2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第02讲 集合间的基本关系（3个知识点+5个考点+过关测）（教师版）

第02讲集合间的基本关系内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：5大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1子集与真子集子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：读作：“A包含于B”(或“B包含A”)符号语言：任意Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.可以用图表示为：真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集.记作：（或).知识点2空集与集合相等空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.知识点3子集的个数若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个。教材习题01下列四个集合中，(

)是空集A．，B．C．，D．解题方法选项A：集合中有一个元素0，不为空集；选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集；选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集；选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集.【答案】B.教材习题02集合，且的真子集的个数是（

）A．32 B．31C．16D．15解题方法由得且，又，则，其子集个数共有，除去集合本身，则其真子集个数为，【答案】D.教材习题03已知，，，，写出所有满足上述条件的集合．解题方法因为，，则，又由，，可知，即，所以或或或.【答案】或或或.考点一判断集合的子集（真子集）的个数1．若，则集合M的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．2．已知集合，则的子集个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【详解】根据题意，联立方程组，可得，所以，解得，即集合，所以集合的子集个数为2个．故选：C．3．集合，则的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【详解】因为，故子集个数为，故选：C.4．已知集合，，，则集合C的子集有（

）A．64个 B．63个 C．16个 D．15个【答案】C【详解】由集合，，且，因为，，可得集合，所以集合的子集有个.故选：C.考点二判断两集合的包含关系1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】显然，，①③正确；，②正确在中，当时，即有因此，④正确正确命题的个数是故选：D2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集，即集合A是由集合B的子集组成的集合，所以，故B是集合A中的一个元素，D正确．故选：D3．已知集合，那么集合与Q的关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集．故选：B（多选题）4．已知集合，，下列说法错误的是（

）A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得C．当时， D．当时，【答案】BCD【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确；对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误；对于C：当时，不满足，故C错误；对于D：当，即时，，符合，当时，要使，则，解得，不满足，综上，当且仅当时，所以当时不正确，故D错误．故选：BCD考点三判断两集合是否相等1．下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A选项：，故A错误；B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误；C选项：,，故C选项正确；D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误．故选：C.2．下列各组集合中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；故选：A.3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意；选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意；选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意；选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故两集合不是同一个集合，故D正确．故选：D4．设集合，，若，则.【答案】/0.5【详解】在中，，则且，而，，显然，因此，解得，所以.故答案为：考点四空集的性质与应用1．下列集合中表示空集的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意；对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意；对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根，所以集合存在两个元素，故C不符合题意；对于D，由，则，即该方程不存在实数根，所以集合无元素，故D符合题意.故选：D.2．已知集合，下列选项中为的元素的是（

）①

②

③

④A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【详解】集合有两个元素：和.故选：B3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个【答案】D【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；根据元素与集合之间可知④正确；根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．所以①④⑥正确故选：D.考点五子集的概念1．已知，则可能的取值的个数为（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】D【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得，所以为或或；当时，由知，，所以为或；当，则，所以为综上，共有8种取值．故选：D．2．已知集合，且，则M可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于，,故,故选：B（多选题）3．下列结论错误的是（

）A．任何一个集合至少有两个子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，则D．若且，则【答案】ABD【详解】空集只有一个子集，故A错；空集时任何非空集合的真子集，故B错；因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确；例如，，，满足且，此时，故D错.故选：ABD.知识导图记忆知识目标复核1．子集与真子集2．空集与集合相等3．子集的个数1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.【详解】，，故当时，易求；当时，由得，或,所以所有的取值构成的集合为，故选：C.2．已知集合，，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.【详解】①当时，解得，此时，满足题意，②当时，解得，此时，满足题意，故选：C.3．已知集合，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围.【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．故选：A.4．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案.【详解】由，则.故选：B.5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据子集的关系即可求解.【详解】由于，所以，故选：D6．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（

）A．506 B．507 C．1012 D．1013【答案】D【难度】0.65【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.【详解】假设B中的最大元素为2025，将其余元素分组，，..，，共1012组，若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾.所以B中元素不能多于1013个.所以当时，B中元素个数最多为.故选：D7．已知集合，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围.【详解】当为空集时，时.解不等式，可得.因为空集是任何集合的子集，所以当时，.当不为空集时，时，解不等式，可得.此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.

已知，，所以需满足.解不等式，可得.综合可得，又因为前提是，所以取交集得.综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得.能使成立的所有组成的集合为，故选：C.8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

）个．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【难度】0.65【知识点】集合新定义【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，故满足条件的集合有：，，，，，，，，，，，，，，，.故选：B.9．已知集合，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.【详解】因为且，所以，所以或，得或，根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故.故选：A.10．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（

）A．4个 B．7个 C．8个 D．15个【答案】B【难度】0.85【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据题意求出集合A即可.【详解】因为⫋，都满足题意，共7个.故选：B.（多选题）11．已知集合，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则可以取3【答案】AC【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.故选：AC.（多选题）12．已知集合，且⫋，则的值可以是（

）A．4 B．3 C． D．0【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.【详解】因为⫋，则或或，当时，可得且，解得，则；当时，可得且，解得，则；当时，可得，解得，则，综上可得，的值可以是或或.故选：BCD.13．.设，，若，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.65【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可.【详解】由在上是增函数，得，即．作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示：①当时，，即，要使，必须且只需，得，与矛盾．②当时，，即，要使，由图可知：必须且只需解得．③当时