用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课件北师大版数学九年级上册

2.2.2用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程

第二章

一元二次方程九年级上BS

1.经过对二次项系数不为1的一元二次方程的配方求解过程，探究二次项系数不为1的一元二次方程解的求解步骤.学习目标x2+x+______=(x+)2；x2-x+______=(x-______)2；x2+8x+______=(x+______)2；164问题：要是上式中的形式变为ax2+bx+c，如何配成完全平方？新课引入联想公式：a2±2ab+b2=(a±b)2你会解2x2+12x+16=0吗？它与x2+6x+8=0有什么区别吗？那么3x2+8x-3=0该怎么解呢？新知学习3x2+8x-3=0x2+x-1=0在方程的两边同时除以二次项系数

对于方程2x2+12x+16=02(x2+6x+8)=0x2+6x+8=0对于方程2x2+12x+16=0相比x2+6x+8=0多了一步将二次项系数化为1的步骤

例1解下列方程：移项，得两边开平方，得解：两边同时除以3，得配方，得关键：常数项是一次项系数一半的平方.例2 一个小球以15m/s的初速度竖直向上弾岀.它在空中的高度

h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2，小球何时能达到10m高？解：由题可列方程

10=15t-5t2，化简，得 t2-3t+2=0，即

，开平方得.所以用配方法解一元二次方程时,移项时需注意改变符号.归纳总结用配方法解一元二次方程的一般步骤.(1)化：化二次项系数为1;(2)配：配方，使原方程变为(x+m)2-n=0的形式;(3)移：移项，使方程变为(x+m)2=n的形式;(4)开：如果n≥0，就可左右两边开平方得x+m=±

;(5)解：方程的解为x=-m±

.另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理.移项二次项系数是否为1配方开方

将常数项移到等号的右边利用a2±2ab+b2=(a±b)2求解

是否化二次项系数为1用配方法解一元二次方程的一般步骤探究对于方程x2+bx+c=0，经过配方可得到方程

(x+m)2=n.方程的两个根会出现哪几种可能？会出现三种可能归纳总结一般地，一个一元二次方程通过配方转化成(x+m)2=n.①当

n>0时，则

，方程的两个根为②当

n=0时，则(x+m)2

=0，x+m=0，开平方得方程的两个根为

x1

=x2

=-m.③当

n<0时，则方程(x+m)2

=n无实数根1.解下列方程：(1)解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．随堂练习(2)解：移项，得2x2-3x=-1二次项系数化为1，得配方，得即由此可得，解：移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，即，由此可得，则x1=1+，x2=1-.(3)4x2-3x+5=5x+8(4)已知

为△ABC的三边长，且满足等式

，试判断△ABC的形状.思路点拨:将等式两边都乘以2，以便更容易地应用完全平方公式，通过识别并应用完全平方公式，将等式转化为三个平方项的和等于0的形式。由于平方数总是非负的，所以这三个平方项都必须等于0.解：对原式左右同乘2，得由非负式的性质可知所以

△ABC为等边三角形.

配方得2.印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，

高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？解:设共有猴子x

只．化二次项系数为1：x2-64x+768=0配方：(x-32)2=256开方得：x=32±16得x1＝16，x2＝48．所以，共有猴16只或48只．则3.如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P

从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q

同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动.何时点P和点Q

之间的距离是10cm？点击播放解:设t

秒后点P

和点Q

的距离是10cm．(3t＋2t－16)2

＝102－62．所以，1.6s或4.8s后点P

和点Q

的距离是10cm．化简25t2-160t+192=0即

配方得3.已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用，例如:试求二次三项式x2+4x+5最小值.解:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，(x+2)2+1≥1,∴x2+4x+5≥I,即x2+4x+5的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题:(1)已知y=x2-6x+12,求y的最小值.解:(1):y=x2-6x+12,∴y=(x-3)2+3,∴y的最小值为3;(2)3x2-x+2-(2x2+3x-6)=3x2-x+2-2x2-3x+6=x2-4x+8=(x-2)2+4∵(x-2)2+4>0∴3x2-x+2>2x2+3x-6;(2)比较代数式3x2--x+2与2x2+3x-6的大小，并说明理由.大小比较一般采用两数相减和0比较，或者两数相除和1比较3.如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P

从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q

同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动.何时点P和点Q

之间的距离是10cm？解:设t

秒后点P

和点Q

的距离是10cm．(3t＋2t－16)2

＝102－62．所以，1.6s或4.8s后点P

和点Q

的距离是10c