2023年高中数学数列知识点总结 (一)

数列基础知识点和措施归纳

1.数列的通项

求数列通项公式的常用措施:

(1)观测与归纳法：先观测哪些原因随项数〃的I变化而变化，哪些原因不变：分析符号、数字、字母与

项数〃在变化过程中的联络，初步归纳公式。

(2)公式法：等差数列与等比数列,

(3)运用S“与/的关系求凡：a

nS“-S…伽之2)

2.等差数列的定义与性质

定义：am一a“=d(d为常数)，通项：an=a}+(n-\)d=am+(n-m)d

等差中项：x,4y成等差数歹Uo2A=x+y

、八々v(a,+a„)nn(n-l)

前九项和S〃=」-L=△——Id

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性质：｛4｝是等差数列

()若〃？+〃=〃+夕,则。川+凡

1■.fnflyzu

(2)数歹U｛外,1｝,｛%〃｝,｛a2n+l｝仍为等差数列，

S〃，S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等差数列，公差为Yd；

(3)若三个成等差数列，可设为4,a，a+d

S”勺最值可求二次函数S“=a/+加日勺最值；或者求出｛4｝中的正、负分界项,

即：当q>0,d<0,解不等式组可得5：到达最大值时H勺〃值.

c\<0

当q<0,d>0,由《"可得S”到达最小值时欧值.

K.^0

（3）｛S“｝也成等差数列；（4）两等差数列对应项和（差）构成日勺新数列仍成等差数列.

⑸4+，+…++4+1+…+%n，%n+l+%”+1+…+0如…仍成等差数列•

（8）“首正”时递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；

3.等比数列的定义与性质

定义：S=q（q为常数,夕工0）,

等比中项：x、G、y成等比数列=>6?=盯，或6=±、又

前〃项和:

“q(4-1)5(q=1)

a「a“q=%("q")(小广q.q/n(要注意！)

s“="一+—("D

\-q\-q1一夕\-q

性质：｛4｝是等比数列

aa

（1）若777+72=p+q,则a；n=4•q

（2）S„,S2f,S3-2n……仍为等比数列，公比为

注意：由S”求凡时应注意什么？

〃=1时，4=S,；

"22时，a-,一

(3)｛|可|｝、｛履“｝成等比数列；｛%｝、｛"｝成等比数列=｛4"｝成等比数列.

(4)两等比数列对应项积(商)构成的新数列仍成等比数列.

(5)41+/+・・+4,”,&+&.+［++…成等比数列.

(6)数列｝，｛的〃｝，｛。2向｝仍为等比数列，

,nn

(7)p+q=m+〃nbp.bq=bm，b"；2m=p+q=b：叫也Sm+n=Sm+c/S„=Sn+qSl

(8)等比数列的符号特性(全正或全负或一正一负)，等比数列的I首项、公比与等比数列的单调性。.(9)

等差数列与等比数列的联络：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

4.求数列前n项和时常用措施

(1)裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：｛q｝是公差为d的等差数列，求之」-

人=i%%+i

1(1

凡+"

I1

［练习］求和:1H-----F--------F

1+21+2+31+2+3+....+〃

(2)错位相减法

若｛4｝为等差数列，也｝为等比数列，求数歹IJ｛。也｝(差比数列)前〃项和，可由S「gS”,

求S“，其中q为也｝日勺公比.

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如：Sn=\+2x+3x+4x+............................................................................①

灯S〃=x+2x2+3V+4f+...+(〃-1)e+M②

①一②(1_/)S“=[+x+f+……+Z-'-nxn

』时'S"=图-I时'S”=l+2+3+•