2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第04讲 充分条件与必要条件（3个知识点+5个考点+过关测）（教师版）

第04讲充分条件与必要条件内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：5大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1充分条件与必要条件命题命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。2、充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点2充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．知识点3从集合角度看充分、必要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A=B，则p，q互为充要条件若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件教材习题01用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空：（1）“是有理数”是“是实数”的；（2）“”是“”的；（3）“”是“”的；（4）“”是“”的．解题方法（1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”；另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”，因为“可能是无理数”，所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件；（2）若，则，所以“”是“”的必要条件但不是充分条件；（3）因为当且仅当，而当且仅当，所以“”是“”的充要条件；（4）一方面设，则，但，这说明了“”不是“”的充分条件，另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件，结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件.【答案】充分条件但不是必要条件必要条件但不是充分条件充要条件必要条件但不是充分条件教材习题02用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空：（1）“”是“”的；（2）“”是“”的；（3）“”是“”的；（4）“”是“”的．解题方法（1）当时，一定有成立，但反之不一定成立，如，但，故填充分条件；（2）当时，，反之当时，或，故填充分条件；（3）当时，不一定成立，如，但，反之时，一定成立，故填必要条件；（4）当时，说明x，y同号，即成立，反之当时，一定成立，故填充要条件.【答案】充分条件充分条件必要条件充要条件教材习题03判断下列说法是否正确：（1）“”是“”的充分条件；()（2）“”是“”的充要条件；()（3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；()（4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．()解题方法（1）当时，则，∴“”是“”的充分条件，∴正确；（2）当时，满足，但不成立，∴“”不是“”的充要条件，∴错误；（3）当两个三角形全等时，则两个三角形相似，∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件，∴正确；（4）当两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等，∴“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”不是“两个三角形全等”的充要条件，∴错误．【答案】正确错误正确错误考点一判断命题的真假1．下列命题为假命题的是（

）A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，【答案】D【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足．2．下列语句是命题的有（

）A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？C．若，则 D．三角形的内角和是【答案】CD【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题．（多选题）3．下列语句中，真命题有（

）A．若，则x，y互为倒数B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若，则【答案】AD【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误．考点二充分条件的判定及性质1．已知集合，集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是【答案】【详解】因为“”是“”的充分条件，所以，所以，故答案为：.2．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为．【答案】【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集，当时，即时，，满足题意；当，即时，由题意得，解得，综上，m的取值范围是．3．已知集合，.(1)若，求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或.【详解】（1）当时，，，∴.（2）∵是的充分条件，∴.当时，，即，满足；当时，，由可得，解得.综上，实数的取值范围为或.考点三必要条件的判定及性质（多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（

）A．若，则B．若，则C．若mn为无理数，则m，n为无理数D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形【答案】AB【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误.2．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由题意，“若，则”为真命题，故实数的取值范围是.故答案为：3．设集合，.(1)若，求实数的值；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】（1）由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或.（2）因为“”是“”的必要条件，所以.对于集合，.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.考点四充要条件的证明1．已知a，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】1.判断充分性已知，所以.又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中，所以和没有公共元素，即.由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”，所以“存在集合使得，”是“”的充分条件.2.判断必要性已知，即和没有公共元素.此时取集合，那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图，因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即，同时（即）.所以当“”时，能推出“存在集合使得，”，所以“存在集合使得，”是“”的必要条件.则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件.故选：C.3．“一元二次方程有实数根”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若一元二次方程有实数根，则；当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根.故选：C.考点五探究命题为真的充要条件1．已知集合，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，可得，又，所以，由，得，因此“”是“”的充要条件．故选：A2．等式成立的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，两边平方得：，所以，即，所以等式成立的充要条件是.故选：B3．已知集合，集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为，所以，故“”是“”的充要条件.故选：C．4．设集合．(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．【答案】(1)证明见解析(2)k为偶数；证明见解析【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．（2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数．充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M．必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．知识导图记忆知识目标复核1．充分条件与必要条件2．充要条件3．从集合角度看充分、必要条件1．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可.【详解】当时，，且当时，，即当时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【难度】0.85【知识点】既不充分也不必要条件【分析】举反例和可得出.【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到；若，则满足，但不满足，故无法得到，故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【难度】0.85【知识点】根据充要条件求参数【详解】由题意得，解得，所以．4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】根据必要不充分条件求参数【详解】因为，所以，即．5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件【详解】解法1

设，，由题意可知和都不成立，所以．解法2

若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D．6．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【难度】0.94【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数，故命题A是命题B的必要不充分条件.故选：B7．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】根据充分必要条件关系判断.【详解】因为，所以不能推出，而由可以推出，所以是的必要不充分条件.故选：B.8．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】充要条件的证明【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形．（多选题）9．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（

）A． B．C．且 D．，，【答案】ABC【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件.10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．【答案】【难度】0.85【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为．11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．【答案】【难度】0.94【知识点】根据必要不充分条件求参数【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或．12．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：（1）；（2）.【答案】【难度】0.65【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算、充要条件的证明【分析】利用并集、交集、补集的定义即可推出.【详解】（1）若，则，则且，则且，则，故；若，则且，则且，则，则，故；综上所述，.（2）若，则，则或，则或，则，故；若，则或，则或，则，则，故；综上所述，.故答案为：；13．已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，集合，可得或，因为，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，即时，此时，满足是的真子集；当时，则满足，解得，当时，，此时是的真子集，合乎题意；当时，，此时是的真子集，合乎题意.综上，实数的取值范围为.14．已知集合．(1)若，求;(2)若，求实数的取值范围；(3)若是的充分不必要条