2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题03 平面直角坐标系 (5个知识点+6个核心考点+复习提升) (教师版)

专题03平面直角坐标系

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【知识点1平面直角坐标系有关概念】

1.平面直角坐标系的概念：

平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。

①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。

②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。

③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。

2.象限：

如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到

第二象限、第三象限以及第四象限。特别地，坐标轴不属于任何一个象限。

【典例1】在平面直角坐标系中，点P1m,92m（m为实数）不可能在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【详解】解：当1m0时，则m1，

∴92m可能是正数，也可能是负数，

∴点P1m,92m可能在第二或第三象限；

当1m0时，则m1，

∴92m不可能是负数，

∴点P1m,92m不可能在第四象限；

∴在平面直角坐标系中，点P1m,92m不可能在的象限是第四象限．

故选：D．

【知识点2平面直角坐标系内点的坐标及其特征】

1.点的坐标：

横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标；

纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标；

2.象限内的点的坐标特点：

第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为（+，+）。

第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。

第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。

第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。

3.坐标轴上的点的坐标特点：

①x轴上的所有点的纵坐标等于0，可表示为（x，0）。

②y轴上的所有点的横坐标等于0，可表示为（0，y）。

4.象限角平分线上的点的坐标特点：

①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等。

②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点：

平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标纵坐标相等。

6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点：

平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标横坐标相等。

7.点到坐标轴的距离：

点到横坐标轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值。

点到纵坐标轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。

【典例2】已知直线MNx轴，M点的坐标为1,2，并且线段MN5，则点N的坐标为（）

A．4,2B．6,2

C．4,2或6,2D．1,7或1,3

【详解】解：∵直线MNx轴，M点的坐标为1,2，

∴点N的纵坐标为2，

∵线段MN5，

∴154，或156，

∴点N的坐标为4,2或6,2，

故选：C．

【典例3】已知点a1,2b4在y轴上，点B3a6,b4在x轴上，则点Ca,b的坐标为．

【详解】解：∵点a1,2b4在y轴上，点B3a6,b4在x轴上，

∴a10，b40，

解得a1，b4，

∴C1,4，

故答案为：C1,4．

【典例4】在平面直角坐标系中，将点P向左平移了5个单位后得到点P，点P到x轴的距离为6，到y轴

的距离为8，请你写出符合条件的所有点P的坐标．

【详解】解：∵点P到x轴的距离为6，到y轴的距离为8，

∴点P的坐标为8,6或8,6或8,6或8,6，

∵将点P向左平移了5个单位后得到点P，

∴点P的坐标为13,6或13,6或3,6或3,6，

故答案为：13,6或13,6或3,6或3,6．

【知识点3利用坐标表示位置】

1.建立平面直角坐标系表示地理位置：

第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。

第二步：根据具体问题确定单位长度。

第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。

2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：

以一点为参照点，用某个方向加上与该参照点的距离来确定一点的位置。

【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为1,1，棋子“帅”所在

的位的坐标为0,1，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（）

A．3,2B．3,2C．3,2D．2,3

【详解】解：∵棋子“士”所在位置的坐标为1,1，棋子“帅”所在的位的坐标为0,1，

确定直角坐标系如图，

∴棋子“炮”所在位置的坐标是3,2．

故选：A．

【知识点4点在坐标系中的平移】

左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减。向右平移时加，

向左平移时减。

巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。

上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减。向上平移时加，

向下平移时减。

巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。

【典例6】平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段AB，若点A(1,2)的对应点A的坐标为(1,1)，则

点B(m,n)的对应点B的坐标为（）

A．(m2,n3)B．(m2,n3)C．(m2,n3)D．(m2,n3)

【详解】解：∵点A(1,2)的对应点A的坐标为(1,1)，

∴点B的对应点B的坐标是(m2,n3)．

故选：A．

【知识点5图形在坐标系中的平移】

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把

原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形

就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

【易错点剖析】

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标

发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，

横不变”．

【典例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，VABC的顶点均在格点上．

(1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为0,3和4,2，并写出点C的坐标为_______．

(2)在（1）的条件下，VABC中任意一点Px0,y0经平移后对应点P1x02,y04，将VABC作同样的平移

得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标______．

【详解】（1）解：因为点A的坐标为0,3，

所以点A在y轴的正半轴上，且距离原点O为3，

可确定原点O的位置，可画出平面直角坐标系，如图所示：

则C5,5；

（2）解：Px0,y0经平移后对应点为P1x02,y04，则顶点A，B，C均向x轴正方向移动2，向y轴负

方向移动4，可得到顶点A，B，C平移后的对应点A1,B1,C1，顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，即为A1B1C1，

如图所示：

则C1的坐标为3,1．

考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征

例1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为2m1,m5．

(1)若点A在第一象限内，且到x轴、y轴的距离之和为7，求点A的坐标；

(2)若将点A向右平移2个单位长度后，恰好落在y轴上，求点A的坐标．

【答案】(1)3,4

13

(2)2,

2

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移，正确理解平面直角坐标系中点的坐标特

征及坐标的平移是解题的关键．

（1）根据题意得到2m1m57，然后求解即可；

3

（2）根据题意得到2m120，求出m，然后代入2m1,m5求解即可．

2

【详解】（1）解：点A在第一象限内，且到x轴、y轴的距离之和为7，

2m1m57，

解得m1，

2m12113，m5154，

点A的坐标为3,4．

（2）解：将点A向右平移2个单位长度后，恰好落在y轴上，

2m120，

3

解得m，

2

3

2m121312，

2

313

m55，

22

13

点A的坐标为2,．

2

【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为3a2,a6．

(1)若点P在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点P的坐标；

(2)若点M的坐标为2,3，且PM∥x轴，试求点P的坐标．

【分析】本题主要考查了点的坐标与象限的关系，点的坐标的几何意义，解题的关键是准确掌握点的坐标的

几何意义．

（1）利用点的坐标和象限的关系以及点的几何意义可得，-(3a-2)=a+6，解方程即可求出点的坐标；

（2）根据PM∥x轴，两个点的纵坐标相等，列出a63求解即可．

【详解】（1）解：根据题意得，点P到两个坐标轴的距离相等，且点P在第二象限，

∴-(3a-2)=a+6，

解得a1，

∴3a-2=-5,a+6=5

∴点P的坐标为5,5；

（2）解：∵PM∥x轴，

∴a63，

解得a3，

∴3a-2=-11,a+6=3，

点P的坐标为11,3；

【变式1-2】已知点P2a2,a5，解答下列各题：

(1)若点P在x轴上，求出点P的坐标；

(2)若点Q的坐标为4,5，直线PQ∥x轴，求出点P的坐标；

(3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值．

【分析】（1）根据题意得：点P在x轴上，得到a50，解出a的值，由此得到答案．

（2）根据直线PQ∥x轴，得到a55，解出a的值，由此得到答案．

（3）根据点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，得到2a20，a50，故22aa5，解

出a的值，由此得到答案．

本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．

【详解】（1）解：根据题意得：

∵点P在x轴上，

a50，

解得：a5，

则2a210212，

点P的坐标为：(12,0)；

（2）解：直线PQ∥x轴，

直线PQ上所有点的纵坐标都相等，

a55，

解得：a0，

则2a2022，

即点P的坐标为(2,5)；

（3）解：点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，

2a20，a50，

|2a2||a5|，

即22aa5，

解得：a1

【变式1-3】已知点P2x,3x1是平面直角坐标系中的点．

(1)若x938，求点P的坐标；

(2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值；

(3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值．

【分析】本题考查了点的坐标的特点，实数的混合运算，求不等式组的解集，利用到两坐标轴的距离相等列

出方程是解题关键．

（1）把x938化简后代入P2x,3x1求解即可；

（2）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等列方程求解即可；

（3）分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．．

【详解】（1）∵x938321，

∴P21,311，即P2,2．

（2）解：根据题意得：2x3x1，

解得：x1；

（3）解：当点P在第一象限时，

由题意，得2x3x114，

解得：x3，

3x18，符合题意；

当点P在第二象限时，

由题意，得2x3x114，

解得x15，不合题意；

当点P在第三象限时，

由题意，得2x3x114，

13

解得x，

5

44

3x1，符合题意；

5

当点P在第四象限时，

由题意，得2x3x114，

解得：x13，不合题意；

当点P在x轴上，则3x10，

11

解得：x=，此时2x14，不合题意；

33

当点P在y轴上，则2x0，

解得：x0，此时3x1114，不合题意；

13

综上可知，x的值为8或．

5

考点二：坐标系中的平移变换

例2.已知三角形ABC的边AB上任意一点Px0,y0经过一次平移后的对应点为P1x04,y03．

、、

(1)将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1，并直接写出A1B1C1的坐标；

(2)三角形A1B1C1的面积为___________；

(3)连接AC1，D为AC1上的动点，直接写出CD长的最小值．

【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是解

题关键．

、、

（1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点A1B1C1的位置并顺次连接即可得到三角形A1B1C1，然

、、

后确定A1B1C1的坐标即可；

（2）根据割补法求出三角形A1B1C1的面积即可；

（3）由点A，C1的坐标可知AC1∥x轴，故当CDAC1，即点C、D的横坐标相同时，CD的长取最小值，

即可获得答案．

【详解】（1）解：根据题意可知，三角形ABC的边AB上任意一点Px0,y0经过一次平移后的对应点为

P1x04,y03，

则该三角形的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，

故平移后三角形A1B1C1的位置如下图所示，

、、

此时A12,6B10,2C16,3；

111

（2）三角形ABC的面积S6461244311．

111222

故答案为：11；

（3）连接AC1，

∵A2,3，C16,3，

∴AC1∥x轴，

当CDAC1，即点C、D的横坐标相同时，CD的长取最小值，如下图，

，

此时CD303．

【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形ABC，其中A(2,3),B(4,1)．

(1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点C的坐标；

(2)点Px0,y0是三角形ABC上任意一点，将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1,Px0,y0平移后的对应

点为P1x05,y03．画出平移后的三角形A1B1C1，并写出点A1,B1,C1的坐标．

【分析】本题考查平移作图，点的坐标，正确建立平面直角坐标系和根据平移的性质进行平移作图是解题的

关键．

（1）根据A(2,3),B(4,1)，建立平面直角坐标系，再根据点C的位置写出点C坐标即可；

（2）根据Px0,y0平移后的对应点为P1x05,y03得到平移方式为：向右平移5个单位长度，向上平移3

个单位长度，所此作出平移后三角形，再根据点A1,B1,C1的位置写出坐标即可．

【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，C2,0．

（2）解：∵点Px0,y0平移后的对应点为P1x05,y03．

∴VABC向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，

如图所示，△A1B1C1即为所求；A13,6，B11,2，C17,3．

【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A1,4，B4,1，C1,0，若将三

角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是3,a，点C的对应点C1的坐标是b,2．

(1)直接写出a，b的值及点B1的坐标；

(2)画出平移后的三角形A1B1C1；

(3)若点P在x轴上，且三角形ACP的面积等于三角形A1B1C1面积，请直接写出点P的坐标．

【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得到平移方式是解题的关

键．

（1）由点A，A1可得左右平移方式，由点C，C1可得上下平移方式，据此求解即可；

、、、、

（2）根据（1）所求先描出A1B1C1，再顺次连接A1B1C1即可；

（3）计算出三角形A1B1C1的面积，进而得到三角形ACP的面积，据此可得答案．

【详解】（1）解：由题意得：由三角形ABC得到三角形A1B1C1的平移方式为向右平移：314个单位

长度；向下平移：022个单位长度

，，

∴a422b145B144,12，即B10,3；

（2）解：如图所示，三角形A1B1C1即为所求；

111

（3）解：S5535152411，

A1B1C1222

1

S4x12x1，

ACP2PP

∵三角形ACP的面积等于三角形A1B1C1面积，

∴2xP111

139

解得：x或x

P2P2

1113

故点P的坐标为：,0或,0．

22

【变式2-3】如图，三角形ABC中任意一点Pm,n经平移后的对应点为Qm4,n2，将三角形ABC作同

样的平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．

(1)画出三角形DEF，并直接写出点D、E、F的坐标；

(2)请说明三角形DEF是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；

(3)若点Mab,b是三角形ABC内部一点，则平移后对应点N的坐标为2b,2ba，求点M的坐标．

【分析】本题考查平移作图、坐标的平移变化，平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，

下移减，熟练掌握平移的规律是解题的关键．

（1）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，进而画图、求解坐标．

（2）根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可．

（3）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，列方程组求解即可得解．

【详解】（1）解：如图所示：DEF即为所求；D1,4，E5,2，F1,0；

（2）解：根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，三角形DEF是由三角形ABC向右平移4个

单位再向上平移2个单位得到的．

（3）解：由题意得，平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，

ab42b

得，

b22ba

a1

解得，

b1

ab2，

M2,1．

考点三：坐标系中的新定义问题

例3.在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称

点是点的“级关联点”．例如，点��的,�“4级关联�点”点的坐�标�为+�,�+���，即

��．��−1,3�−1×4+3,−1+4×3

�−1,11

(1)若点的“2级关联点”点在轴上，求点的坐标；

(2)在（1�）2的,�条件下，若存在点�，使�得轴�，且，求点的坐标．（提示：先由（1）求出点

的坐标）���∥���=5��

【分析】本题考查了新定义，点的坐标，在轴上的点的纵坐标为，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

（1）先由“2级关联点”的定义得�，再结合点在轴0上，故，得，即可作

答．�4+�,2+2���2+2�=0�=−1

（2）由（1）得点,因为轴，且，故点的横坐标为2，纵坐标为或，即可作答．

【详解】（1）解：�2,点−1的�“�2级∥�关联点”�是�点=5，�4−6

点∵，�2,��

∴又�点4在+�轴,2上+，2�

∵��，

∴解2得+2�=0，

�=−1，

∴点4+的�坐=标3为；

（∴2）�解：由（1）3,0得点．

轴，且�，2,−1

∵点��的∥�横坐标为��2，=纵5坐标为：或，

∴点�的坐标为或．5−1=4−1−5=−6

【∴变式�3-1】在平2面,4直角2坐,−标6系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点

到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．�����

(1)�点�的“长距”为_____；�

(2)若点�−3,5是“完美点”，求的值；

(3)若点�4−2�,−2的长距为4，且点�在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．

【分析】�本−题2,主3�要−考2查了平面直角坐标�系的知识，属于阅读�理解类型题9目−，2�关,−键5是要读懂题目�里定义的“长

距”与“完美点”．

（1）根据“长距”的定义解答即可；

（2）根据“完美点”的定义解答即可；

（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．

【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，

�−3,5

∴点A的“长距”为5．

故答案为：5；

（2）解：点是“完美点”，

�4−，2�,−2

∴4−2�=或−2，

∴解4得−：2�=2或4−2；�=−2

（3）解：�=点1�=3的长距为4，且点在第二象限内，

�，−解2,3得�−2，�

∴3�−2=4，�=2

∴点9−的2�坐=标5为，

∴点�到轴、轴5的,−距5离都是5，

�是“�完美点�”．

【∴变�式3-2】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点，，

在一条直线上，则；若点�，，不在一条直线上�，则��．,�如图，已知点�的�坐标�

为，点的坐标�为,�=，0点�为�平面�直角坐标系内一动点，�请,�回=答�下△列��问�题：�

3,0�0,4��,�

(1)_____．

(2)若�,�=，，求点的坐标．

(3)点�在,�第=二象3限�，,�若=0�，且点的纵坐标为，求点的坐标．

��,�=2�,��2�

(4)当时，直接写出点的横坐标．

1

【分析】�,本�题=考2查�,了�平面直角坐标系中�点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的关

键．

（）由点的坐标为，点的坐标为，则，，然后通过

1

1�3,0�0,4��=3��=4�,�=�△���=2��×��

即可求解；

（）由，点的坐标为，所以点、、在一条直线上，即点在轴上，设，然后通

过2�,�=0�即可求0,4解；������0,�

1

△���

（）�,设�=�，由=2�×3，得，然后代入求解即可；

△���△���

（3）设点��的,2横坐标�为,�，=由2�,��，=则2�，然后代入求解即可．

11

4���,�=2�,��△���=2�△���

【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，

∴，，�3,0�0,4

∴��=3��=4，

11

△���

故答�,案�为=：�；=2��×��=2×3×4=6

（2）解：∵6，点的坐标为，

∴点、、�在,�一=条0直线上�，即点在0,4轴上，

设��，���

∵�0,�，

∴�,�=3，

1

△���

∴�=，2�×3=3

∴�点=±的2坐标为或；

（3）解�：∵点的0,纵2坐标0为,−2，

∴设，�2

∵��,2，

∴�,�=2�,�，

△���△���

∴�=2�，

11

∴2×4×，�=2×2×3×2

∵点�在=第3二象限，

∴�，

∴�点=的−坐3标为；

（4）解�：设点的−横3,2坐标为，

∵�，�

1

�,�=2�,�

∴，

1

�△���=2�△���

∴，

11

2×4×�=2×6

∴，

3

�=±2

∴点的横坐标．

3

�±2

【变式3-3】若点的坐标满足，我们称点为“横和点”．

(1)已知点�为�“横,�和点”，求的�值−；2�=−2��,�

(2)在平面直�角�,3坐标系中，将三角�形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点

，点，点，点�为��“横和点”，点的�横�坐�标为�,�．,��,�,�

�①若�,点�为“横�和0,点�”，且�三�角,�形�的面积为8，求点�的坐标；�

�����

②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由．

11

��−�−3,2�+4����

【答案】(1)q的值为4

(2)①或；②点是“横和点”，理由见解析

【分析�】4本,−题1主要�考−查4,坐3标系中点�的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横

和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换．

（1）直接代入“横和点”的定义方程求解．

（2）①利用平移向量确定点的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解．

②通过平移确定点的坐标，�验证是否满足“横和点”的条件．

【详解】（1）∵点�是“横和点”，

，��,3

∴�−2．×3=−2

∴�q=的4值为4．

（2）①∵点和点是“横和点”，

��,��0,，�

∴�−2�，=−2,0−，2�=−2

�+2

∴�=2�=1

，

�+2

∴��,，2,�0,1

∴点��和,1点的纵坐标相同，

∵��

轴

∴��∥�，

1�+21

△���

∴点�的横=坐2标�为⋅1−2=4��=8

∵点�，点�分别对应点和点，

∵��,�，�0,���,���,0

∴�=2�，解得：，

12

△���

当∴�=时4，2�=8�=±4

当�=4时，�4,3,�8,1

�=−4或�−4,．−1,�−8,1

∴②�点4,是−“1横和�点−”，4,3

理由：�点，点分别对应点和点，

∵��,，��0,���,���,0

∴�−�=�−0，

�+2

∴�=2�=2

，

�+2

∴�=4

点的对应点，

11

∵��−�−3,2�+4��

，

11�+2

∴��−�−3+�,2�+4�−4

，

11

∴��−3,2�−2

，

11

∵�−3−22�−2=−2

点是“横和点”．

∴考点�四：坐标系中点的坐标规律探索

例4.如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，

第3次运动到点，…�，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（）2,24,0

6,4

A．B．C．D．

2025,24050,02024,44050,2

【答案】D

【分析】本题考查的是点的坐标规律，正确找出题目中点的坐标之间的变化规律是解题的关键．根据题意可

得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，，因此第

2025次运动�到点2�．2025÷4=506⋯1

【详解】解：根据(题2×意2可02知5，,2)动点的运动规律是：

第1次从原点运动到点，�

第2次运动到点，(2,2)

第3次运动到点(4,0)，

第4次运动到点(6,4)，

，(8,0)

⋯由此可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，

�，2�

∵第2022052÷5次4运=动50到6⋯点1，即，

∴故选：D．(2×2025,2)(4050,2)

【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，

得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个

单位，再�1向(1左,1)平移3个�1单位，得到点；把点向下平移4个单位�，2(再−向1,右3)平移4�个2单位，得到点

33

，…；按此做法进行下去，�则(点−4,0)的坐标�为（）

�4(0,−4)�2025

A．B．C．D．

【答案】D−2024,12024,1−2025,12025,1

【分析】本题考查坐标与图形变换平移，掌握平移的性质是解题的关键．本题考查了点的坐标变化规律，

仔细观察图形，根据题目所给点的−坐标，总结出一般变化规律为每四个点为一个循环，每组第一个点坐标

为，第二个点坐标为，第三个点坐标为，第四个点坐标为，即可解答．

(�,1)(−1,�+1)(−�−1,0)(0,−�)

【详解】解：根据题意可得：，，，，

，，�1(1,1，)�2(−1,3，)�3，(−4,0)�4(0,−4)

∴每�四5(个5,点1)为一�6个(−循1环,7，)每�组7(第−一8,0个)点�坐8(标0,为−8)…，…第二个点坐标为，第三个点坐标

为，第四个点坐标为，(�,1)(−1,�+1)

(−�−1,0)，(0,−�)

2025÷为4第=5076.组..1第1个数，则，

∴故�选20：25D．�20252025,1

【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次

从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点�跳1动,0至点�1，−…1,…1依此规律

跳动下�1去，则点�22,与1点之间的�距2离是�3−2．,2�3�43,2

�2025�2026

【答案】2027

【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化规律，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐

标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上

1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离．

【详解】解：观察发现，第2次跳�2动025至点的�2坐02标6是，�2025�2026

第4次跳动至点的坐标是，2,1

第6次跳动至点的坐标是3,2，

第8次跳动至点的坐标是4,3，

……5,4

第次跳动至点的坐标是，

则第2�2026次跳动至点的坐标�是+1,�，

第2025次跳动至点的坐标是1014,1013．

∵点与点的�2纵025坐标相等，−1013,1013

�2025�2026

∴点与点之间的距离．

故答案�2为025：202�72．026=1014−−1013=2027

【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，

，，，…，根据这个规律，第121个点的坐标为．1,02,02,1

1,11,22,2

【答案】

【分析】本1题1,0考查点的坐标规律问题，根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，

连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上�有+1

2

个点，连同前边所以正方形�共+有1点，且终点为1,�．由规律可知，第10个正方形的终点为�+1，

2

前10个正方形一共有�+1个点，据此可得�答+案1,0．11,0

2

【详解】解：由图可知：10第+一1个正=方12形1每条边上有2个点，共有个点，且终点为；

2

第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有4个=点2，且终点为；1,1

2

第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有9=3个点，且终点为3,0；

2

第四个正方形每条边上有5个点，连同前三个正方形共有16=4个点，且终点为1,3；

2

故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连25同=前5边所有正方形共有5,0个点，且终点为

2

；�+1�+1

当1,n�为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为

2

．�+1�+1�+

1由,0规律可知，第10个正方形的终点为，前10个正方形一共有个点，则第121个点

2

是第10个正方形的终点为．11,010+1=121

故答案为：．11,0

考点五：坐标11与,0图形综合（已知面积求点的坐标）

例5.如图，在平面直角坐标系中，已知三点，且a、b满足关系式

，．�0,�,��,0,�3,��−2+�−

2

3=0��=2��

(1)求a，b的值．

(2)求四边形的面积．

����

(3)是否存在点使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不

1

存在，请说明理�由�．,−3�△�������

【分析】本题考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、梯形的面积、三角形的面积等知识点，掌握直角坐

标系中三角形面积的求法是解题的关键．

（1）根据“几个非负数相加和为零，则每一个非负数的值均为零”，求出a，b的值；

（2）由点，，点，可得四边形为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；

�0,2�3,0�3,�����

（3）根据点，列出四边形，即可求解．

11

��,−3��△���=2×��×�=2�����

【详解】（1）解：，，，

22

，∵�−，2≥0�−3≥0�−2+�−3=0

∴�−2，=0�；−3=0

（∴2�）=由2（1�）=得3，，，

，�0,2�3,0

∴��=2，

∵��=2�，�

∴点��=4、点，

∵�3,0轴，�3,轴�，

∴��⊥�，��∥�

∴四�边3,形4为直角梯形，且，，，

∴四边形����的面积��=2��=4��=3；

11

∴����=2��+��×��=2×2+4×3=9

（3）存在，理由如下：

的面积，四边形，

11

△�������

∵△���，=2×��×�=2×2×�=��=2�

∴�=2×9

，

∴点�P=的±坐18标为或．

【∴变式5-1】在平面18直,−角6坐标−系1中8,6，，，．

�0,���,0�=3−�+�−3−4

(1)求点，点坐标；

(2)如图�1，�将线段平移，使点平移到，点平移到，在线段上，

过作轴于点��，延长至�使�，�若三角形�1,−的5面积�等于1�0，�求点坐标；

(3)�如图��2，⊥将�线段�平移使点��平�移到��=��，点平移到���，，点�在直线上，且

△���

，直接�写�出点坐标�．�4,1��0,−2�−2,4����=

5

2�△���+6�

【答案】(1)，

�0,3�−4,0

(2)

135

�2,2

(3)，或

241020

【分�析−】3本题3考查了3,算−术3平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键；

（1）根据算术平方根的非负性得出，进而得出，即可求解；

3−�≥0,�−3≥0�=3,�=−4

（2）根据平移可得，设，根据得出，过点，分别作的平

5

�5,−2��,��△���=�△���+�△����=−2���,�

行线，交于点，则，连接，根据得出，即可求解；

13

��5,−5���△���=�△���+�△����=3

（3）设，当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线，根据梯形，

��,����,���△���=�����−�△���−�△���

得出，根据得出，进而求得,当在轴的左

1020

△���△���△���△���

侧时，�=同−理2可�−得10的坐标．�=�+�+��=−2��3,−3��

【详解】（1）解：�∵

�=3−�+�−3−4

∴

∴3−�≥