2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第七节　数列中的创新性问题

第七节数列中的创新性问题重点解读数列中的创新性问题，往往是通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算或性质，或给出几个新模型来创设新问题的情境，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.数列的新情境问题（师生共研过关）已知数列{an}（n∈N*）满足a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，当n≥5时，an＋1＝a1a2…an－1.若数列{bn}（n∈N*）满足bn＝a1a2…an－（a12＋a22（1）求b5；解：（1）b5＝1×2×3×4×5－（12＋22＋32＋42＋52）＝65.（2）求证：当n≥5时，bn＋1－bn＝－1；解：（2）证明：bn＋1－bn＝[a1a2…anan＋1－（a12＋a22＋…＋an+12）]－[a1a2…an－（a1＝（a1a2…an）（an＋1－1）－a＝an＋1（a1a2…an－an＋1）－a1a2…an＝an＋1－a1a2…an＝－1（n≥5）.（3）求证：仅存在两个正整数m，使得bm＝0.解：（3）证明：b1＝a1－a12＝1－1＝0，b2＝a1a2－（a12＋a22）＝2－5＝－3，b3＝a1a2a3－（a12＋a22＋a32）＝6－14＝－8，b4当n≥5时，bn是以b5＝65为首项、－1为公差的等差数列.由bm＝b5＋（m－5）×（－1）＝0，解得m＝70.所以只有m＝1或m＝70时，满足bm＝0.解题技法对于新情境问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系（数量化的特征）等，建立数学模型求解.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞55且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A.95 B.105C.115 D.125解析：A将数列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8……第n行为20，21，…，2n－1，第n行和为an＝1×（1－2n）1－2＝2n－1，前n行共有n（n+1）2个数，前n（n+1）2项和为Sn＝2×（1－2n）1－2－n＝2n＋1－2－n，假设从第1行第1个数到第n＋1行第m（1≤m≤n＋1）个数共有N个数，则N＝n（n+1）2＋m，前N项和为TN＝Sn＋am＝2n＋1－2－n＋2m－1，若TN为2的整数幂，则有2＋n＝2m－1，∵N＞55，∴n数列的新定义问题（师生共研过关）若有穷数列{am}（m＝1，2，3，4，…，n；n＝2，3，4，…）满足条件①∑i=1nai＝0，②∑i=1n｜ai｜＝1，则称数列{am}为（1）写出两个递增的3阶“单位数列”；解：（1）数列1：－13，－16，数列2：－12，0，1以上两个数列均为递增的3阶“单位数列”（答案不唯一，合理即可）.（2）若等差数列{an}是一个2k＋1（k∈N*）阶“单位数列”，且是递增数列，求该数列的通项公式（用含k的代数式表示）；解：（2）设等差数列{an}的公差为d，因为该数列为递增数列，所以d＞0.由已知得a1＋a2＋a3＋…＋a2k＋1＝0，所以（2k＋1）a1＋2k（2所以a1＋kd＝0，即ak＋1＝0，所以ak＋2＝d，由递增“单位数列”的定义可得ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＋1＝12所以kd＋k（k－1）2d＝1由ak＋1＝0得a1＋k·1k（k+1）＝0，即所以an＝－1k+1＋（n－1）1k（k+1）＝nk（k+1）－1k（3）记n阶“单位数列”{am}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n），试比较｜Sk｜与12的大小解：（3）｜Sk｜≤12，理由如下（ⅰ）当k＝n时，由定义可知｜Sn｜＝0，｜Sk｜≤12成立（ⅱ）当k＜n时，由∑i=1nai＝0，得Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝－（ak＋1＋ak＋2＋…＋即｜Sk｜＝｜a1＋a2＋…＋ak｜＝｜ak＋1＋ak＋2＋…＋an｜，由∑i=1n｜ai｜＝1，得｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an所以2｜Sk｜＝｜a1＋a2＋…＋ak｜＋｜ak＋1＋ak＋2＋…＋an｜≤｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜ak｜＋｜ak＋1｜＋｜ak＋2｜＋…＋｜an｜＝1，即｜Sk｜≤12综上，｜Sk｜≤12（k＝1，2，3，…，n解题技法解决数列新定义问题的方案及流程（1）读懂题意，理解研究的对象，理解新定义数列的含义；（2）特殊分析，例如先对n＝1，2，3，…的情况讨论；（3）通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列的有关知识来求解.若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap＋1＝aq＋1，则称数列{an}具有性质p.（1）若数列{an}具有性质p，且a1＝3，a2＝2，a4＝3，a5＋a6＋a7＝4，求a3；解：（1）数列{an}具有性质p，则由a1＝a4＝3，可得a2＝a5＝2，进而a3＝a6，a4＝a7＝3，所以由a5＋a6＋a7＝4，可得a3＝a6＝4－a5－a7＝4－2－3＝－1.故a3＝－1.（2）若数列{an}具有性质p，且a1＝am＋1＝x，a2＝am＋3＝y（m≥2，m∈N*），求证：x＝y.解：（2）证明：法一因为a1＝am＋1＝x，a2＝am＋3＝y，且数列{an}具有性质p，所以a2＝am＋2＝y，进而a3＝am＋3＝y，因此a2＝a3＝y，依此类推可得，a3＝a4＝y，a4＝a5＝y，…，所以有任意n∈N*，n≥2，都有an＝y，又由已知m≥2，m∈N*，得m＋1≥3，且m＋1∈N*，故am＋1＝y＝x，所以x＝y得证.法二由数列{an}具有性质p，只要ap＝aq，则ap＋1＝aq＋1，ap＋2＝aq＋2，…，即∀k∈N*，ap＋k＝aq＋k，则有a1＝am＋1＝a2m＋1＝…＝apm＋1＝x（m≥2，m∈N*，p∈N），a2＝am＋3＝a（m＋1）＋2＝a2（m＋1）＋2＝a3（m＋1）＋2＝…＝aq（m＋1）＋2＝y（m≥2，m∈N*，q∈N），令p＝m，q＝m－1，则有am2+1＝x故x＝y得证.1.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A.814 B.C.4 D.4解析：C设第n个正方形的边长为an，则由已知可得an＝an＋1sin15°＋an＋1cos15°，∴an+1an＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63，∴{an}是以9为首项，63为公比的等比数列，∴a5＝2.科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数f（x），若数列{xn}满足xn＋1＝xn－f（xn）f'(xn），则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f（x）＝x2，数列{xn}为牛顿数列且x1＝2，an＝log2A.8 B.2C.－6 D.－4解析：C根据题意，xn＋1＝xn－f（xn）f'(xn）＝xn－xn22xn＝xn－xn2＝xn2，所以xn+1xn＝12，又x1＝2，所以{xn}为首项是2，公比是12的等比数列，所以xn＝2×（12）n－1＝（12）n－2＝22－n，所以an＝3.〔多选〕（2025·河南五市联考）对于数列{an}（n∈N*，an∈N*），定义bk为a1，a2，…，ak（k＝1，2，…，n）（n∈N*）中的最大值，把数列{bn}称为数列{an}的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（）A.若数列{an}是递减数列，则{bn}为常数列B.若数列{an}是递增数列，则有an＝bnC.满足{bn}为2，3，3，5，5的所有数列{an}的个数为8D.若an＝（－2）n－1（n∈N*），记Sn为{bn}的前n项和，则S100＝23（2100－1解析：ABD若数列{an}是递减数列，则a1是a1，a2，…，ak（k＝1，2，…，n）中的最大值，所以bn＝a1，{bn}为常数列，A正确；若数列{an}是递增数列，则ak是a1，a2，…，ak（k＝1，2，…，n）中的最大值，所以bk＝ak，即an＝bn，B正确；若{bn}为2，3，3，5，5，则a1＝2，a2＝3，a3可以取1，2，3，a4＝5，a5可以取1，2，3，4，5，故符合要求的数列{an}的个数为3×5＝15，C错误；若an＝（－2）n－1（n∈N*），则数列{an}中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，则有b2k－1＝b2k＝（－2）2k－2＝22k－2（k∈N*），所以S100＝2（1＋22＋24＋…＋298）＝23（2100－1），D正确.故选A、B、D4.〔多选〕已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得Sn＝am，则称{an}为“回旋数列”.以下结论中正确的是（）A.若an＝2026n，则{an}为“回旋数列”B.设{an}为等比数列，且公比q为有理数，则{an}为“回旋数列”C.设{an}为等差数列，当a1＝1，公差d＜0时，若{an}为“回旋数列”，则d＝－1D.若{an}为“回旋数列”，则对任意n∈N*，总存在m∈N*，使得an＝Sm解析：AC对于A，由an＝2026n可得Sn＝2026×（1＋2＋3＋…＋n）＝2026×n（n+1）2，由Sn＝am可得2026×n（n+1）2＝2026m，取m＝n（n+1）2即可，则{an}为“回旋数列”，故A正确；对于B，当q＝1时，Sn＝na1，am＝a1，由Sn＝am可得na1＝a1，故当n＝2时，很明显na1＝a1不成立，故{an}不是“回旋数列”，故B错误；对于C，{an}是等差数列，故am＝1＋（m－1）d，Sn＝n＋n（n－1）2d，因为数列{an}是“回旋数列”，所以1＋（m－1）d＝n＋n（n－1）2d，即m＝n－1d＋n（n－1）2＋1，其中n（n－1）2为非负整数，所以要保证n－1d恒为整数，故d为所有非负整数的公约数，且d＜0，所以d＝－1，故C正确；对于D，由A可知，当an＝2026n时，{a5.已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝an2，an为偶数，3an+1，an为奇数，若a6解析：∵数列{an}满足a1＝m（m为正整数），an＋1＝an2，an为偶数，3an+1，an为奇数，由a6＝1和上式知，a5一定为偶数且a52＝1，即a5＝2，由题意知an∈N*，若3a4＋1＝2，解得a4＝13∉N*，故a4为偶数，且a42＝2，∴a4＝4.由此可按上述分析得到a3＝8或a3＝1，若a3＝8，则a2＝16，a1＝32或a1＝5；若a3＝1，则6.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为5.解析：由题意可知，将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…，该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…，4n项均是3的倍数，甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m－4.问题可化为求数列{4n}与{5m－4}的公共项，易知，当m＝4k，n＝5k－1时，5m－4＝20k－4＝4n，又1＜4n≤100，∴20k－4≤100.∴k≤5，∴甲拍手的总次数为5次.即第16，36，56，76，96次报数时拍手.7.（2024·咸阳三模）数列{an}的前n项的最大值记为Mn，即Mn＝max{a1，a2，…，an}；前n项的最小值记为mn，即mn＝min{a1，a2，…，an}，令pn＝Mn－mn，并将数列{pn}称为{an}的“生成数列”.（1）设数列{pn}的“生成数列”为{qn}，求证：pn＝qn；解：（1）证明：由题意可知Mn＋1≥Mn，mn＋1≤mn，∴Mn＋1－mn＋1≥Mn－mn，因此pn＋1≥pn，即{pn}是递增数列，且p1＝M1－m1＝0，由“生成数列”的定义可得pn＝qn.（2）若an＝2n－3n，求其生成数列{pn}的前n项和.解：（2）当n≥3时，an－an－1＝2n－3n－[2n－1－3（n－1）]＝2n－1－3＞0，∴an＞an－1.∴a1＞a2＜a3＜a4＜…＜an＜…，又a1＝－1，a2＝－2，a3＝－1，∴p1＝0，p2＝－1－（－2）＝1，当n≥3时，pn＝an－a2＝2n－3n－（－2）＝2n－（3n－2）.设数列{pn}的前n项和为Sn.则S1＝0，S2＝1.当n≥3时，Sn＝0＋1＋p3＋p4＋…＋pn＝1＋（23－7）＋（24－10）＋…＋[2n－（3n－2）]＝1＋（23＋24＋…＋2n）－[7＋10＋…＋（3n－2）]＝1＋23×＝2n＋1－3n又S2＝1符合上式，∴Sn＝08.（2024·北京顺义模拟）将平面直角坐标系中的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…记为{An}.设f（n）＝AnAn+1·j，其中j为与y轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数n，都有f（n＋1）＞f（n），则称{An}（1）判断A1（1，1），A2（2，12），A3（3，13），…，An（n，1n），…是否为T点列解：（1）{An}为T点列，理由如下：由题意可知，AnAn+1＝（1，1n+1－1n），j＝（0，1），所以f（n）＝Af（n＋1）－f（n）＝1n+2－1n+1－（1n+1－1n）＝2n（n+1)(n+2）＞0，即所以A1（1，1），A2（2，12），A3（3，13），…，An（n，1n），…为（2）若{An}为T点列，且a2＞a1.任取其中连续三点Ak，Ak＋1，AAk＋2，证明△AkAk＋1AAk＋2为钝角三角形.解：（2）证明：由题意可知，AnAn+1＝（1，an＋1－an），j＝（0，1），所以f（n）＝AnAn+1·j＝因为{An}为T点列，所以f（n＋1）－f（n）＝an＋2－an＋1－（an＋1－an）＞0，n∈N*，又因为a2＞a1，所以a2－a1＞0.所以对{An}中连续三点Ak，Ak＋1，Ak＋2，都有ak＋2－ak＋1＞ak＋1－ak＞0，ak＋2＞ak＋1＞ak.因为AkAk+1＝（1，ak＋1－ak），Ak+1Ak+2＝（1，ak＋2－ak＋1），ak＋2－ak＋1＞ak＋1－ak＞0，故AkAk+1与Ak+1Ak因为Ak+1Ak·Ak+1Ak+2＝－1＋（ak－ak＋1）·（ak＋所以cos∠AkAk＋1Ak＋2＝Ak+1Ak·Ak+1Ak+2｜Ak+1Ak所以△AkAk＋1Ak＋2为钝角三角形.9.（2024·九江二模）已知无穷数列{an}中，an≥0，记An＝max{a1，a2，…，an}，Bn＝min{an＋1，an＋2，…}，dn＝An－Bn.（1）若{an}为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即∀n∈N*，an＋4＝an），直接写出d1，d2，d3，d4的值；（2）若{an}为周期数列，证明：∃n0∈N*，使得当n＞n0时，dn是常数；（3）设d是非负整数，证明：dn＝－d（n＝1，2，3，…）的充要条件为{an}是公差为d的等差数列.解：（1）d1＝2，d2＝2，d3＝2，d4＝4.（2）证明：不妨设{an}的周期为T（T∈N*），记AT＝max{a1，a2，…，aT}，BT＝min{aT＋1，aT＋2，…}，则当n＞T时，dn＝AT－BT是常数，即∃n0＝T，使得当n＞n0时，dn是常数.（3）证明：充分性：若{an}是公差为d的等差数列，则an＝a1＋（n－1）d，于是An＝an＝a1＋（n－1）d，Bn＝an＋1＝a1＋nd.因此dn＝An－Bn＝－d（n＝1，2，3，…），必要性：∵dn＝－d≤0，∴An＝Bn＋dn≤Bn，∵an≤An，an＋1≥Bn，∴an≤an＋1，于是An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d.故数列{an}是公差为d的等差数列.10.（2025·重庆一中模拟）对于数列{an}，定义Δan＝an＋1－an（n∈N*），数列{an}满足a1＝a2＝1，Δ（Δan）＝m（m∈R），记f（m，n）＝a1m＋a2m2＋…＋anmn，称f（m，n）为由数列{an}生成的“m-函数”.（1）试写出“2-函数”f（2，n），并求f（2，3）的值；（2）若“1-函数”f（1，n）的值小于等于15，求n的最大值；（3）记函数S（x）＝x＋2x2＋…＋nxn，其导函数为S'（x）.证明：“m-函数”f（m，n）＝m22S'（m）－3m2S（m）＋（m＋1）解