2024-2025学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（下）期末数学试卷（7月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a∈R，复数z=a+i1+2i在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为(

)A.(−∞,−2) B.(−∞,12) C.(2.已知向量a，b满足|a|=5，a⋅b=5，则A.10 B.8 C.6 D.43.已知角α终边上一点为(−2,4)，则角α的正切值为(

)A.−55 B.2554.在△ABC中，AB=2，AC=3，cosA=−23，则△ABC的面积为(

)A.5 B.25 C.35.在深圳高级中学2024年“创意之光”文创设计大赛中，某学生设计了一把“紫堡文创”扇子.其扇面可以近似的理解为扇形OAD截去同心扇形OBC所得图形，已知OA=4，OB=1，∠AOD=2π3，则该扇面的近似面积为(

)A.14π3B.16π3C.5π D.8π6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是(

)A.若m//α，n⊂α，则m//n B.若m//α，α//β，则m//β

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m⊥α，m//β，则α⊥β7.要得到函数y=cos(2x+π6)的图象，只需将函数A.向左平移π3个单位 B.向左平移π6个单位 C.向右平移π3个单位 D.8.△ABC中，1−2sin2A=cos(2π−B)，则A.(−12,23) B.(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=π6，a=6，b=2A.3 B.2 C.210.如图，在正四棱锥P−ABCD中，E，F分别是PA，PC的中点，则下列结论正确的是(

)A.设PD∩平面BEF=Q，则PQPD=13

B.三棱锥E−BDF与正四棱锥P−ABCD的体积之比为1：4

C.若PAAB=52，则正四棱锥P−ABCD内切球与外接球的半径之比为1：6

D.正四棱锥P−ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之比为1：5

11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A.f(x)的最小正周期为4π

B.x∈[0,2π3]时，f(x)的最大值是3

C.f(x)的图象向右平移2π3个单位后为奇函数

D.f(x)与g(x)=2sin12x有相同的零点12.已知向量OA对应的复数为z=−1+i，复数zi可以将向量OA按逆时针方向旋转______得到(填最小正角)．13.已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2，将顶点C绕棱AB旋转到C′，当CC′=22时，三棱锥A−BCC′的体积为______．14.如图，已知直线l1//l2，直线DE垂直于l1和l2，垂足分别为D，E.若点A是线段DE上的定点，B，C两点分别是直线l1，l2上的动点，且AD=1，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=(sinB,2cosA)，n=(sinB,1)满足m//n．

(1)求角A的大小；

(2)若16.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，2sinA(ccosB+bcosC)=3a．

(1)求A；

(2)若a=17.(本小题15分)

已知直线x=π6和x=2π3是f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<ω<π)图象的两条相邻的对称轴．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1a(a>0)倍，得到函数y=g(x)的图象18.(本小题17分)

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD=2，AB=BD=5，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点，点F在BD上．

(1)证明：AC⊥BD；

(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值；

(3)当19.(本小题17分)

已知：

①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式．

②eix=cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．

③方程xn=1(n为正整数)有n个不同的复数根．

(1)设ω=−12+32i，求ω2024；

(2)试求出所有满足方程参考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.C

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABD

11.AC

12.π213.214.215.(1)因为m=(sinB,2cosA)，n=(sinB,1)，且m//n．

所以sinB=2cosA⋅sinB，

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以cosA=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)由(1)得A=π3，因为a=2，

所以由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+16.(1)∵2sinA(ccosB+bcosC)=3a，

由正弦定理得2sinA(sinCcosB+sinBcosC)=3sinA

∴2sinAsin(B+C)=3sinA

即2sinAsinA=3sinA

又在锐角△ABC中，有A∈(0,π2)，

∴sinA=32，A=π3；

(2)结合(1)可得B+C=2π3，

由a=3，则根据正弦定理有asinA=bsinB=csinC=2，17.(1)由题意得f(x)的最小正周期T=2×(2π3−π6)=π，

根据2πω=π，解得ω=2，

根据x=π6是f(x)图象的一条对称轴，可得2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，

结合0<φ<π，解得φ=π6，所以f(x)=sin(2x+π6)；

(2)将f(x)图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1a(a>0)倍，

可得到函数y=g(x)18.(1)证明：因为AD=CD，E是AC的中点，所以AC⊥DE．

因为CD=AD，∠BDC=∠BDA，BD=BD，根据全等三角形边角边的判定，

所以△ADB≌△CDB，

所以AB=CB，所以AC⊥BE，

因为DE∩BE=E，DE，BE⊂平面BED，

所以AC⊥平面BED，

因为BD⊂平面BED，所以AC⊥BD．

(2)因为AD⊥CD，AD=CD=2，

所以△ACD是等腰直角三角形，所以AC=2，DE=1．

依题意AB=BC=5，所以BE=2，

则DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，

又因为AC⊥BE，AC∩DE=E，AC，DE⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD．

所以∠BDE即为直线BD与平面ACD所成的角．

在Rt△BED中，sin∠BDE=BEBD=255，

所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为255．

(3)因为AC⊥DE，BE⊥DE，且AC∩BE=E，AC，BE⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC．

由(1)已证△ADB≌△CDB，所以∠FBA=∠FBC，

因为BF=BF，∠FBA=∠FBC，AB=CB，根据全等三角形边角边的判定，

所以△FBA≌△FBC，

所以AF=CF，E是AC的中点，所以EF⊥AC，

因为S△AFC=12AC⋅EF，所以当EF最短时，△AFC的面积最小．

当EF⊥BD时，EF最短，过E作EF⊥BD，垂足为F，

在Rt△BED中，12BE⋅DE=12BD⋅EF，解得EF=255，

所以DF=12−(25