2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第14讲 等腰三角形 (3个知识点+8个题型+思维导图+过关测) (教师版)_第1页
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文档简介

第14讲等腰三角形

内容导航——预习三步曲

第一步:学

析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识:8大核心考点精准练

第二步:记

串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步:测

过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1等腰三角形的性质】

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).

如图,在ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,则BD=CD.

在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,BD=CD,AD=AD。∴△ABD≌△ACD(SSS),

∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.

由△ABD≌△ACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA,从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC

底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法,还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分

底边并且垂直于底边,底边上的高平分顶角并且平分底边,这也就证明了等腰三角形“三线合一”.

【知识点2等腰三角形的判定】

1.定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形;

2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

数学语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).

【知识点3作一个等腰三角形】

尺规作图:已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h(如图),求作这个等腰三角形.

作法:如图(2)

①作线段AB=a;②作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D;③在MN上取一点C,使DC=h;

④连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.

【题型1利用等边对等角直接求角度】

【例1】如图,在等腰中,,是的角平分线.若,则的度数为()

△𝐴�𝐴=��𝐶△𝐴�∠���=40°∠���

A.B.C.D.

【答案】7B0°75°105°125°

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点.熟练掌握等腰三

角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键.

根据等腰三角形的性质,得到,再根据是的角平分线得到

180°−40°

,然后利用三角形∠�外�角�=性∠质�计=算即2可.=70°𝐶△𝐴�∠�𝐶=

1

【2详∠�解𝐴】=解3:5∵°等腰中,,,

∴△𝐴�,𝐴=��∠���=40°

180°−40°

∵∠�是𝐴=∠�的=角平2分线=,70°

∴𝐶△𝐴�,

1

∴∠�𝐶=2∠�𝐴=35°.

故选∠�:��B.=∠�𝐶+∠�=35°+45°=75°

【变式1-1】如图,中,,,将折叠,使得点B与点A重合,折痕交

于D,交于E,△若𝐴�∠,�则��>的∠度�数∠为�=70°.△𝐴���𝐴

��𝐶=��∠�

【答案】/度

【分析】本35题°3考5查了翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,利用三角形的内角

和定理、等腰三角形的性质先求出AEC的度数,再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出.

【详解】解:由折叠的性质知:∠,,∠�

1

,,∠���=∠𝐶�=2∠���∠���=∠𝐸�=90°

∵𝐶=��∠�=7,0°

∴∠𝐶�=∠�=70°,

1

∴∠���=2180°−∠𝐶,�=55°

∴故∠答�案=为90:°−55.°=35°

【变式1-2】3如5图°,在中,为上一点,且,,求的度数.

△𝐴����𝐴=��=��𝐸=��∠�

【答案】

【分析】本36题°考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质,掌握等边对等角的性质是

解题关键.由等边对等角的性质可得,,,再利用三角形内角和

定理求解即可.∠�=∠�𝐸∠�=∠�∠�𝐸=∠𝐸�=2∠�

【详解】解:,

∵,𝐸=��

∴∠�=∠�𝐸,

∴∠𝐸�=∠�+∠,�𝐸=2∠�

∵𝐴=��,=��,

∴∠�=∠�∠�𝐸=∠𝐸�=2∠,�

∴∠���=∠�𝐸+∠�𝐸=,3∠�

∵∠�+∠�+∠,���=180°

∴5∠�=180°

【∴变∠式�=1-336】°如图,在中,,是角平分线,是高,,,求和

的度数.△𝐴�𝐴>��𝐸𝐶𝐶=𝐶∠�𝐶=10°∠�𝐶∠�

【答案】,

【分析】本∠�题𝐶考=查4了5°三角∠�形=的2高5与°角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角

形的性质是解题关键.先根据等腰三角形的性质可得,从而可得,再根据角

平分线的定义可得,然后根据∠三�角=形∠�的�内�角=和45定°理求解即可∠得��.�=55°

【详解】解:∵在∠���中=,2∠��是�高=,110°,

∴△�,��𝐶𝐶=𝐶

∵∠�=∠�𝐶=,45°

∴∠�𝐶=10°,

∵∠在�𝐸=∠中�,𝐶+是∠�角�平�分=线55,°

∴△𝐴�𝐸,

∴∠���=2∠�𝐸=110°.

【题∠型�=218方0程°−思∠想��求�角−度∠】�=25°

【例2】如图,在中,,P为内一点,过点P的直线分别交,于点M,N,

若M在的垂直△平�分��线上,∠N𝐴在�=的54垂°直平分△线�上��,则的度数为()𝑀𝐴��

����∠���

A.B.C.D.

【答案】1C04°106°117°136°

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质,熟练掌握

等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键.先根据三角形的内角和定理求得

,再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得,∠�𝑀,+再利用

∠三�角�形�的=外12角6°性质和平角定义求解即可.∠���=∠���∠���=∠���

【详解】解:∵在中,,

∴△�𝑀∠𝐴�=5,4°

∵∠M�在𝑀+的∠垂�直��平=分1线8上0°,−N∠�在=1的26垂°直平分线上,

∴��,,��

∴��=����,=��,

∠���=∠���∠���=∠���

∴,

∴∠�𝑀+∠���=2∠,���+2∠���=126°

∴∠���+∠���=63°,

故选∠�C��.=180°−∠���+∠���=117°

【变式2-1】如图,在中,、分别垂直平分和,垂足为M,N.且分别交于点D,E.若

,则△的𝐴度�数为�(�)��𝐴����

∠�𝐶=40°∠���

A.B.C.D.

【答案】1C00°105°110°120°

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点,灵活运用等边对

等角成为解题的关键.

由线段垂直平分线的性质得,,则,,再由三角形内角和定理得

,进而�完�成=解�答�.��=��∠�=∠�𝐴∠�=∠���

【∠详��解�】+解∠:��∵�=8、0°分别垂直平分和,

∴,����,𝐴��

∴��=���,�=��,

∵∠�=∠�𝐴,∠�=∠���,

∵∠�𝐶=40°∠�+∠�+∠���=180°,

∴∠�+∠�𝐸+∠�+∠���,=180°−40°=140°

∴2∠�𝐸+2∠���=1,40°

∴∠�𝐸+∠�𝐶=70°.

故选∠�:��C.=∠�𝐸+∠�𝐶+∠�𝐶=70°+40°=110°

【变式2-2】如图,中,,垂直平分,垂直平分,则的度数为.

△𝐴�∠���=67°𝐸𝐴𝐶��∠𝐴�

【答案】/度

【分析】本23题°考23查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握线段垂直平

分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键.根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得到

,,,再根据三角形的内角和定理进行计算求解即可.

∠𝐴�=∠�𝐴∠���=∠���∠𝐴�=∠�𝐴

【详解】解:垂直平分,垂直平分,

,∵𝐸,𝐴𝐶��

∴��=����,=��

∴��=��=��,,,

∴∠𝐴�=∠�𝐴∠���=∠���∠𝐴�=∠�𝐴

∵∠���+∠𝐴�+�𝐴=180°,即,

∴2∠�𝐴+2∠���+2∠𝐴�=,180°2∠�𝐴+∠���+2∠𝐴�=180°

∵∠�𝐴+∠���=∠���=67°,

∴2∠𝐴�=180°−2×67°=46°

1

∴故∠答�案��为=:×4.6°=23°

2

【变式2-3】如23图°,在中,、分别为、边上的点,,.若,

则的度数为△.𝐴���𝐴����=����=��=��∠𝐴�=130°

∠�

【答案】

【分析】本30题°考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理和外角性质,设,由可得

,即得,得到,进而可∠�得=���=��,∠���=

∠�=�∠���,=再∠�得+到∠���=2�∠,�最��后=根∠据���=2�列出方∠程�即��可=求1解80,°−掌4握�以∠上𝐶知�识=

3

∠点�是��解+题∠的�关��键=.3�∠���=∠�=2�∠𝐴�=130°

【详解】解:设,

∵,∠�=�

∴��=��,

∴∠���=∠�=�,

∵∠���=,∠�+∠���=2�

∴��=��,

∴∠���=∠���=2�,,

∵∠���=,180°−2�−2�=180°−4�∠𝐶�=∠���+∠���=�+2�=3�

∴��=��,

∵∠���=∠�,

∴∠���+∠�=∠�,��

3

∴∠���=∠�=2�,

35

∠𝐴�=∠𝐴�+∠���=180°−4�+2�=180°−2�

∵,

∴∠𝐴�=130°,

5

∴180°−2,�=130°

∴�=20°,

3

故答∠�案=为2:×20°.=30°

【题型3分3类0°讨论思想求角度】

【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则顶角的度数为()

A.B.或C.50°或D.

【答案】4C0°40°130°40°140°140°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,做题时,考虑问题要全面,必要的时候可以做

出模型帮助解答,进行分类讨论是正确解决本题的关键.分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形

去分析求解即可求得答案.

【详解】解:①当为锐角三角形时,如图1,

∵,,

∴∠𝐴�=50°��⊥�,�

∴∠三�角=形9的0°顶−角50为°=40;°

②当为钝角三角形时40,°如图2,

∵,,

∴∠𝐴�=50°��⊥��,

∵∠�𝐸=90°−50°=4,0°

∴∠�𝐸+∠���=180°

∠���=140°

∴三角形的顶角为,

故选C.140°

【变式3-1】已知是的高,,,则的度数为.

【答案】或𝐸△𝐴���=��∠�𝐸=50°∠�

【分析】本20题°考7查0°了等腰三角形的性质,三角形外角性质,三角形内角和定理,分两种情况讨论是解题的关

键.当高在等腰三角形外部时;当高在等腰三角形内部时;然后分别进行计算即可解答.

【详解】解�:�当高在等腰三角形外部时�,�如图:

𝐸

,∵𝐸⊥��

∴∠𝐸�=90°,

∵∠�𝐸=50°,

∴∠�𝐸是=90°−是∠�的�外�=角4,0°

∵∠�𝐸△𝐴�,

∴∠�𝐸=,∠�𝐴+∠�=40°

∵��=𝐴;

∴当∠高�𝐴在=等∠腰�=三2角0形°内部时,如图:

𝐸

,∵𝐸⊥��

∴∠𝐸�=90°,

∵∠�𝐸=50°,

∴∠�𝐸=,90°−∠�𝐸=40°

∵��=𝐴,

180°−∠�

∴综∠上�所𝐴述=:∠�=的度数2为=70或°,

故答案为:∠�或20°70°

【变式3-2】20°中70,°,边的垂直平分线交直线于点M,交于点D,若,则

△𝐴�𝐴=��𝐴����𝐴��=��∠𝐴�

的度数为.

【答案】或

【分析】本36题°考7查2°了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理,熟练掌握相关知识点,

根据题意画出示意图是解题的关键.根据题意,分2种情况①点M在边上,②点M在延长线上,连

接,利用线段垂直平分线的性质得到,再由等腰三角形的性�质�分别得到��,

��,,设��=��,结合图形利用三角∠�形�内�角=和∠�定�理�列出方

∠程�,��解=出∠�的�值�即∠可�得��出=答∠案�.��∠𝐴�=∠�𝐴=∠���=�

【详解】解�:①若点M在边上,如图,连接,

����

,∵𝐴=��

∴∠𝐴是�=边∠�的𝐴垂直平分线,

∵��𝐴,

∴��=��,

∴∠𝐴�=∠���,

∴∠���=,∠𝐴�+∠���=2∠𝐴�

∵��=��,

∴设∠���=∠���,则,

在∠𝐴�=中∠,�𝐴=∠���=�,∠���=∠���=2�

解得△:����,+2�+2�=180°

�=36°;

∴②∠若�点��M=在36°延长线上,如图,连接,

����

,∵𝐴=��

∴∠𝐴是�=边∠�的𝐴垂直平分线,

∵��𝐴,

∴��=��,

∴∠𝐴�=∠,���

∵��=��,

∴∠���=∠���

∴设∠�𝐴=∠���+∠���=2∠,�则��,

在∠𝐴�=中∠,�𝐴=∠���=�,∠���=2

解得△:𝐴��,+�+2=180°

�=72°;

∴综∠�上�所�述=,72°的度数为或.

∴故答案为:∠�或��.36°72°

【变式3-3】3如6图°,72°,点A在上,垂直平分分别交、于点B、C.点D在射线

上,不与点O、B重∠�合�,�当=32°是等腰�三�角形时��,求�的�度数.������

△𝐴�∠�𝐸

【答案】或或

【分析】由96线°段9垂0°直平8分4°线的性质推出,由等腰三角形的性质得,由三角形的外

角性质得到,当�时�,=得�到�,求∠出�𝑀=∠𝑀�,=当32°时,得

到∠𝐴�=64°,求出��=��,当∠�𝐸=时∠,𝐴得�到=64°∠�𝐸=96°,由三角��形=内�角�和定理

求出∠�𝐸=∠𝐸�,即=可58得°解.∠�𝐸=90°𝐴=𝐸∠𝐸�=∠𝐴�=64°

【详解∠】��解�:=84°垂直平分,

,∵����

∴��=𝐴,

∴∠�𝑀=∠𝑀�=32°,

∴由∠题�意��知=在∠𝑀�的+延∠长�线𝑀上=,64°

当�时�,�

��=��,

∴∠�𝐸=∠𝐴�=64°,

∴当∠�𝐸=∠时�,𝑀+∠�𝐸=32°+64°=96°

��=𝐴,

1

∴∠�𝐸=∠𝐸�=2180°−64°=58°

∴当∠�𝐸=∠时�,𝑀+∠�𝐸=32°+58°=90°

𝐴=𝐸,

∴∠𝐸�=∠𝐴�=64°,

∴∠�𝐸的=度18数0°是−∠�或��−或∠𝐸�.=180°−32°−64°=84°

∴∠�𝐸96°90°84°

【题型4“三线合一”的应用】

【例4】如图,在中,点、在边上,,.求证:.

△𝐴�������=𝐶𝐸=𝐶𝐴=��

【答案】见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质,作于点,由等腰三角形的性质可得,再求

出,即可得证,熟练掌握等腰三角形的判�定�与⊥性��质是解�此题的关键.��=��

【详�解�】=证𝐴明:作于点,

𝐴⊥���

,∵𝐸=𝐶

∴��=��,

∵��=𝐶,即,

∴��+��,=𝐶+����=𝐴

∵𝐴⊥��.

【∴变𝐴式=4-�1�】如图,已知:,,.求度数.

1

∠1=∠2��=����=2𝐴∠�𝐸

【答案】

【分析】本∠�题𝐸考=查9了0全°等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.延长到点E,使得,

证明,得到,推出,再根据等腰三角形的性质�求�解即可.𝐶=𝐴

【详解△】�解��:≌延△长𝐸�到点E,�使�得=��,��=𝐶

��𝐶=𝐴

在和中,

△𝐸�△𝐸�

𝐴=𝐶

∠1=∠2

𝐸=𝐸

∴△𝐸�≌△,𝐸�SAS

∴��=��,

1

∵��=2𝐴,

1

∴��=2𝐶,

∴即�点�C=为𝐶的中点,

𝐶,

∵��=��,

∴��=�是�等腰三角形,

∴△�是��底边上的中线,

∵��△�,��

∴��⊥𝐶.

【∴变∠式�𝐸4-2=】9如0°图,在中,,D、E、F分别在三边上,且,,G为的中

点.△𝐴�𝐴=����=𝐸��=𝐴��

(1)若,求的度数;

(2)求证∠�:=40垂°直平∠分𝐴�.

【答案】(1�)���

(2)见解析70°

【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等

知识,熟练掌握相关知识是解题关键.

(1)根据等边对等角证明,运用三角形的内角和定理即可解决问题.

(2)连接、;证明∠𝐴�=∠�𝐴,得到,运用等腰三角形的性质证明,即可

解决问题�.���△���≌△𝐴�SAS��=����⊥��

【详解】(1)解:∵,

∴,𝐴=��

∵∠𝐴�=∠,�𝐴

∴∠�=40°.

180°−40°

(2∠)�证��明=:如图2,连=接70°、;

����

在与中,

△���△𝐴�

��=𝐴

∠�=∠�

∴,

��=𝐸

∴△���≌,△𝐴�SAS

∵�G�为=�的�中点,

∴��,

∴��垂⊥直��平分.

【变�式�4-3】如图��,在中,,点是边的中点,以为底边向上作等腰,使

得,交Rt△于�点��.∠�𝐴=90°���𝐸△𝐸�

∠𝐸�=∠���𝐴�

(1)若,求的度数;

(2)若∠�=20°,求证∠�:.

【答案�】�(1=)��𝐸=2��

(2)见解析40°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质.熟练掌握等腰三角

形的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)由等腰,可得,由题意知,,则

,△根�据��∠�𝐸=∠𝐸�,计算∠求�解=即18可0;°−∠�𝐴−∠�=70°∠�𝐸=∠𝐸�=

(∠2�)=如7图0,°作∠�=于18,0则°−∠�𝐸+∠𝐸�,证明,则,进而可得.

1

【详解】(1)��解⊥:�∵�以�为�底�边=向�上�作=等2�腰�△,𝐶�≌△���AAS��=��𝐸=2��

∴,𝐸△𝐸�

由题∠�意�知�=,∠𝐸�,

∴∠�=180°−∠�𝐴,−∠�=70°

∴∠�𝐸=∠𝐸�=∠�=70°,

∴∠�的=度18数0°为−∠�;𝐸+∠𝐸�=40°

(2∠)�证明:如图4,0°作于,

��⊥𝐸�

∴,

1

∵��=𝐶=2𝐸,,,

∴∠𝐶�=90°=∠���,∠���=∠�𝐸=��

∴△𝐶�≌,△���AAS

∴��=��.

【题�型�=52�确�定等腰三角形的个数】

【例5】在平面直角坐标系中,若点,点,在坐标轴上找一点C,使得是等腰三角形,这

样的点C可以找到的个数是()�2,0�0,1△𝐴�

A.3B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形的判定,坐标与图形性质,作出图形,利用数形结合的思想求解更形象直观.根

据等腰三角形两腰相等,分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆,与坐标轴的交点即为所求的点C,

的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足�是�等腰三角形.𝐴

【详解】解:如图,使得是等腰三角△形�,��这样的点C可以找到8个.

△𝐴�

故选:D.

【变式5-1】如图的正方形网格中,像点、点这样网格线的交点称为格点.以为边的等腰三角形

的三个顶点都属于格点,这样的等腰三角�形的�个数()𝐴𝐴�

A.个B.个C.个D.个

【答案】1A0864

【分析】本题考查了等腰三角形的定义,分为底和腰两种情况解答即可求解,掌握等腰三角形的定义是解

题的关键.𝐴

【详解】解:如图所示,分以下情况讨论:

①当为等腰底边时,符合条件的点有个:、、、、、;

②当𝐴为等腰△𝐴�其中的一条腰时,符合�条件6的点有�1个�2:�3、�4、�5、�6;

∴点�的�个数是△𝐴�个,�4�7�8�9�10

故选:�A.6+4=10

【变式5-2】如图,直线相交形成的夹角中,锐角为,交点为,点在直线上,直线上存在点,

使以点为顶点的三�,角�形是等腰三角形,这样的点52有°()�����

�,�,��

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定,根据为等腰三角形,分三种情况讨

论:①当时,②当时,③当时,分别求得符△合�的�点�B,即可得解.

【详解】解�:�要=使𝐴为等�腰�=三角𝐴形分三种情��况=讨�论�:

①当时,△作�线𝐴段的垂直平分线,与直线b的交点为B,此时有1个;

��=𝐴��

②当时,以点A为圆心,为半径作圆,与直线b的交点,此时有1个;

��=𝐴��

③当时,以点O为圆心,为半径作圆,与直线b的交点,此时有2个,

��=����

故选:D.1+1+2=4

【变式5-3】如图,已知中,,,,若过的顶点的一条直线将分

割成两个三角形,使其中△有𝐴一�个边长𝐴为=66的等��腰=三1角0形�,�则=这14样的直线△最�多��可画()△𝐴�

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】C

【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义,根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合

题意的图形即可.𝐴𝐴

【详解】解:如图所示,当,时,都能得到符合题意的等腰三角形.

��=��=𝐴=𝐷��=𝐸

综上,这样的直线最多可画4条.

故选:C.

【题型6尺规作等腰三角形】

【例6】如图,已知,线段.用直尺和圆规按下列要求作图.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

∠��

(1)作出一个等腰三角形,使其底角,底边长;

(2)作出一个等腰三角形𝐴�,使其底角=∠�,底边上=的高�.

【答案】(1)图见解析���=∠�=�

(2)图见解析

【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图,需要利用直尺和圆规,深刻理解等腰三角形的性质,即两底

角相等;等腰三角形“三线合一”的性质,即在等腰三角形中,顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高

线三条特殊线段重合为一条线段,根据给定的底角和底边或高进行作图.解题的关键是利用已知条件,通

过得到顶角,或利用两直线平行,同位角相等,来转化相等的角.

(1)1先80作°−射2线�,再以点B为圆心,线段a的长为半径画弧,交射线于点C,分别作,

交于点�,�则即为所求;��∠𝐴�=∠�𝐴=∠�

(�2�)先��作出�的补角△,𝐴即�为等腰三角形的顶角,再作顶角的角平分线,根据等腰三角形“三线合一”

的性质,在角2�平分线上截取,过点作,∠分�别��交、于�点�、点,即得所求.

【详解】(1)解:作法:先作��射=线�,再以�点�B�为⊥圆��心,线段a�的�长�为�半径画�弧,交�射线于点C,分别

����

作,交于点,则即为所求;

∠𝐴�=∠�𝐴=∠������△𝐴�

(2)解:①原图中,在角的一边上作一个与相等的角,

②原图中,延长已知角的�另一条边,得到,�即,

③作,���=180−2�

④作∠𝐸�的=角�平分线,

⑤在∠𝐸上�取点,使��,

⑥过点��作�,�分�别=交�、于点、点,

���⊥��������

【变式6-1】如图,在中,,点在边上.请用尺规作图法,在内求作一点,使

.(保留作图痕迹△,𝐴不�写作∠法�)=40°��△𝐴��∠𝐴�=

70°

【答案】见解析

【分析】本题考查了作一个角等于已知角,等腰三角形的性质,三角形内角和定理的应用,根据作图可得

,进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义,即可求解.

【∠详��解�】=解∠:�=如4图0,°,��=��

根据作图可得

∴∠���=∠�=40°,��=��

1

【变∠式𝐴6�-2=】∠如�图𝐴,=为21直8线0°−外∠一�点��,点=7,0°在直线上,已知为锐角.请用尺规作图法,在直线上求

作一点,使得��,(保留�作�图痕迹,�不写作法∠)𝐴��

�∠𝐸�=2∠𝐴�

【答案】见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,三角形的外角性质.作线段的垂直平分

线交直线于点,再连接,得到,进而得到,推出𝐴,

最后以为�圆心�、的长�为�半径画�弧�,=交��直线于点∠,�得𝐶到=∠𝐴�∠𝐶�=∠�,��点+即∠�为𝐶所=求2.∠𝐴�

【详解】�解:如图,𝐶点即为所求.��∠𝐸�=∠𝐶�=2∠𝐴��

【变式6-3】线段和C、D两点的位置如图所示,请用尺规作图法在线段上作一点B,连接、、,

使得是以��为底边的等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)������𝐸

△�𝐸𝐸

【答案】见解析

【分析】作线段的垂直平分线交于点,连接、即可.

本题考查作图-复𝐸杂作图,等腰三角�形�的定�义,垂直�平�分�线�的性质,解题的关键是理解题意,掌握尺规作垂

线的方法是解决问题.

【详解】解:连接,作的垂直平分线交于点,连接、,则就是所求的以为底边的等

腰三角形,如图:𝐸𝐸�������△�𝐸𝐸

【题型7等腰三角形的判定与性质】

【例7】如图,已知点,分别是的边和延长线上的点,作的平分线,若.

��△�������∠𝐴�����∥��

(1)求证:是等腰三角形;

(2)作△的�平��分线交于点,若,求的度数.

【答案∠】��(1�)见解析���∠�=50°∠�𝐶

(2)

【分6析5°】本题主要考查角平分线的定义,平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识:

(1)根据角平分线的定义得,由平行线的性质得,,可得,

可得出是等腰三角形∠;𝐴�=∠���∠𝐴�=∠�∠���=∠���∠�=∠���

(2)由(△1�)��知,得出,由角平分线定义得出,最后根据平行线

的性质可得结论∠.���=∠�=50°∠���=130°∠𝐶�=65°

【详解】(1)证明:∵平分

∴.��∠𝐴�

∵∠𝐴�=∠���

∴��∥��,.

∠𝐴�=∠�∠���=∠���

∴.

∴∠�=∠���是等腰三角形.

(2�)�解=:�∵�,△���,,

∴∠�=∠��.�∠�=50°

∴∠���=∠�=50°.

∵∠��平�分=180°,−∠���=130°

∴��∠���.

11

∵∠𝐶�=,2∠���=2×130°=65°

∴��∥��.

【变∠式��7�-1=】∠如�图��,=在65°中,,点D为的中点,连接,的垂直平分线EF交于点E,

交于点O,交于△点�F�,�连接𝐴=,��.��𝐸𝐴𝐴

𝐸������

(1)求证:为等腰三角形;

(2)若△𝑀�,求的度数.

【答案∠】��(1�)见=解20析°∠𝑀�

(2)

【分∠析𝑀】�本=题3主0°要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点,灵

活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键.

(1)根据中垂线的性质可得,再根据等腰三角形的性质可得,进而说明是的中垂线

可得,进而得到��=�即�可证明结论;𝐸⊥��𝐸��

(2)先��根=据�等�腰三角形的�性�质=及�角�的和差可得,再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得

;再根据等腰三角形的性质可得∠���=40°,最后根据三角形外角的性质即可解答.

【∠详𝐴解�】=(501°)证明:∵是的中垂线,∠���=∠���=20°

∴,��𝐴

∵��=��,D为中点,

∴𝐴=��(三线合��一),

∴𝐸是⊥��的中垂线,

∴𝐸��,

∴��=��,

��=��

∴是等腰三角形.

(2△)解��:�∵,D为中点,

∴𝐴=��(三�线�合一),

∴∠���=∠��,�=20°

∵∠�是��=的40中°垂线,

∴��𝐴,

∴��⊥𝐴,

∵∠𝐴�=5,0°

∴��=��,

∵∠���=∠���=20°,

∴∠𝐴�=∠���+∠,𝑀�

∴50°=20°+.∠𝑀�

【变∠式𝑀7�-2=】3已0°知如图中,,平分,平分,过作直线平行于,

交,于,.△𝐴���=6cm𝐴=8cm��∠𝐴�𝐸∠�𝐴���

𝐴����

(1)求证:是等腰三角形;

(2)求△的��周�长.

【答案△】�(1�)�见解析

(2)

【分1析4c】m本题考查了等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的定义等.

(1)首先根据平行线的性质可得,再根据角平分线的定义可得,可得

,据此即可证得;∠���=∠�𝐴∠�𝐸=∠�𝐸∠�𝐸=

(∠2�)��同理(1)可得,根据的周长,求解即可.

【详解】(1)证明:�∵�=��,△𝐶�=𝐶+𝐴+��+��=𝐴+��

,��∥��

∴∠��平�分=∠�𝐴,

∵𝐸∠�𝐴,

∴∠�𝐸=∠�𝐴,

∴∠���=,∠�𝐸

∴��=�是�等腰三角形;

(2△)解��:�∵,

��∥��

∴∠��平�分=∠��,�

∵��∠𝐴�,

∴∠���=∠���,

∴∠���=,∠���

∴∵��=��,,

∴��=6的cm周长�为�:=8cm

△𝐶�𝐶+��+𝐴

=𝐶+��+��+𝐴

=𝐶+��+��+𝐴

=𝐴+��

=8+6.

【=变1式4cm7-3】如图,在中,,点为的中点,边的垂直平分线交,,于点,,

,连接、.△𝐴���=���𝐴����𝐴𝐴��

�����

(1)求证:为等腰三角形;

(2)若△���,求的度数.

【答案∠】��(1�)见=解25析°∠���

(2)15°

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质.

(1)根据线段垂直平分线的性质,先求得,根据等腰三角形三线合一的性质,可求得.

(2)根据等腰三角形三线合一的性质,可求��得=��,根据三角形内角�和�定=理��可求

1

得的度数,结合即∠�可𝐴求=得∠答�案𝐴.=2∠�𝐴=25°

【详∠解��】�(1)证明:∠��为�线=段∠��的�−垂∠直�平��分线,

.∵����

∴��=��,点为的中点,

∵��为=线��段的�垂�直�平分线.

∴𝐴.𝐴

∴��=��.

∴��=�为�等腰三角形.

△���

(2)解:,点为的中点,

为∵��的=平�分�线.�𝐴

∴𝐴∠�𝐴.

1

∴∠�𝐴=∠��.�=2∠�𝐴=25°

∴∠�𝐴=50°.

∴∵∠���=为1等80腰°−三∠角�形��,−∠�𝐴=180°−90°−50°=40°

△���.

∴∠𝐴�=∠�𝐴=25°.

【∴题∠型��8�=等∠腰��三�角−形∠�与�全�等=三40角°−形2的5°综=合1】5°

【例8】如图,和是等腰直角三角形,,,垂足为F.

△�𝐸△�𝐶∠�𝐸=∠�𝐶=90°𝐴⊥𝐴

(1)求证:;

(2)判断∠和𝐴�的=位∠置𝐸关�系,并说明理由;

(3)求证:𝐴𝐶.

【答案】(1�)见�解=析2��+��

(2),见解析

(3)�见�解∥析𝐶

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线

段的和差等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质,添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的

关键.

(1)先根据等角的余角相等证得,再根据全等三角形的判定证明即可得出,根

据邻补角的定义,即可得证;∠���=∠�𝐶∠𝐴�=∠𝐸�

(2)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得,再根据直角三角形的两锐角互

余求得即可得出,进而证明∠��,�=即∠可�得=出4结5°论;

(3)延长∠�𝐴到=4,5使°得∠��,�根=据13全5等°三角形的判�定�∥与�性�质证明,

�得�到��即�可=证��得结论.△𝐴�≌△𝐴�SAS△𝐷�≌△

【�详��解A】A(S1)证�明�=:∵𝐸,

∴∠,�𝐸=∠�𝐶=90°,

∴∠���+∠�𝐸,=90°∠�𝐸+∠�𝐶=90°

∠���=∠�𝐶

在和中,

△���△�𝐶

∵,

𝐴=𝐸

∠���=∠�𝐶

∴;

��=𝐶

∴△���≌△�𝐶,SAS

∴∠𝐴�=∠𝐸�;

(2∠)�解��:=∠𝐸�,理由如下,

∵𝐴∥�,�,

∴∠�𝐶=9,0°��=𝐶

由(∠�1)=知45°,

∴△���≌△,�𝐶

∵∠���=,∠�=45°

∴𝐴⊥��,

∴∠𝐴�=90°,

∴∠�𝐴=45°;

又∠∵�𝐶=∠�,��+∠�𝐶=45°+90°=135°

∴∠�=45°,

∴∠�𝐶+,∠�=180°

(3�)�证∥明𝐶:延长到,使得,

�����=��

∵,

∴𝐴⊥��,

在∠𝐴�=和∠𝐴�=中9,0°

△𝐴�△𝐴�

∴,

��=��

∠𝐴�=∠𝐴�

∴,

𝐴=𝐴

∴△𝐴�≌,△𝐴�SAS,

∵𝐴=𝐷∠𝐴�,=∠�

∴△���≌△,�𝐶,,

∴𝐴=𝐸,∠𝐴�=∠���,𝐴=��

𝐷=𝐸∠𝐴�=∠𝐸�

∴,

∵∠𝐷�=∠𝐸�,

∴∠在���=∠和���=4中5°,

△𝐷�△𝐸�

∠���=∠���

∠𝐷�=∠𝐸�

∴,

𝐷=𝐸

∴△𝐷�≌,△𝐸�AAS

∵𝐷=𝐸,

∴𝐷=𝐴+��+.��=𝐴+2��=��+2��

【变�式�=8-21】��如+图��1,和均为等腰直角三角形,,点A、D、E在同一直线

上,连接.△𝐴�△�𝐶∠�𝐴=∠�𝐶=90°

��

(1)①求证:;

②求的�度�数=;��

(2)如∠图𝐶2�,若为中边上的高,,,请直接写

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