【数学】山东名校考试联盟2024-2025学年高二年级下学期期中检测试题（解析版）

山东名校考试联盟2024-2025学年高二年级下学期期中检测数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由，则.故选：B.2.已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】因为第2项和第6项的二项式系数相等，则，所以.故选：A.3.已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【答案】D【解析】由题意可知：，因为，所以.故选：D.4.已知函数，则在上的增区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数，可得，令，可得或，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B.5.下列k的值能使等式（）成立的是（）A.25 B.50 C.75 D.100【答案】C【解析】由，则，则，则或.故选：C.6.将标有序号1，2，3的三个小球放入标有序号1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子最多一个小球，且要求小球和盒子的序号均不对应相同，则所有放法的种数为（）A.7 B.9 C.11 D.13【答案】C【解析】若盒子序号为1，2，3，则球的序号依次为2，3，1或3，1，2，共有2种放法；若盒子序号为1，2，4或1，3，4，或2，3，4，根据对称性可知不同的方法种数相同，例如盒子序号为1，2，4，则球的序号依次为2，3，1或2，1，3或3，1，2，共有3种放法；所以所有放法的种数为.故选：C.7.已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】因为，由题意可知在区间上恒成立，可得在区间上恒成立，构建，，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减，则，可得，所以a的最小值为.故选：C.8.已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，当时，，所以当时，，即函数在上单调递减，又，则，，由，得，即，则，即是奇函数，所以是偶函数，则当时，函数在上单调递增，因为，所以，，又，所以即，则，所以不等式的解集为.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.随机交量X的分布列为X123Pa则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由题意可知：，解得，可得随机交量X的分布列为X123P对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：因，所以，故C错误；对于选项D：因为，即，解得，故D正确；故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.，B.的对称中心为C.过原点有两条直线与的图象相切D.若有两个极值点，，则【答案】BCD【解析】因为，则，对于选项A：例如，故A错误；对于选项B：因为，所以的对称中心为，故B正确；对于选项C：设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为，代入可得，整理可得，解得或，所以过原点有两条直线与的图象相切，故C正确；对于选项D：若有两个极值点，，即有2个不同的实根，则，解得，且，由选项B可得：，故D正确；故选：BCD.11.若a和b是两个用n位二进制表达的码，设，，其中，，，2，…，n.若的数目为l，则称l为a，b的汉明（Hamming）距离，记为.则（）A.若a，b均为由3个0和2个1组成的5位二进制表达的码，则最大为4B.若a，b均为6位二进制表达的码，其中，若，则b码有42种可能C.若a，b，c，d均为5位二进制表达的码，，则a和d不可能相同D.若c也是用n位二进制表达的码，若，，当时称c为a的“近似码”，同样，当时称c为b的“近似码”，若，则c不可能同时为a，b的“近似码”【答案】ABD【解析】选项A，因为，各含有3个0，则必有一个0是在相同位置的，则最大为4，A正确；选项B，分四种可能，即汉明距离为0，1，2，3，共有种可能，B正确：选项C，5位二进制表达的码的五个位置中，若是1，2位置不同，是1，3位置不同，则和可能相同，例如：，故C错误：选项D，根据定义，汉明距离满足，故若，则和不可能同时成立，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为__________.（用数字作答）【答案】72【解析】组成没有重复数字的五位数的个数为；组成没有重复数字且1和3相邻的五位数的个数为；所以符合题意的五位数的个数为.故答案为：72.13.在实际生活中，进行一些“敏感性问题”的调查时，受访者往往不愿当面回答真实的观点，于是可以采取一些措施避免受访者直接回答所调查的问题.例如，某校想调查某项新规在学生群体中的反响，可设置如下调查方式：受访者在一个只含有黑、白两个小球的箱子里随机抽取一个（仅受访者知道小球的颜色），若受访者抽到的是黑球，则回答一个与调查无关的问题：“你出生的月份是否为3的倍数（假设每个人出生在1-12月份的概率相同）”；若受访者抽到的是白球，则回答调查的问题：“你是否支持本条新校规？”.若最终调查结果是本校的学生支持学校新规，则在调查过程中，随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是__________.【答案】【解析】设受访者抽到白球和黑球分别为事件，受访者回答“是”为事件，因为箱子里只含有黑、白两个小球，所以，因为每个人出生在1-12月份的概率相同，1-12月是3的倍数的月份有共4个，所以出生的月份是3的倍数的概率为，即受访者抽到黑球回答“是”的概率是，已知本校的学生支持学校新规，即受访者抽到白球回答“是”的概率是，则随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是.故答案为：.14.函数有两个零点，则m的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可知：的定义域为，且，令，可知在内单调递增，原题意等价于在定义域为有2个零点，令，可得，可知与（过原点的直线）有2个交点，对于，则，设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为，代入点，得，解得，即切线斜率，结合图象可知：若与有2个交点，则，即，所以m的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间.解：（1）当时，，则，则，又，所以在处的切线方程为，即.（2）由，，则，因为函数在处取得极值，所以，即，此时，令，得；令，得，所以函数上单调递增，在上单调递减，则在处取得极值，满足题意，故，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.16.已知（）.（1）求二项展开式中二项式系数最大的项；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）∵，∴第五项的二项式系数最大，

所以展开式中二项式系数最大的项为；（2）由，令，则，展开式的通项为：，所以，∴等于展开式中各项系数的和，在展开式中，令，得各项系数之和为，即，则．（3）设，∴，

令，可得.17.已知.（1）若，求在区间上的最值；（2）求的极值；（3）当时，对恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，，则，令令所以函数在上单调递减；在上单调递增.且，所以在区间上的最大值为，最小值为（2）由，得，当时，，所以在单调递增，此时无极值，当时，令，令，所以在单调递减，在单调递增；所以在取得极小值，无极大值.（3）已知对恒成立，其中，将代入不等式可得，整理得，即对恒成立，令，则，因为，，令，即，解得，当时，；当时，；单调递减；在单调递增；所以在取得最小值，所以，令，设，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，即，故的取值范围为18.2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大.（1）求的值；（2）取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为.（ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率；（ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望.解：（1）由题意可知：，解得，甲通过前两个环节的概率为，构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，可知当时，取到最大值，即当时，取到最大值，所以.（2）（ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为和，甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为，恰有两人仅通过第一个环节的概率为；（ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件，则，可得，由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，则；；；；所以X的分布列为X0123PX的期望为.19.已知函数有两个不同零点，（）.（1）求a的取值范围；（2）证明：；（3）证明：.解：（1）由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，可知，且当x趋近于或时，趋近于，若函数有两个不同零点，则，即，所以a的取值范围为.（2）构建，则，可知在内单调递增，可得，即，可得，由题意可知：，则，又因为，且在内单调递增，则，所以.（3）由（2）可得，即，