统计概率与数列综合经典题(含详解答案)

统计概率与数列综合经典题(含详解答案)某科技公司研发的投篮机器人A进行投篮训练，设定每轮独立进行3次投篮，记第n轮的命中次数为\(X_n\)（\(n\in\mathbb{N}^\)）。已知训练规则如下：-第一轮（\(n=1\)）每次投篮的命中率固定为\(p_1=0.5\)；-从第二轮开始（\(n\geq2\)），若前一轮（第\(n-1\)轮）的命中次数\(k\geq2\)，则本轮每次投篮的命中率提升为\(p_n=p_{n-1}+0.1\)；若前一轮命中次数\(k\leq1\)，则本轮命中率降低为\(p_n=p_{n-1}-0.05\)；-命中率设有上下限：最低不低于\(0.2\)，最高不超过\(0.8\)（即若计算出的\(p_n\)超出范围，则取边界值）。根据以上规则，回答以下问题：（1）求第二轮（\(n=2\)）每次投篮命中率\(p_2\)的可能取值及对应的概率分析：要确定\(p_2\)的可能值，需先分析第一轮命中次数\(X_1\)的分布。由于第一轮每次投篮独立且命中率为\(p_1=0.5\)，\(X_1\)服从二项分布\(B(3,0.5)\)，其概率质量函数为：\[P(X_1=k)=\binom{3}{k}(0.5)^k(0.5)^{3-k}=\binom{3}{k}(0.5)^3,\quadk=0,1,2,3\]根据规则，当\(X_1\geq2\)时，\(p_2=p_1+0.1=0.6\)；当\(X_1\leq1\)时，\(p_2=p_1-0.05=0.45\)。需验证这两个值是否在\([0.2,0.8]\)范围内：\(0.45>0.2\)，\(0.6<0.8\)，均有效。计算概率：-\(P(X_1\geq2)=P(X_1=2)+P(X_1=3)=\binom{3}{2}(0.5)^3+\binom{3}{3}(0.5)^3=3\times\frac{1}{8}+1\times\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=0.5\)；-\(P(X_1\leq1)=1-P(X_1\geq2)=0.5\)（或直接计算：\(P(X_1=0)+P(X_1=1)=\binom{3}{0}(0.5)^3+\binom{3}{1}(0.5)^3=1\times\frac{1}{8}+3\times\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=0.5\)）。因此，\(p_2\)的可能取值及对应概率为：-\(p_2=0.6\)，概率为\(0.5\)；-\(p_2=0.45\)，概率为\(0.5\)。（2）记\(S_n\)为前\(n\)轮投篮的总命中次数，求\(E(S_3)\)（前3轮总命中次数的期望）分析：期望的线性性质表明\(E(S_3)=E(X_1+X_2+X_3)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)\)，因此需分别计算\(E(X_1)\)、\(E(X_2)\)、\(E(X_3)\)。计算\(E(X_1)\)：\(X_1\simB(3,0.5)\)，故\(E(X_1)=3\times0.5=1.5\)。计算\(E(X_2)\)：\(X_2\)的分布依赖于\(p_2\)，而\(p_2\)由\(X_1\)决定。根据全期望公式：\[E(X_2)=E\left[E(X_2\midX_1)\right]\]已知在给定\(X_1\)的条件下，\(X_2\simB(3,p_2)\)，因此\(E(X_2\midX_1)=3p_2\)。结合（1）的结果，\(p_2\)有两种可能：-当\(X_1\geq2\)（概率0.5），\(p_2=0.6\)，此时\(E(X_2\midX_1\geq2)=3\times0.6=1.8\)；-当\(X_1\leq1\)（概率0.5），\(p_2=0.45\)，此时\(E(X_2\midX_1\leq1)=3\times0.45=1.35\)。因此：\[E(X_2)=0.5\times1.8+0.5\times1.35=0.9+0.675=1.575\]计算\(E(X_3)\)：\(X_3\)的分布依赖于\(p_3\)，而\(p_3\)由\(X_2\)决定。需先分析\(X_2\)的可能取值及对应的\(p_3\)。首先，\(X_2\)的分布分两种情况（由\(p_2\)决定）：情况1：\(p_2=0.6\)（概率0.5）此时\(X_2\simB(3,0.6)\)，其概率质量函数为：\[P(X_2=k\midp_2=0.6)=\binom{3}{k}(0.6)^k(0.4)^{3-k},\quadk=0,1,2,3\]计算各\(k\)的概率：-\(P(X_2=0\mid0.6)=0.4^3=0.064\)；-\(P(X_2=1\mid0.6)=3\times0.6\times0.4^2=0.288\)；-\(P(X_2=2\mid0.6)=3\times0.6^2\times0.4=0.432\)；-\(P(X_2=3\mid0.6)=0.6^3=0.216\)。根据规则，若\(X_2\geq2\)，则\(p_3=0.6+0.1=0.7\)；若\(X_2\leq1\)，则\(p_3=0.6-0.05=0.55\)（均在\([0.2,0.8]\)内）。情况2：\(p_2=0.45\)（概率0.5）此时\(X_2\simB(3,0.45)\)，概率质量函数为：\[P(X_2=k\midp_2=0.45)=\binom{3}{k}(0.45)^k(0.55)^{3-k}\]计算各\(k\)的概率：-\(P(X_2=0\mid0.45)=0.55^3\approx0.166375\)；-\(P(X_2=1\mid0.45)=3\times0.45\times0.55^2\approx3\times0.45\times0.3025=0.408375\)；-\(P(X_2=2\mid0.45)=3\times0.45^2\times0.55\approx3\times0.2025\times0.55=0.334125\)；-\(P(X_2=3\mid0.45)=0.45^3\approx0.091125\)。根据规则，若\(X_2\geq2\)，则\(p_3=0.45+0.1=0.55\)；若\(X_2\leq1\)，则\(p_3=0.45-0.05=0.4\)（均在范围内）。接下来，计算\(E(X_3)\)需分两步：先计算\(p_3\)的期望，再利用\(E(X_3)=3E(p_3)\)（因\(X_3\simB(3,p_3)\)，期望为\(3p_3\)）。计算\(E(p_3)\)：\(p_3\)的取值由\(p_2\)和\(X_2\)共同决定，需用全概率公式：-当\(p_2=0.6\)（概率0.5）：\(P(X_2\geq2\midp_2=0.6)=P(X_2=2)+P(X_2=3)=0.432+0.216=0.648\)，此时\(p_3=0.7\)；\(P(X_2\leq1\midp_2=0.6)=1-0.648=0.352\)，此时\(p_3=0.55\)；因此，\(E(p_3\midp_2=0.6)=0.648\times0.7+0.352\times0.55=0.4536+0.1936=0.6472\)。-当\(p_2=0.45\)（概率0.5）：\(P(X_2\geq2\midp_2=0.45)=P(X_2=2)+P(X_2=3)\approx0.334125+0.091125=0.42525\)，此时\(p_3=0.55\)；\(P(X_2\leq1\midp_2=0.45)=1-0.42525=0.57475\)，此时\(p_3=0.4\)；因此，\(E(p_3\midp_2=0.45)\approx0.42525\times0.55+0.57475\times0.4\approx0.2338875+0.2299=0.4637875\)。综上，\(E(p_3)=0.5\times0.6472+0.5\times0.4637875\approx0.3236+0.23189375\approx0.55549375\)。因此，\(E(X_3)=3\timesE(p_3)\approx3\times0.55549375\approx1.66648125\)。总期望\(E(S_3)\)：\[E(S_3)=1.5+1.575+1.66648125\approx4.74148125\]（3）若机器人持续训练至第\(m\)轮时，每次投篮命中率稳定在\(0.7\)（即\(p_m=p_{m-1}=0.7\)），求最小的\(m\)值分析：命中率稳定在\(0.7\)意味着\(p_{m-1}=0.7\)，且第\(m-1\)轮的命中次数\(X_{m-1}\)满足“若\(X_{m-1}\geq2\)，则\(p_m=0.7+0.1=0.8\)（但需稳定在0.7，矛盾）；若\(X_{m-1}\leq1\)，则\(p_m=0.7-0.05=0.65\)（也矛盾）”。这说明“稳定”的条件应为：当\(p_{m-1}=0.7\)时，无论\(X_{m-1}\)如何，\(p_m\)仍为0.7。但根据规则，只有当\(p_{m-1}+0.1\leq0.7\)或\(p_{m-1}-0.05\geq0.7\)时才可能，但显然不成立。因此题目中的“稳定”应理解为\(p_m=p_{m-1}=0.7\)，即第\(m-1\)轮的命中次数导致\(p_m=0.7\)，且第\(m\)轮的命中次数也导致\(p_{m+1}=0.7\)。递推分析：从\(p_1=0.5\)开始，逐步推导各轮\(p_n\)的可能值：-\(n=1\)：\(p_1=0.5\)，\(X_1\simB(3,0.5)\)；-\(n=2\)：\(p_2=0.6\)（概率0.5）或\(0.45\)（概率0.5）；-\(n=3\)：-若\(p_2=0.6\)（概率0.5），则\(X_2\simB(3,0.6)\)，\(p_3\)可能为\(0.7\)（当\(X_2\geq2\)，概率0.648）或\(0.55\)（当\(X_2\leq1\)，概率0.352）；-若\(p_2=0.45\)（概率0.5），则\(X_2\simB(3,0.45)\)，\(p_3\)可能为\(0.55\)（当\(X_2\geq2\)，概率≈0.425）或\(0.4\)（当\(X_2\leq1\)，概率≈0.575）；-\(n=4\)：关注\(p_3=0.7\)的情况（因目标是\(p_m=0.7\)）：当\(p_3=0.7\)时（来自\(p_2=0.6\)且\(X_2\geq2\)，概率\(0.5\times0.648=0.324\)），\(X_3\simB(3,0.7)\)，其命中次数概率为：\(P(X_3=k)=\binom{3}{k}(0.7)^k(0.3)^{3-k}\)，计算得：\(P(X_3\geq2)=P(X_3=2)+P(X_3=3)=3\times0.7^2\times0.3+0.7^3=0.441+0.343=0.784\)；\(P(X_3\leq1)=1-0.784=0.216\)。根据规则，若\(X_3\geq2\)，则\(p_4=0.7+0.1=0.8\)（上限，有效）；若\(X_3\leq1\)，则\(p_4=0.7-0.05=0.65\)。要使\(p_4=0.7\)，需\(p_3=0.7\)且\(X_3\)的结果使得\(p_4=0.7\)，但根据规则，无论\(X_3\)如何，\(p_4\)只能是0.8或0.65，无法直接得到0.7。因此需考虑\(p_3\)通过其他路径达到0.7后，再通过后续轮次调整。另一种可能：当\(p_n=0.7\)时，若前一轮\(p_{n-1}=0.6\)且\(X_{n-1}\geq2\)（因\(0.6+0.1=0.7\)），则\(p_n=0.7\)；此时若第\(n\)轮的\(X_n\)满足\(X_n\leq1\)，则\(p_{n+1}=0.7-0.05=0.65\)；若\(X_n\geq2\)，则\(p_{n+1}=0.8\)。要使\(p_{n+1}=0.7\)，需\(p_n=0.75\)且\(X_n\leq1\)（因\(0.75-0.05=0.7\)），但\(p_n=0.75\)需由\(p_{n-1}=0.65\)且\(X_{n-1}\geq2\)（\(0.65+0.1=0.75\)），依此类推，形成递推链。但更简单的路径是：从\(p_1=0.5\)开始，若每轮都满足\(X_n\geq2\)，则\(p_n\)递增：\(p_1=0.5\rightarrowp_2=0.6\rightarrowp_3=0.7\rightarrowp_4=0.8\)（上限，不再增加）。此时，当\(p_3=0.7\)时，若第3轮\(X_3\geq2\)，则\(p_4=0.8\)；若\(X_3\leq1\)，则\(p_4=0.65\)。但题目要求\(p_m=p_{m-1}=0.7\)，即第\(m-1\)轮和第\(m\)轮的命中率均为0.7。观察递推：-\(p_3=0.7\)（来自\(p_2=0.6\)且\(X_2\geq2\)）；-若第3轮\(X_3\leq1\)，则\(p_4=0.65\)；-若第4轮\(X_4\geq2\)，则\(p_5=0.65+0.1=0.75\)；-若第5轮\(X_5\leq1\)，则\(p_6=0.75-0.05=0.7\)；-若第6轮\(X_6\leq1\)，则\(p_7=0.7-0.05=0.65\)；若\(X_6\geq2\)，则\(p_7=0.8\)。显然，这种波动无法稳定在0.7。因此，题目中的“稳定”应指连续两轮命中率均为0.7，即存在\(m\)使得\(p_{m-1}=0.7\)且\(p_m=0.7\)。重新考虑：\(p_m=0.7\)的条件是\(p_{m-1}=0.6\)且\(X_{m-1}\geq2\)（因\(0.6+