2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第09讲 角的平分线 (3个知识点+6个题型+思维导图+过关测) (学生版)

第09讲角的平分线内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升【知识点1作已知角的平分线】已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．【知识点2角的平分线的性质】内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.结论：PD=PE.【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．【知识点3角的平分线的判定】内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．【题型1角平分线的性质直接应用】【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AD=6，AC=10，则DE的长是（

A．2 B．3 C．4 D．6【变式1-1】如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F．求证：AE=CF．【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．(1)求证：CF=EB；(2)试判断AB与AF，【变式1-3】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是56cm2，AB=20 cm，AC=8【题型2作一边的垂线】【例2】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DE=2，AB+AC=16，则△ABC的面积为（

）A．32 B．20 C．16 D．8【变式2-1】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF=3，BC=9，则△CDF的面积为（

）A．272 B．92 C．27【变式2-2】如图，AB平行CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8cm，BC=10cm，求四边形【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°．(1)求证：2AE=AB+AD．(2)当AD=4,BE=3时，AB=______（直接写出结果）【题型3作两边的垂线】【例3】如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD=CD，若BD平分∠ABC，∠A=119°，则∠DCB的度数为（

）A．62° B．61° C．60° D．59°【变式3-1】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，AB=5，AC=3，BC=7，则ED长为（

）A．157 B．715 C．78【变式3-2】如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD=3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（

）A．503 B．25 C．1003【变式3-3】已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上一点，点C，D分别在射线OA,OB上，连接PC,PD．(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是______；(2)如图②，点C，D分别在射线OA,OB上运动，且∠AOB=90°．当∠PCO+∠PDO=180°时，PC与PD在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．【题型4尺规作角平分线】【例4】尺规作图：已知点M、N和∠AOB．(1)画直线MN；(2)在直线MN上求作点P，使点P到∠AOB的两边的距离相等．【变式4-1】如图，在△ABC中.(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面积为12，求△ABC的面积【变式4-2】如图，已知在△ABC中．(1)分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)当∠A=60°时，∠BOC的度数为______．(3)当∠A=α时，用含α的代数式表示∠BOC的度数．【变式4-3】如图，在△ABC中，用圆规和无刻度直尺在AB上方作∠PBA=1【题型5证角平分线】【例5】如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图，BE=FD，CE⊥AB于点E，CD⊥AF交AF的延长线于点D，且BC=FC，求证：AC是∠BAF的平分线．【变式5-2】如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．【变式5-3】如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，(1)图中EC、BF有怎样的位置关系？试证明你的结论．(2)连接AM，求证：MA平分∠EMF．【题型6角平分线的判定与性质综合】【例6】如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD．若∠BCE=104°，DE=DF，求∠DBC的度数【变式6-1】如图，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，垂足为点Q，连接AP．(1)若∠BAC=60°，求∠PAC的度数；(2)设BC=a，AC=b，AB=c，求线段AQ、CQ的长度（用含a，b，c的式子表示）．【变式6-2】如图在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF=20°，连接DE．(1)求证：DE平分∠ADC；(2)若AB=6,AD=5,CD=7，且S△ACD=12，求【变式6-3】如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF=55°，连接DE(1)求∠CAD的度数；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)若AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连结DEA．AM=ANB．连结PM、PN，根据SAS可判定△AMP≌△ANPC．∠CAD=∠BADD．DE的最小值是DC的长2．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD=4.5，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（

）A．PE=4.5 B．PE>4.5 C．PE≤4.5 D．PE≥4.53．如图，在△ABC中，AB+AC=18，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若DE=4，则△ABC的面积为（

）A．12 B．18 C．24 D．364．如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（

）A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEB5．如图，△ABC的角平分线为AD，过点D作DF⊥AB，垂足为F，E是线段BC的中点．若S△AEC=6，DF=2，AC=7.5，则△ABD的面积是（A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B=∠CED．若AB=16，CE=7，则AE的长为7．如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M，点M到BE的距离为4．若AB=7，BC=9，则四边形ABCM的面积为．8．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平分线，如果△ABC的面积为32，那么△DBC

9．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE，CD分别为△ABC的角平分线．BE，CD相交于点F，FG平分∠BFC，已知BD=3，CE=2，△BFC的面积=2.5，求△BCD的面积=．10．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE，若AD=12，BC=8，则四边形ABCD的周长为．11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．(1)求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）(2)若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：∠APQ=∠AQP．12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=DC，CE⊥AD于点E，AD=12，AB=7，则求线段DE的长为多少？13．如图，点D为△ABC外一点，G为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，连接DG，AD，且DG⊥BC，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB=15，AC=9，求AE的长．14．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I．(1)如图1，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上；(2)如图2，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T，FL⊥AD于点L．求证：FT=