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文档简介
第14讲等腰三角形
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型强知识:8大核心考点精准练
第二步:记
串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1等腰三角形的性质】
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
如图,在ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,则BD=CD.
在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,BD=CD,AD=AD。∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA,从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC
底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法,还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分
底边并且垂直于底边,底边上的高平分顶角并且平分底边,这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
【知识点2等腰三角形的判定】
1.定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形;
2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
数学语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).
【知识点3作一个等腰三角形】
尺规作图:已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h(如图),求作这个等腰三角形.
作法:如图(2)
①作线段AB=a;②作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D;③在MN上取一点C,使DC=h;
④连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
【题型1利用等边对等角直接求角度】
【例1】如图,在等腰中,,是的角平分线.若,则的度数为()
△𝐴�𝐴=��𝐶△𝐴�∠���=40°∠���
A.B.C.D.
【答案】7B0°75°105°125°
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点.熟练掌握等腰三
角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键.
根据等腰三角形的性质,得到,再根据是的角平分线得到
180°−40°
,然后利用三角形∠�外�角�=性∠质�计=算即2可.=70°𝐶△𝐴�∠�𝐶=
1
【2详∠�解𝐴】=解3:5∵°等腰中,,,
∴△𝐴�,𝐴=��∠���=40°
180°−40°
∵∠�是𝐴=∠�的=角平2分线=,70°
∴𝐶△𝐴�,
1
∴∠�𝐶=2∠�𝐴=35°.
故选∠�:��B.=∠�𝐶+∠�=35°+45°=75°
【变式1-1】如图,中,,,将折叠,使得点B与点A重合,折痕交
于D,交于E,△若𝐴�∠,�则��>的∠度�数∠为�=70°.△𝐴���𝐴
��𝐶=��∠�
【答案】/度
【分析】本35题°3考5查了翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,利用三角形的内角
和定理、等腰三角形的性质先求出AEC的度数,再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出.
【详解】解:由折叠的性质知:∠,,∠�
1
,,∠���=∠𝐶�=2∠���∠���=∠𝐸�=90°
∵𝐶=��∠�=7,0°
∴∠𝐶�=∠�=70°,
1
∴∠���=2180°−∠𝐶,�=55°
∴故∠答�案=为90:°−55.°=35°
【变式1-2】3如5图°,在中,为上一点,且,,求的度数.
△𝐴����𝐴=��=��𝐸=��∠�
【答案】
【分析】本36题°考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质,掌握等边对等角的性质是
解题关键.由等边对等角的性质可得,,,再利用三角形内角和
定理求解即可.∠�=∠�𝐸∠�=∠�∠�𝐸=∠𝐸�=2∠�
【详解】解:,
∵,𝐸=��
∴∠�=∠�𝐸,
∴∠𝐸�=∠�+∠,�𝐸=2∠�
∵𝐴=��,=��,
∴∠�=∠�∠�𝐸=∠𝐸�=2∠,�
∴∠���=∠�𝐸+∠�𝐸=,3∠�
∵∠�+∠�+∠,���=180°
∴5∠�=180°
【∴变∠式�=1-336】°如图,在中,,是角平分线,是高,,,求和
的度数.△𝐴�𝐴>��𝐸𝐶𝐶=𝐶∠�𝐶=10°∠�𝐶∠�
【答案】,
【分析】本∠�题𝐶考=查4了5°三角∠�形=的2高5与°角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角
形的性质是解题关键.先根据等腰三角形的性质可得,从而可得,再根据角
平分线的定义可得,然后根据∠三�角=形∠�的�内�角=和45定°理求解即可∠得��.�=55°
【详解】解:∵在∠���中=,2∠��是�高=,110°,
∴△�,��𝐶𝐶=𝐶
∵∠�=∠�𝐶=,45°
∴∠�𝐶=10°,
∵∠在�𝐸=∠中�,𝐶+是∠�角�平�分=线55,°
∴△𝐴�𝐸,
∴∠���=2∠�𝐸=110°.
【题∠型�=218方0程°−思∠想��求�角−度∠】�=25°
【例2】如图,在中,,P为内一点,过点P的直线分别交,于点M,N,
若M在的垂直△平�分��线上,∠N𝐴在�=的54垂°直平分△线�上��,则的度数为()𝑀𝐴��
����∠���
A.B.C.D.
【答案】1C04°106°117°136°
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质,熟练掌握
等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键.先根据三角形的内角和定理求得
,再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得,∠�𝑀,+再利用
∠三�角�形�的=外12角6°性质和平角定义求解即可.∠���=∠���∠���=∠���
【详解】解:∵在中,,
∴△�𝑀∠𝐴�=5,4°
∵∠M�在𝑀+的∠垂�直��平=分1线8上0°,−N∠�在=1的26垂°直平分线上,
∴��,,��
∴��=����,=��,
∠���=∠���∠���=∠���
∴,
∴∠�𝑀+∠���=2∠,���+2∠���=126°
∴∠���+∠���=63°,
故选∠�C��.=180°−∠���+∠���=117°
【变式2-1】如图,在中,、分别垂直平分和,垂足为M,N.且分别交于点D,E.若
,则△的𝐴度�数为�(�)��𝐴����
∠�𝐶=40°∠���
A.B.C.D.
【答案】1C00°105°110°120°
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点,灵活运用等边对
等角成为解题的关键.
由线段垂直平分线的性质得,,则,,再由三角形内角和定理得
,进而�完�成=解�答�.��=��∠�=∠�𝐴∠�=∠���
【∠详��解�】+解∠:��∵�=8、0°分别垂直平分和,
∴,����,𝐴��
∴��=���,�=��,
∵∠�=∠�𝐴,∠�=∠���,
∵∠�𝐶=40°∠�+∠�+∠���=180°,
∴∠�+∠�𝐸+∠�+∠���,=180°−40°=140°
∴2∠�𝐸+2∠���=1,40°
∴∠�𝐸+∠�𝐶=70°.
故选∠�:��C.=∠�𝐸+∠�𝐶+∠�𝐶=70°+40°=110°
【变式2-2】如图,中,,垂直平分,垂直平分,则的度数为.
△𝐴�∠���=67°𝐸𝐴𝐶��∠𝐴�
【答案】/度
【分析】本23题°考23查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握线段垂直平
分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键.根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得到
,,,再根据三角形的内角和定理进行计算求解即可.
∠𝐴�=∠�𝐴∠���=∠���∠𝐴�=∠�𝐴
【详解】解:垂直平分,垂直平分,
,∵𝐸,𝐴𝐶��
∴��=����,=��
∴��=��=��,,,
∴∠𝐴�=∠�𝐴∠���=∠���∠𝐴�=∠�𝐴
∵∠���+∠𝐴�+�𝐴=180°,即,
∴2∠�𝐴+2∠���+2∠𝐴�=,180°2∠�𝐴+∠���+2∠𝐴�=180°
∵∠�𝐴+∠���=∠���=67°,
∴2∠𝐴�=180°−2×67°=46°
1
∴故∠答�案��为=:×4.6°=23°
2
【变式2-3】如23图°,在中,、分别为、边上的点,,.若,
则的度数为△.𝐴���𝐴����=����=��=��∠𝐴�=130°
∠�
【答案】
【分析】本30题°考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理和外角性质,设,由可得
,即得,得到,进而可∠�得=���=��,∠���=
∠�=�∠���,=再∠�得+到∠���=2�∠,�最��后=根∠据���=2�列出方∠程�即��可=求1解80,°−掌4握�以∠上𝐶知�识=
3
∠点�是��解+题∠的�关��键=.3�∠���=∠�=2�∠𝐴�=130°
【详解】解:设,
∵,∠�=�
∴��=��,
∴∠���=∠�=�,
∵∠���=,∠�+∠���=2�
∴��=��,
∴∠���=∠���=2�,,
∵∠���=,180°−2�−2�=180°−4�∠𝐶�=∠���+∠���=�+2�=3�
∴��=��,
∵∠���=∠�,
∴∠���+∠�=∠�,��
3
∴∠���=∠�=2�,
35
∠𝐴�=∠𝐴�+∠���=180°−4�+2�=180°−2�
∵,
∴∠𝐴�=130°,
5
∴180°−2,�=130°
∴�=20°,
3
故答∠�案=为2:×20°.=30°
【题型3分3类0°讨论思想求角度】
【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则顶角的度数为()
A.B.或C.50°或D.
【答案】4C0°40°130°40°140°140°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,做题时,考虑问题要全面,必要的时候可以做
出模型帮助解答,进行分类讨论是正确解决本题的关键.分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形
去分析求解即可求得答案.
【详解】解:①当为锐角三角形时,如图1,
∵,,
∴∠𝐴�=50°��⊥�,�
∴∠三�角=形9的0°顶−角50为°=40;°
②当为钝角三角形时40,°如图2,
∵,,
∴∠𝐴�=50°��⊥��,
∵∠�𝐸=90°−50°=4,0°
∴∠�𝐸+∠���=180°
∠���=140°
∴三角形的顶角为,
故选C.140°
【变式3-1】已知是的高,,,则的度数为.
【答案】或𝐸△𝐴���=��∠�𝐸=50°∠�
【分析】本20题°考7查0°了等腰三角形的性质,三角形外角性质,三角形内角和定理,分两种情况讨论是解题的关
键.当高在等腰三角形外部时;当高在等腰三角形内部时;然后分别进行计算即可解答.
【详解】解�:�当高在等腰三角形外部时�,�如图:
𝐸
,
,∵𝐸⊥��
∴∠𝐸�=90°,
∵∠�𝐸=50°,
∴∠�𝐸是=90°−是∠�的�外�=角4,0°
∵∠�𝐸△𝐴�,
∴∠�𝐸=,∠�𝐴+∠�=40°
∵��=𝐴;
∴当∠高�𝐴在=等∠腰�=三2角0形°内部时,如图:
𝐸
,
,∵𝐸⊥��
∴∠𝐸�=90°,
∵∠�𝐸=50°,
∴∠�𝐸=,90°−∠�𝐸=40°
∵��=𝐴,
180°−∠�
∴综∠上�所𝐴述=:∠�=的度数2为=70或°,
故答案为:∠�或20°70°
【变式3-2】20°中70,°,边的垂直平分线交直线于点M,交于点D,若,则
△𝐴�𝐴=��𝐴����𝐴��=��∠𝐴�
的度数为.
【答案】或
【分析】本36题°考7查2°了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理,熟练掌握相关知识点,
根据题意画出示意图是解题的关键.根据题意,分2种情况①点M在边上,②点M在延长线上,连
接,利用线段垂直平分线的性质得到,再由等腰三角形的性�质�分别得到��,
��,,设��=��,结合图形利用三角∠�形�内�角=和∠�定�理�列出方
∠程�,��解=出∠�的�值�即∠可�得��出=答∠案�.��∠𝐴�=∠�𝐴=∠���=�
【详解】解�:①若点M在边上,如图,连接,
����
,
,∵𝐴=��
∴∠𝐴是�=边∠�的𝐴垂直平分线,
∵��𝐴,
∴��=��,
∴∠𝐴�=∠���,
∴∠���=,∠𝐴�+∠���=2∠𝐴�
∵��=��,
∴设∠���=∠���,则,
在∠𝐴�=中∠,�𝐴=∠���=�,∠���=∠���=2�
解得△:����,+2�+2�=180°
�=36°;
∴②∠若�点��M=在36°延长线上,如图,连接,
����
,
,∵𝐴=��
∴∠𝐴是�=边∠�的𝐴垂直平分线,
∵��𝐴,
∴��=��,
∴∠𝐴�=∠,���
∵��=��,
∴∠���=∠���
,
∴设∠�𝐴=∠���+∠���=2∠,�则��,
�
在∠𝐴�=中∠,�𝐴=∠���=�,∠���=2
�
解得△:𝐴��,+�+2=180°
�=72°;
∴综∠�上�所�述=,72°的度数为或.
∴故答案为:∠�或��.36°72°
【变式3-3】3如6图°,72°,点A在上,垂直平分分别交、于点B、C.点D在射线
上,不与点O、B重∠�合�,�当=32°是等腰�三�角形时��,求�的�度数.������
△𝐴�∠�𝐸
【答案】或或
【分析】由96线°段9垂0°直平8分4°线的性质推出,由等腰三角形的性质得,由三角形的外
角性质得到,当�时�,=得�到�,求∠出�𝑀=∠𝑀�,=当32°时,得
到∠𝐴�=64°,求出��=��,当∠�𝐸=时∠,𝐴得�到=64°∠�𝐸=96°,由三角��形=内�角�和定理
求出∠�𝐸=∠𝐸�,即=可58得°解.∠�𝐸=90°𝐴=𝐸∠𝐸�=∠𝐴�=64°
【详解∠】��解�:=84°垂直平分,
,∵����
∴��=𝐴,
∴∠�𝑀=∠𝑀�=32°,
∴由∠题�意��知=在∠𝑀�的+延∠长�线𝑀上=,64°
当�时�,�
��=��,
∴∠�𝐸=∠𝐴�=64°,
∴当∠�𝐸=∠时�,𝑀+∠�𝐸=32°+64°=96°
��=𝐴,
1
∴∠�𝐸=∠𝐸�=2180°−64°=58°
∴当∠�𝐸=∠时�,𝑀+∠�𝐸=32°+58°=90°
𝐴=𝐸,
∴∠𝐸�=∠𝐴�=64°,
∴∠�𝐸的=度18数0°是−∠�或��−或∠𝐸�.=180°−32°−64°=84°
∴∠�𝐸96°90°84°
【题型4“三线合一”的应用】
【例4】如图,在中,点、在边上,,.求证:.
△𝐴�������=𝐶𝐸=𝐶𝐴=��
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质,作于点,由等腰三角形的性质可得,再求
出,即可得证,熟练掌握等腰三角形的判�定�与⊥性��质是解�此题的关键.��=��
【详�解�】=证𝐴明:作于点,
𝐴⊥���
,
,∵𝐸=𝐶
∴��=��,
∵��=𝐶,即,
∴��+��,=𝐶+����=𝐴
∵𝐴⊥��.
【∴变𝐴式=4-�1�】如图,已知:,,.求度数.
1
∠1=∠2��=����=2𝐴∠�𝐸
【答案】
【分析】本∠�题𝐸考=查9了0全°等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.延长到点E,使得,
证明,得到,推出,再根据等腰三角形的性质�求�解即可.𝐶=𝐴
【详解△】�解��:≌延△长𝐸�到点E,�使�得=��,��=𝐶
��𝐶=𝐴
在和中,
△𝐸�△𝐸�
,
𝐴=𝐶
∠1=∠2
,
𝐸=𝐸
∴△𝐸�≌△,𝐸�SAS
∴��=��,
1
∵��=2𝐴,
1
∴��=2𝐶,
∴即�点�C=为𝐶的中点,
𝐶,
∵��=��,
∴��=�是�等腰三角形,
∴△�是��底边上的中线,
∵��△�,��
∴��⊥𝐶.
【∴变∠式�𝐸4-2=】9如0°图,在中,,D、E、F分别在三边上,且,,G为的中
点.△𝐴�𝐴=����=𝐸��=𝐴��
(1)若,求的度数;
(2)求证∠�:=40垂°直平∠分𝐴�.
【答案】(1�)���
(2)见解析70°
【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等
知识,熟练掌握相关知识是解题关键.
(1)根据等边对等角证明,运用三角形的内角和定理即可解决问题.
(2)连接、;证明∠𝐴�=∠�𝐴,得到,运用等腰三角形的性质证明,即可
解决问题�.���△���≌△𝐴�SAS��=����⊥��
【详解】(1)解:∵,
∴,𝐴=��
∵∠𝐴�=∠,�𝐴
∴∠�=40°.
180°−40°
(2∠)�证��明=:如图2,连=接70°、;
����
在与中,
△���△𝐴�
,
��=𝐴
∠�=∠�
∴,
��=𝐸
∴△���≌,△𝐴�SAS
∵�G�为=�的�中点,
∴��,
∴��垂⊥直��平分.
【变�式�4-3】如图��,在中,,点是边的中点,以为底边向上作等腰,使
得,交Rt△于�点��.∠�𝐴=90°���𝐸△𝐸�
∠𝐸�=∠���𝐴�
(1)若,求的度数;
(2)若∠�=20°,求证∠�:.
【答案�】�(1=)��𝐸=2��
(2)见解析40°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质.熟练掌握等腰三角
形的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质是解题的关键.
(1)由等腰,可得,由题意知,,则
,△根�据��∠�𝐸=∠𝐸�,计算∠求�解=即18可0;°−∠�𝐴−∠�=70°∠�𝐸=∠𝐸�=
(∠2�)=如7图0,°作∠�=于18,0则°−∠�𝐸+∠𝐸�,证明,则,进而可得.
1
【详解】(1)��解⊥:�∵�以�为�底�边=向�上�作=等2�腰�△,𝐶�≌△���AAS��=��𝐸=2��
∴,𝐸△𝐸�
由题∠�意�知�=,∠𝐸�,
∴∠�=180°−∠�𝐴,−∠�=70°
∴∠�𝐸=∠𝐸�=∠�=70°,
∴∠�的=度18数0°为−∠�;𝐸+∠𝐸�=40°
(2∠)�证明:如图4,0°作于,
��⊥𝐸�
∴,
1
∵��=𝐶=2𝐸,,,
∴∠𝐶�=90°=∠���,∠���=∠�𝐸=��
∴△𝐶�≌,△���AAS
∴��=��.
【题�型�=52�确�定等腰三角形的个数】
【例5】在平面直角坐标系中,若点,点,在坐标轴上找一点C,使得是等腰三角形,这
样的点C可以找到的个数是()�2,0�0,1△𝐴�
A.3B.5C.6D.8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定,坐标与图形性质,作出图形,利用数形结合的思想求解更形象直观.根
据等腰三角形两腰相等,分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆,与坐标轴的交点即为所求的点C,
的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足�是�等腰三角形.𝐴
【详解】解:如图,使得是等腰三角△形�,��这样的点C可以找到8个.
△𝐴�
故选:D.
【变式5-1】如图的正方形网格中,像点、点这样网格线的交点称为格点.以为边的等腰三角形
的三个顶点都属于格点,这样的等腰三角�形的�个数()𝐴𝐴�
A.个B.个C.个D.个
【答案】1A0864
【分析】本题考查了等腰三角形的定义,分为底和腰两种情况解答即可求解,掌握等腰三角形的定义是解
题的关键.𝐴
【详解】解:如图所示,分以下情况讨论:
①当为等腰底边时,符合条件的点有个:、、、、、;
②当𝐴为等腰△𝐴�其中的一条腰时,符合�条件6的点有�1个�2:�3、�4、�5、�6;
∴点�的�个数是△𝐴�个,�4�7�8�9�10
故选:�A.6+4=10
【变式5-2】如图,直线相交形成的夹角中,锐角为,交点为,点在直线上,直线上存在点,
使以点为顶点的三�,角�形是等腰三角形,这样的点52有°()�����
�,�,��
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定,根据为等腰三角形,分三种情况讨
论:①当时,②当时,③当时,分别求得符△合�的�点�B,即可得解.
【详解】解�:�要=使𝐴为等�腰�=三角𝐴形分三种情��况=讨�论�:
①当时,△作�线𝐴段的垂直平分线,与直线b的交点为B,此时有1个;
��=𝐴��
②当时,以点A为圆心,为半径作圆,与直线b的交点,此时有1个;
��=𝐴��
③当时,以点O为圆心,为半径作圆,与直线b的交点,此时有2个,
��=����
,
故选:D.1+1+2=4
【变式5-3】如图,已知中,,,,若过的顶点的一条直线将分
割成两个三角形,使其中△有𝐴一�个边长𝐴为=66的等��腰=三1角0形�,�则=这14样的直线△最�多��可画()△𝐴�
A.2条B.3条C.4条D.5条
【答案】C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义,根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合
题意的图形即可.𝐴𝐴
【详解】解:如图所示,当,时,都能得到符合题意的等腰三角形.
��=��=𝐴=𝐷��=𝐸
综上,这样的直线最多可画4条.
故选:C.
【题型6尺规作等腰三角形】
【例6】如图,已知,线段.用直尺和圆规按下列要求作图.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
∠��
(1)作出一个等腰三角形,使其底角,底边长;
(2)作出一个等腰三角形𝐴�,使其底角=∠�,底边上=的高�.
【答案】(1)图见解析���=∠�=�
(2)图见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图,需要利用直尺和圆规,深刻理解等腰三角形的性质,即两底
角相等;等腰三角形“三线合一”的性质,即在等腰三角形中,顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高
线三条特殊线段重合为一条线段,根据给定的底角和底边或高进行作图.解题的关键是利用已知条件,通
过得到顶角,或利用两直线平行,同位角相等,来转化相等的角.
(1)1先80作°−射2线�,再以点B为圆心,线段a的长为半径画弧,交射线于点C,分别作,
交于点�,�则即为所求;��∠𝐴�=∠�𝐴=∠�
(�2�)先��作出�的补角△,𝐴即�为等腰三角形的顶角,再作顶角的角平分线,根据等腰三角形“三线合一”
的性质,在角2�平分线上截取,过点作,∠分�别��交、于�点�、点,即得所求.
【详解】(1)解:作法:先作��射=线�,再以�点�B�为⊥圆��心,线段a�的�长�为�半径画�弧,交�射线于点C,分别
����
作,交于点,则即为所求;
∠𝐴�=∠�𝐴=∠������△𝐴�
(2)解:①原图中,在角的一边上作一个与相等的角,
②原图中,延长已知角的�另一条边,得到,�即,
∘
③作,���=180−2�
④作∠𝐸�的=角�平分线,
⑤在∠𝐸上�取点,使��,
⑥过点��作�,�分�别=交�、于点、点,
���⊥��������
【变式6-1】如图,在中,,点在边上.请用尺规作图法,在内求作一点,使
.(保留作图痕迹△,𝐴不�写作∠法�)=40°��△𝐴��∠𝐴�=
70°
【答案】见解析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角,等腰三角形的性质,三角形内角和定理的应用,根据作图可得
,进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义,即可求解.
【∠详��解�】=解∠:�=如4图0,°,��=��
根据作图可得
∴∠���=∠�=40°,��=��
1
【变∠式𝐴6�-2=】∠如�图𝐴,=为21直8线0°−外∠一�点��,点=7,0°在直线上,已知为锐角.请用尺规作图法,在直线上求
作一点,使得��,(保留�作�图痕迹,�不写作法∠)𝐴��
�∠𝐸�=2∠𝐴�
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,三角形的外角性质.作线段的垂直平分
线交直线于点,再连接,得到,进而得到,推出𝐴,
最后以为�圆心�、的长�为�半径画�弧�,=交��直线于点∠,�得𝐶到=∠𝐴�∠𝐶�=∠�,��点+即∠�为𝐶所=求2.∠𝐴�
【详解】�解:如图,𝐶点即为所求.��∠𝐸�=∠𝐶�=2∠𝐴��
�
【变式6-3】线段和C、D两点的位置如图所示,请用尺规作图法在线段上作一点B,连接、、,
使得是以��为底边的等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)������𝐸
△�𝐸𝐸
【答案】见解析
【分析】作线段的垂直平分线交于点,连接、即可.
本题考查作图-复𝐸杂作图,等腰三角�形�的定�义,垂直�平�分�线�的性质,解题的关键是理解题意,掌握尺规作垂
线的方法是解决问题.
【详解】解:连接,作的垂直平分线交于点,连接、,则就是所求的以为底边的等
腰三角形,如图:𝐸𝐸�������△�𝐸𝐸
【题型7等腰三角形的判定与性质】
【例7】如图,已知点,分别是的边和延长线上的点,作的平分线,若.
��△�������∠𝐴�����∥��
(1)求证:是等腰三角形;
(2)作△的�平��分线交于点,若,求的度数.
【答案∠】��(1�)见解析���∠�=50°∠�𝐶
(2)
【分6析5°】本题主要考查角平分线的定义,平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识:
(1)根据角平分线的定义得,由平行线的性质得,,可得,
可得出是等腰三角形∠;𝐴�=∠���∠𝐴�=∠�∠���=∠���∠�=∠���
(2)由(△1�)��知,得出,由角平分线定义得出,最后根据平行线
的性质可得结论∠.���=∠�=50°∠���=130°∠𝐶�=65°
【详解】(1)证明:∵平分
∴.��∠𝐴�
∵∠𝐴�=∠���
∴��∥��,.
∠𝐴�=∠�∠���=∠���
∴.
∴∠�=∠���是等腰三角形.
(2�)�解=:�∵�,△���,,
∴∠�=∠��.�∠�=50°
∴∠���=∠�=50°.
∵∠��平�分=180°,−∠���=130°
∴��∠���.
11
∵∠𝐶�=,2∠���=2×130°=65°
∴��∥��.
【变∠式��7�-1=】∠如�图��,=在65°中,,点D为的中点,连接,的垂直平分线EF交于点E,
交于点O,交于△点�F�,�连接𝐴=,��.��𝐸𝐴𝐴
𝐸������
(1)求证:为等腰三角形;
(2)若△𝑀�,求的度数.
【答案∠】��(1�)见=解20析°∠𝑀�
(2)
【分∠析𝑀】�本=题3主0°要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点,灵
活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键.
(1)根据中垂线的性质可得,再根据等腰三角形的性质可得,进而说明是的中垂线
可得,进而得到��=�即�可证明结论;𝐸⊥��𝐸��
(2)先��根=据�等�腰三角形的�性�质=及�角�的和差可得,再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得
;再根据等腰三角形的性质可得∠���=40°,最后根据三角形外角的性质即可解答.
【∠详𝐴解�】=(501°)证明:∵是的中垂线,∠���=∠���=20°
∴,��𝐴
∵��=��,D为中点,
∴𝐴=��(三线合��一),
∴𝐸是⊥��的中垂线,
∴𝐸��,
∴��=��,
��=��
∴是等腰三角形.
(2△)解��:�∵,D为中点,
∴𝐴=��(三�线�合一),
∴∠���=∠��,�=20°
∵∠�是��=的40中°垂线,
∴��𝐴,
∴��⊥𝐴,
∵∠𝐴�=5,0°
∴��=��,
∵∠���=∠���=20°,
∴∠𝐴�=∠���+∠,𝑀�
∴50°=20°+.∠𝑀�
【变∠式𝑀7�-2=】3已0°知如图中,,平分,平分,过作直线平行于,
交,于,.△𝐴���=6cm𝐴=8cm��∠𝐴�𝐸∠�𝐴���
𝐴����
(1)求证:是等腰三角形;
(2)求△的��周�长.
【答案△】�(1�)�见解析
(2)
【分1析4c】m本题考查了等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的定义等.
(1)首先根据平行线的性质可得,再根据角平分线的定义可得,可得
,据此即可证得;∠���=∠�𝐴∠�𝐸=∠�𝐸∠�𝐸=
(∠2�)��同理(1)可得,根据的周长,求解即可.
【详解】(1)证明:�∵�=��,△𝐶�=𝐶+𝐴+��+��=𝐴+��
,��∥��
∴∠��平�分=∠�𝐴,
∵𝐸∠�𝐴,
∴∠�𝐸=∠�𝐴,
∴∠���=,∠�𝐸
∴��=�是�等腰三角形;
(2△)解��:�∵,
��∥��
,
∴∠��平�分=∠��,�
∵��∠𝐴�,
∴∠���=∠���,
∴∠���=,∠���
∴∵��=��,,
∴��=6的cm周长�为�:=8cm
△𝐶�𝐶+��+𝐴
=𝐶+��+��+𝐴
=𝐶+��+��+𝐴
=𝐴+��
=8+6.
【=变1式4cm7-3】如图,在中,,点为的中点,边的垂直平分线交,,于点,,
,连接、.△𝐴���=���𝐴����𝐴𝐴��
�����
(1)求证:为等腰三角形;
(2)若△���,求的度数.
【答案∠】��(1�)见=解25析°∠���
(2)15°
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质.
(1)根据线段垂直平分线的性质,先求得,根据等腰三角形三线合一的性质,可求得.
(2)根据等腰三角形三线合一的性质,可求��得=��,根据三角形内角�和�定=理��可求
1
得的度数,结合即∠�可𝐴求=得∠答�案𝐴.=2∠�𝐴=25°
【详∠解��】�(1)证明:∠��为�线=段∠��的�−垂∠直�平��分线,
.∵����
∴��=��,点为的中点,
∵��为=线��段的�垂�直�平分线.
∴𝐴.𝐴
∴��=��.
∴��=�为�等腰三角形.
△���
(2)解:,点为的中点,
为∵��的=平�分�线.�𝐴
∴𝐴∠�𝐴.
1
∴∠�𝐴=∠��.�=2∠�𝐴=25°
∴∠�𝐴=50°.
∴∵∠���=为1等80腰°−三∠角�形��,−∠�𝐴=180°−90°−50°=40°
△���.
∴∠𝐴�=∠�𝐴=25°.
【∴题∠型��8�=等∠腰��三�角−形∠�与�全�等=三40角°−形2的5°综=合1】5°
【例8】如图,和是等腰直角三角形,,,垂足为F.
△�𝐸△�𝐶∠�𝐸=∠�𝐶=90°𝐴⊥𝐴
(1)求证:;
(2)判断∠和𝐴�的=位∠置𝐸关�系,并说明理由;
(3)求证:𝐴𝐶.
【答案】(1�)见�解=析2��+��
(2),见解析
(3)�见�解∥析𝐶
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线
段的和差等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质,添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的
关键.
(1)先根据等角的余角相等证得,再根据全等三角形的判定证明即可得出,根
据邻补角的定义,即可得证;∠���=∠�𝐶∠𝐴�=∠𝐸�
(2)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得,再根据直角三角形的两锐角互
余求得即可得出,进而证明∠��,�=即∠可�得=出4结5°论;
(3)延长∠�𝐴到=4,5使°得∠��,�根=据13全5等°三角形的判�定�∥与�性�质证明,
�得�到��即�可=证��得结论.△𝐴�≌△𝐴�SAS△𝐷�≌△
【�详��解A】A(S1)证�明�=:∵𝐸,
∴∠,�𝐸=∠�𝐶=90°,
∴∠���+∠�𝐸,=90°∠�𝐸+∠�𝐶=90°
∠���=∠�𝐶
在和中,
△���△�𝐶
∵,
𝐴=𝐸
∠���=∠�𝐶
∴;
��=𝐶
∴△���≌△�𝐶,SAS
∴∠𝐴�=∠𝐸�;
(2∠)�解��:=∠𝐸�,理由如下,
∵𝐴∥�,�,
∴∠�𝐶=9,0°��=𝐶
由(∠�1)=知45°,
∴△���≌△,�𝐶
∵∠���=,∠�=45°
∴𝐴⊥��,
∴∠𝐴�=90°,
∴∠�𝐴=45°;
又∠∵�𝐶=∠�,��+∠�𝐶=45°+90°=135°
∴∠�=45°,
∴∠�𝐶+,∠�=180°
(3�)�证∥明𝐶:延长到,使得,
�����=��
∵,
∴𝐴⊥��,
在∠𝐴�=和∠𝐴�=中9,0°
△𝐴�△𝐴�
∴,
��=��
∠𝐴�=∠𝐴�
∴,
𝐴=𝐴
∴△𝐴�≌,△𝐴�SAS,
∵𝐴=𝐷∠𝐴�,=∠�
∴△���≌△,�𝐶,,
∴𝐴=𝐸,∠𝐴�=∠���,𝐴=��
𝐷=𝐸∠𝐴�=∠𝐸�
∴,
∵∠𝐷�=∠𝐸�,
∴∠在���=∠和���=4中5°,
△𝐷�△𝐸�
,
∠���=∠���
∠𝐷�=∠𝐸�
∴,
𝐷=𝐸
∴△𝐷�≌,△𝐸�AAS
∵𝐷=𝐸,
∴𝐷=𝐴+��+.��=𝐴+2��=��+2��
【变�式�=8-21】��如+图��1,和均为等腰直角三角形,,点A、D、E在同一直线
上,连接.△𝐴�△�𝐶∠�𝐴=∠�𝐶=90°
��
(1)①求证:;
②求的�度�数=;��
(2)如∠图𝐶2�,若为中边上的高,,,请直接写
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