2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题04 二元一次方程组 (6个知识点+7个核心考点+复习提升) (学生版)

专题04二元一次方程组

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【知识点1二元一次方程的概念】

概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

【易错点剖析】

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

【典例1】下列方程中，属于二元一次方程的是（填序号）．

3

①xy0；②5x63y2；③3x2y3z；④3xy41x．

4

【典例2】已知(m4)x3ym360是关于x，y的二元一次方程，则m．

【知识点2二元一次方程的解】

定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

【易错点剖析】

二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程

x＝a

的解通常表示为的形式.

y＝b

x2a

【典例3】已知是二元一次方程2x5y70的一个解，则代数式98a10b的值为．

yb

【知识点3二元一次方程组的概念】

概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.此外，组成方程组

3x4y5

的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.

x2

【易错点剖析】

axbyc

（）它的一般形式为111（其中，，，不同时为零）．

1a1a2b1b2

a2xb2yc2

（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．

（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．

x24x15xy16xy35

【典例4】观察所给的4个方程组：①；②；③2；④，其中，符

y33y4x3xy42x4y94

合二元一次方程组定义的是（写出所有正确的序号）．

【知识点4二元一次方程组的解】

概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

【易错点剖析】

（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，

若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

（2）方程组的解要用大括号联立；

2xy5

（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组

2xy6

xy1

的解有无数个.

2x2y2

x12axy711

【典例5】已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则ab的值为．

y3xb1y523

【知识点5三元一次方程组的概念与解】

定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未

知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：

（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；

（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.

x5xyz0

【典例6】若y10是三元一次方程组2xyzk的解，则k的值是．

z15x2yz40

【知识点6解二元（三元）一次方程组】

1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变

成yaxb（或xayb）的形式；

②将yaxb（或xayb）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个

关于x（或y）的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；

④把x（或y）的值代入yaxb（或xayb）中，求y（或x）的值；

⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：

①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个

未知数的系数绝对值相等的形式；

②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方

程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.

3.解三元一次方程组的一般过程：

①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，

得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．

【典例7】用指定的方法解下列方程组

x1y3x2y6

(1)（代入法）(2)（加减法）

2x4y52x3y17

考点一：由二元一次方程组的解的情况求参

2xy5k6

例1.若关于x，y的方程组的解满足xy2024，则k的值为（）

4x7yk

A．2022B．2023C．2024D．2025

3x2y5

【变式1-1】m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（）

4x3m2y13

A．1B．5C．5D．14

x2y5k1

【变式1-2】关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x2y5，则k．

2xy7k3

【变式1-3】关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有．（写出所有

正确的序号）

①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；

②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；

③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；

④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．

考点二：二元一次方程组中的错解与同解问题

ax3y2①x1

例2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错

2xby7②y1

x5

了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：

y1

(1)求出正确的a，b的值；

3

(2)求出原方程组的正确解，并代入代数式xy5x19y求值．

ax5y15x3

【变式2-1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了

4xby2y1

x5

方程组中的b，而得解为

y4

(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么；

(2)求出原方程组的正确解．

ax2by4xy1

【变式2-2】已知关于x，y的方程组与有相同的解．

xy3bxa1y3

(1)请求出这个相同的解；

(2)求a，b的值；

(3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程3mx2m1y5的解”，这句话是否正

确？并说明理由．

3x2y12xy4

【变式2-3】已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解．

12mx2y1nnxym1

(1)求这个相同的解；

(2)求m，n的值．

考点三：二元一次方程组的特殊解法

axybx3ax2y2ab

例3.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组

cxydy2cx2y2cd

的解是（）

x3x6x2x5

A．B．C．D．

y2y4y1y1

2023man2024m7

【变式3-1】若关于m，n的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程

2024mbn2025n3

2023xyaxy2024

组的解是．

2024xybxy2025

a1xb1yc1x3

【变式3-2】已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组

a2xb2yc2y4

a1m23b1nc1

的解是．

a2m23b2nc2

32xy2x2y263m2n26

【变式3-3】解方程组，若设2xym,x2yn，则原方程组化为，

22xy3x2y132m3n13

m82xy8x3

解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种

n1x2y1y2

解方程组的方法叫做换元法．

axby6x2

(1)关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m,n的二元一次方程组

bxay3y4

amnbmn6

，其中mn_________，mn_________，解得m________，n_________；

bmnamn3

xyxy

4

(2)知识迁移：请用这种方法解方程组23；

2xyxy16

a1xb1yc1x4

(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组

a2xb2yc2y3

2ax3by5c

111的解．

2a2x3b2y5c2

考点四：二元一次方程组的整数解

kxy7

例4．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k21的值为（）

3xy0

A．2B．3C．2或4D．3或15

mx2y10

【变式4-1】已知m为正整数，且方程组的解x，y均为整数，则m2的值是．

3x2y0

x2y5

【变式4-2】已知关于x、y的方程组

x2ymx90

(1)请写出x2y5的所有正整数解；

(2)若方程组的解满足xy0，求m的值；

(3)如果方程组有正整数解，求整数m的值．

3xy90

【变式4-3】已知关于x,y的方程组

3xymy60

(1)请直接写出方程3xy90的所有正整数解；

(2)无论数m取何值，方程3xymy60总有一个固定的解，请求出这个解；

(3)若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值．

考点五：二元一次方程组中多结论问题

x2y2m

例5.已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的是（）

2xy2m3

①当m1时，方程组的解也是xy2m1的解；

②x，y均为正整数的解只有1对；

③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数；

④若方程组的解满足xy1，则m0．

A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③

x3y8a

【变式5-1】已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（）

xy3a

①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a4；

②当a1时，方程组的解也是方程xy42a的解；

③无论a取什么实数，x2y的值始终不变；

x

④若用x表示y，则y3．

2

A．①②B．②③C．②③④D．①③④

x3y4a

【变式5-2】已知关于x，y的方程组，下列结论：①当a2时，x，y的值互为相反数：②

xy3a

x5

若是方程组的解，则a2；③当a1时，方程组的解也是方程xy1的解；④若1y4，则

y1

3a0．其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点六：二元一次方程组中新定义问题

例6.定义：关于x，y的二元一次方程axbyc与bxay=c互为“对称二元一次方程”，其中ab如

二元一次方程2xy3与二元一次方程x2y3互为“对称二元一次方程”．

(1)直接写出二元一次方程4x-y=5的“对称二元一次方程”；

xm

(2)二元一次方程3x2y=2025与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值．

yn

【变式6-1】定义：关于x，y的二元一次方程axbyc（其中abc）中的常数项c与未知数x系数a互

换，得到的方程叫“变更方程”，例如：axbyc“变更方程”为cxbya．

(1)方程3x2y4的“变更方程”为________；

(2)方程2x3y4与它的“变更方程”组成的方程组的解为________；

(3)已知关于x，y的二元一次方程axbyc的系数满足abc0，且axbyc与它的“变更方程”组成的

方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mxnyp的一个解，求代数式mnmpnp2025的值．

a1xb1yc1

【变式6-2】对于关于x，y的二元一次方程组（其中a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数），给

a2xb2yc2

出如下定义：若该方程组的解满足xy1，则称这个方程组为“开心”方程组．

(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；

xy0xy1xy1

①；②；③

2xy02xy23x5y7

2x5y4k3

(2)若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；

5x2y5k

2amxb1ym

(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值．

x2y4

【变式6-3】定义：关于x，y的二元一次方程axbyc（其中abc）中的常数项c与未知数x系数a互换，

得到的方程叫“变更方程”，例如：axbyc的”变更方程”为cxbya．

(1)方程3x2y4与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；

(2)已知关于x，y的二元一次方程axbyc的系数满足abc0，且axbyc与它的“变更方程”组成的

方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mxnyp的一个解，求代数式mnmpnp2024的

值；

(3)已知整数m，n，t满足条件tn8m，并且10mtx2024ymt是关于x，y的二元一次方程

1nx2024y2m2的“变更方程”，求m的值．

考点七：二元一次方程组的实际应用

例7.已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满

货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，

且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：

(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案；

(3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金

费．

【变式7-1】已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货

物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰

好每辆车都载满货物．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮该物流公司设计租车方案；

(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租

车费．

【变式7-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车

销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万

元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元．

(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

(2)若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960

万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；

(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利6000元，销售1辆B型汽车可获利4000元，在（2）中的购

买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

【变式7-3】某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的KT板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸

为40cm15cm，乙广告牌尺寸为40cm35cm．

(1)若该广告公司用1块KT板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提

下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；

(2)求1块KT板的所有无浪费裁切方案；

(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰

好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．

1．《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十

一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸

的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉

重x两，石重y两，则可列方程为（）

xy11xy176xy11xy176

A．xyB．xyC．76D．76

27272727

7676xyxy

2xy12a

2．已知关于x，y方程组的解满足xy3，则a的值．

x2y6

2x5y263x5y36

3．已知方程组和方程组的解相同，则ab．

axby4bxay8

axby2①x1

4．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的b看成了它的相反数解得，乙抄错②中的c

cx3y4②y1

x2

解得，则abc．

y4

ax3y6

5．若关于x，y的方程组有无数个解，则ab的值为．

2xy1b

2xy5

6．已知关于x，y的方程组．

mx2y3

x1

(1)方程2xy5有一个正整数解，还有一个正整数解为________．

y3

(2)若方程组的解满足xy1，求m的值；

(3)无论实数m取何值，关于x，y的方程mx2y3总有一个固定的解，请求出这个解为________．

3xy5

7．已知关于x，y的二元一次方程组，求7x5y的值．

2x3y7

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量

比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如

由①②2可得7x5y19，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：

2xy4①

(1)已知方程组，由①②2可得__________；

x2y5②

3x2y5

(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求5x3y的值；

xy3

2x2y4a1

(3)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，xy的值始终不变．

x2y2a

8．对于有理数x，y，定义新运算：x*yaxby，xyaxby，其中a，b是常数．例如，3*23a2b，

212ab，

3a2b1

已知