【数学】广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考试题（解析版）

广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列的前项积，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】数列的前项积，即；所以.故选：A2.“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（）A.8 B.9 C.10 D.15【答案】B【解析】由杨辉三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第个数为，所以第9行第9个数是.故选：B.3.某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设最长步道为，由题意可得，则.故选：D.4.物理学上定义线密度为单位长度上的质量．某直鱼竿的总长度为6米，设为鱼竿上一点到鱼钩的距离（单位：米），表示该点到鱼钩这一整段鱼竿的质量（单位：克），则该鱼竿在处的线密度为（）A.8克每米 B.16克每米 C.24克每米 D.32克每米【答案】D【解析】根据题设，可知鱼竿在处的线密度为，所以鱼竿在处的线密度为．故选：D．5.已知数列满足，设甲：存在正整数，使得；乙：存在正整数，满足，则（）A.甲和乙都是真命题 B.甲是真命题但乙是假命题C.乙是真命题但甲是假命题 D.甲和乙都是假命题【答案】A【解析】对于，存在正整数，所以甲是真命题；对于，，，不妨令，故，，，又3是数列的一个周期，所以，故存在正整数，满足，故乙是真命题，所以甲和乙都是真命题.故选：A6.已知函数在处取得极大值，则（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因为，由题意，所以或，经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.故选：A.7.某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A.15种 B.28种 C.31种 D.63种【答案】C【解析】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件的去法有种；故该宿舍同学的去法共有种．故选：C．8.函数在上的零点和极值点个数之和为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在区间有5个零点，，令，解得或，又，所以在区间上有2个解，设为，且，在区间上有2个解，设为，且，当时，，，故在上单调递减，当时，，故在单调递增，故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，所以在上的零点和极值点个数之和为9.故选：C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（）A.若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序C.若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式D.若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式【答案】BD【解析】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，故共有种观看顺序，故B正确；若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，故分组方式为，故C错误；若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，所以共有31种分组方式，故D正确.故选：BD.10.设函数，直线与曲线相切于点，则（）A.对于给定的，任意的恒过定点 B.对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点C.与的交点的横坐标存在最小值 D.与的交点的纵坐标存在最大值【答案】ABD【解析】对于A，，因此切线方程为，也即，恒过定点），故A正确；对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；对于CD，根据定义域知，设，下面研究值域，因为，当单调递增，当单调递减，所以存在极大值（也就是最大值），且当，所以值域为，也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．故选：ABD．11.已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（）A.B.C.和均为等比数列D.除以3的余数为1【答案】AC【解析】对于A，令可得，令可得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故，故B错误；对于C，由题意可得，所以数列是首项为、公比为2的等比数列，所以，①，同理可得，所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；对于D，①-②得所以，，因为展开后最后一项为-1，其余各项均能被9整除，所以能被3整除，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为15，则__________.【答案】6【解析】由题意可得，化简得，解得；故答案为：.13.已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.【答案】11【解析】由等差数列的定义可得，则，所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.故答案为：11.14.已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为_________．【答案】【解析】，因为在上，且，可知与在处的切线平行或重合，又因为，即，解得，故在处的切线方程为，分别整理得切线方程为，直线为0，由平行直线间距离公式知，两直线间距离为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？（1）老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．”（2）老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”解：（1）由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情况有（种）．（2）由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有（种）．16.已知函数．（1）当时，求在上的最值；（2）求的单调区间．解：（1）当时，，,则，则在上单调递减，所以，无最小值．（2），（i）若，则，所以在单调递减；（ii）若，则由得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．当时，的单调减区间为，单调增区间为．17.已知数列满足，（1）探究数列的单调性；（2）求数列的前n项和解：（1）因为，且，所以数列是首项为、公比为的等比数列，故，即，且，易得时，，即，数列单调递增，时，，即，数列单调递减.（2）由（1）可得，所以，，两式相减得，所以18.已知函数其中，为曲线上不同的两点.（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）时，讨论的单调性；（3）若A，B关于点对称，求b的取值范围.解：（1）当时，，则，求导得，则，故曲线在点处的切线方程为，整理得：（2）当时，，求导得，记，则求导得，所以在单调递增，又，所以当时，，则在区间上单调递减，当时，，则在单调递增.（3）由题意可得根据定义域为，则不妨设，则又，即记，，又，，所以，所以在区间上单调递增，由于，当时，，所以有，从而可知的值域为，要使得，则，所以19.若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列（1）求数列的通项公式；（2）现固定的值且，求；（3）设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式