【数学】河北省2024-2025学年高二下学期4月期中试题（解析版）

河北省2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】，.故选：A.2.某工厂新生产了20台机器人，其中8台是高性能机器人，12台是普通机器人．现从中随机抽取5台机器人进行检测，则恰好3台高性能机器人被抽到的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】工厂新生产了20台机器人，其中8台是高性能机器人，12台是普通机器人．现从中随机抽取5台机器人进行检测，则恰好3台高性能机器人被抽到的概率为.故选：C.3.函数的极大值点是（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】，令，解得：或，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故的极大值点是.故选：A.4.如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意；若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误；对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意；若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误；对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确；对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合；若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误.故选：C5.某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件，某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为，则，，，则，，所以，如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为.故选：B.6.已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当函数在上单调，或恒成立，所以或恒成立，所以或，因为函数在上不单调，所以.故选：D.7.已知奇函数的定义域是，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A. B.C D.【答案】D【解析】对任意的，都有，,所以在单调递减，当时，不等式转化为，，所以，因为为奇函数，所以，所以为偶函数，在单调递增，当时，不等式转化为，，所以，综上，.故选：D.8.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线与曲线相切的切点为，由得，则，即，则，得，所以，代入得，因为，所以，因为，所以，当且仅当，即等号成立.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设离散型随机变量的分布列为0123若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，易知，解得，即A正确；对于B，由可得，因此，即B错误；对于C，易知，所以，因此C正确；对于D，易知，即D错误.故选：AC10.我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即,运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由题意得，两边同时求导得，即，令，即，解得：，即函数的单调递增区间为.故选：BD.11.已知三次函数,若不等式的解集为,则下列说法正确的有（）A.B.函数的极小值为4C.若函数在上既有最大值又有最小值，则D.若函数有3个零点，函数有3个零点，则【答案】ACD【解析】对于A，由不等式的解集形式可知为方程的二重根，即，解得，即A正确；对于B，易知，则，令，解得或；当时，，即在上单调递减，当或时，，此时在和上单调递增；所以在处取得极小值，此时，即B错误；对于C，若函数在上既有最大值又有最小值，因为是开区间，所以区间内需包含两个极值点和；又，，所以最大值为4，最小值为0，因此即可得，，即C正确；对于D，函数有3个零点，即有三个不相等的实数根，因此，即；因此可得，，所以，与无关，是定值，同理可得，即，可知D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是定义在上的可导函数，若，则___________．【答案】【解析】由导数定义可知.故答案为：13.春节期间小明一行人去哈尔滨旅游，根据旅游攻略发现有、、三个美食打卡点，已知在三个美食打卡点均有人前往的条件下，打卡点恰好有人打卡的概率为_______.【答案】【解析】记事件三个美食打卡点均有人前往,事件打卡点恰好有人打卡,对于事件,将个人分为三组，则三组的人数分别为、、或、、或、、，所以；对于事件，打卡点恰好有人打卡，则将剩余人分为两组，每组人数分别为、或、，所以，由条件概率公式可得.故答案为：.14.已知函数，若，且，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，即，因为，所以，所以，由，令，则，令，，则，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以的最小值为，又，故最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.给定函数．（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）求出方程的解的个数．解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，函数在单调递减，所以为函数的极小值点，所以的极小值为：，无极大值.综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.（2）易知当时，，当时，，当时，，再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示：由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知：当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解；当时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；当或时，函数的图像与直线有个交点，故方程有个解；综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.16.AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．焦虑不焦虑合计男性10女性20合计（1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？（2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．附：为样本容量．解：（1）填写列联表为：焦虑不焦虑合计男性401050女性203050合计6040100零假设：焦虑与否与性别无关．根据列联表中的数据得，故依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关．（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人，其中男性人数为（人）；女性人数为（人）由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3．，随机变量的分布列如下：123则．17.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）设函数有两个极值点、．求的最小值．解：（1）由定义域为，且，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，解得．（2）由题意可得，函数有两个极值点、，即在上有两个不等实根，令，只需，故，由上知，，，且，，，令，则，由得，所以在上单调递减，由得，，所以在上单调递增，所以，即的最小值为.18.设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，数列的所有逆序的总个数称为数列的逆序数，记为．例如：数列2，3，1，4只有两个逆序，分别为（2，1）和（3，1），则数列2，3，1，4的逆序数．特别地，对于数列，将其重新排列后，如果新的数列中所有的项都不在原来的位置上，此时称这样的数列是原数列的一个错排数列．例如：3，1，2是1，2，3的一个错排数列，4，3，2，1是1，2，3，4的一个错排数列．记为数列1，2，3，…，的所有排列中逆序数为的全部排列的个数，记为1，2，3，…，的所有错排数列组成的集合，表示集合中元素的个数．（1）求、、、的值；（2）若，求的表达式．解：（1）1，2的错排为，即．1，2，3的错排为，即．对于有序数列1，2，3，4，一号位有2，3，4这三种可能，不妨设一号位是2，若二号位为1，则剩下的是3，4两个数进行错排，；若二号位不为1，则剩下的是1，3，4三个数进行错排，；因此．1，2，3，4的所有排列中逆序数为2的排列如下：，故．（2）对于有序数列1，2，3，…，（），要使得，有两种方法：①取一个数字向前移动两个位置，可以向前移动两个位置的有3，4，5，…，，故此时有种结果②取两个数字分别向前移动一个位置，可以向前移动一个位置的有2，3，4，…