2+m+2n,3−2m−n),BC=(−1,−1)对于D，由AP在AC方向上的投影向量是(2,−1)，得则−2(1−m−2n)+2m+n−1=−5，即4m+5n=−故选：AC11.【答案】AD

【解析】【分析】由平移变换以及正弦函数的性质逐一判断即可．【详解】当θ=5π6时，g(x)=2sin2x+3π当θ=π6时，g(x)=2sin2x+π6，因为x∈−π当θ=π4时，g(x)=2sin2x+π3，因为x∈当θ=π4时，y=g(x)−95=2sin2x+π3−95，令2sin故选：AD12.【答案】3【解析】【分析】取ED的中点为G，连接AG，FG，由已知条件可证得四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，所以∠EAG是AE与BF所成的角，在△AEG中，利用余弦定理可求得结果【详解】因为ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以ED//FC．取ED的中点为G，连接AG，FG，如图，因为ED=2FC，所以DG=FC，且DG//FC，所以四边形CDGF为平行四边形，则FG//CD且FG=CD．又四边形ABCD为正方形，所以CD//AB，CD=AB，所以FG//AB且FG=AB，所以四边形ABFG为平行四边形，则BF//AG，所以∠EAG是AE与BF所成的角．由正方形ABCD的边长为2，ED=2FC=2，可得AE=2在△AEG中，由余弦定理得cos∠EAG=A故答案为：313.【答案】5(答案不唯一)

【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可．【详解】在▵ABC中，∠A=π6，a=5由▵ABC存在且唯一，知sinB=1或sinB<1且b≤a，解得b=5所以b的一个取值为5．故答案为：514.【答案】3【解析】【分析】先利用直线AP与平面ABCD所成的角为60∘，求得点P的轨迹，进而求得点P【详解】因为直线AP与平面ABCD所成的角为60∘所以点P的轨迹在以A为顶点，底面圆的半径为33，高为又因为点P是正方体ABCD−A所以点P的轨迹为圆弧，如图所示，则点P的轨迹长为14故答案为：15.【答案】【详解】(1)由题意，B,C的中点D2−12,3−32，即D12(2)当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为y=3−02−0x设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为xm将B点坐标代入得2m+3综上，(1)AD直线方程为2x+5y−1=0，(2)过B点并且在x，y轴上截距相等的直线方程为3x−2y=0或x+y−5=0．

【解析】【分析】(1)先求出D点的坐标，再根据两点式方程求出直线AD的方程；(2)根据截距等于0和不等于0，运用截距式方程求解．16.【答案】【详解】(1)由频率直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．由1−(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×(3)设中位数为x，因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<所以2≤x<2.5，由0.5×故可估计居民月均用水量的中位数为2.04．

【解析】【分析】(1)利用频率之和为1可求a的值；(2)先求解月均用水量不低于3吨的频率，然后可得人数；(3)设出中位数，根据频率为0.5建立方程，可求中位数．17.【答案】【详解】(1)当f(x)=ax2+2x−4aa∈R解得x=±所以f(x)为“局部奇函数”．(2)当f(x)=4x−m4x令t=2x+从而关于t的方程t2−2mt+2m2−4=0令F(t)=t①当F(2)≤0时，t2−2mt+2m由F(2)≤0，即2m2−4m≤0②当F(2)>0时，t2△=4m则所求实数m的取值范围是m0≤m≤2令2x=s，因为x∈则f(x)=4令g(s)=s2−2ms+当0≤m≤12时，g(s)在s∈12,2单调递增，所以s=12时，当12<m≤2时，s=m时，g(s)即2x=m时，综上，当0≤m≤12时，当12<m≤2

【解析】【分析】(1)直接解方程f(x)+f(−x)=0，方程有解即得；(2)由方程f(x)+f(−x)=0有解，设t=2x+2−x换元后转化为关于t18.【答案】【详解】(1)取BC中点P，作直线C1P，则直线取AB中点H，连接A1H,PH，则有在等腰梯形A1ACC1中，A1即有C1P//A1H，又A1所以C1P//(2)延长AA1,CC1交于点O，作直线BO过点B作BO′⊥AC于O′，因为平面A1ACC1⊥平面因此BO′⊥平面A1ACC1，即BBO′=BA⋅BCAC梯形A1ACC1的面积S为定值，四棱锥于是当BO′最大，即点O′与O2重合时四棱锥以O2为原点，射线O2A,在等腰梯形A1ACC1中，显然A1C1为▵BC设BQ=λBO设平面QAC的一个法向量n=(x,y,z)，则n⋅O2A则有sinα令t=λ+1，则sinα=3|t当t≠0时，0<sinα=32综上得0≤sin所以sinα的取值范围是[【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可．

【解析】【分析】(1)取BC中点P，作直线C1(2)延长AA1,CC1交于点O19.【答案】【详解】(1)对于①：检验可知①是“好数列”；对于②：例如s=2,t=3，取长为2的子列集B=6,2和长为3的子列集C=此时