2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第一节　计数原理

第一节计数原理课标要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例，理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.1.两个计数原理（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.2.排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合3.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数公式Anm＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1Cnm＝A性质Ann＝n！，0Cn0＝1，Cnm＝Cnn1.分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，特殊元素（位置）优先排.2.分排问题直接排.3.（1）Anm＝n（2）Cnm＝nmCn－11.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（√）（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.（×）（3）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（×）（4）若组合数公式Cnx＝Cnm，则x＝m成立.（2.（人A选三P5练习1（1）题）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是9.解析：因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9.3.（人A选三P25练习3（2）题改编）有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.如果物理和化学恰有1门被选，那么共有12种不同的选法.解析：如果物理和化学恰有1门被选，那么共有C21C42＝124.（人A选三P37复习参考题1（3）题）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是480.解析：先考虑某歌手的位置不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有4个位置可以选，共有C41＝4种结果，剩下5人在5个不同位置，共有A55＝120种结果，所以不同安排方法有C41A555.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有288种不同的排法.解析：第一步排音乐节目，有A44种排法；第二步排舞蹈节目，有A33种排法；第三步排曲艺节目，有A22种排法.所以共有A4两个计数原理（基础自学过关）1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（）A.4种 B.10种C.18种 D.20种解析：B赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法；赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10（种）.2.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A.243 B.252C.261 D.279解析：B组成的三位数可分两类：一类有重复数字，另一类无重复数字.先算无重复数字的三位数的个数：第一步，排百位数字，有9种方法（0不能排首位），第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据分步乘法计数原理，共有9×9×8＝648（个）没有重复数字的三位数.又组成的所有三位数的个数为9×10×10＝900，所以有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.3.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种解析：C分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2×1＝24（种）；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48（种）.故不同的涂色方法有48＋24＝72（种）.4.〔多选〕现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A.共有43种不同的安排方法B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C.若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种解析：ABD对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43（种）选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64（种）情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27（种），则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37（种），故B正确；对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16（种）安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24（种）安排方法，故D正确.5.如图所示，该电路从A到B共有7条不同线路可以通电；合上两只开关可以接通电路，有13种不同的方法.解析：先“分类”再“分步”.从总体上看由A到B的通电线路可分三类，第一类：2×1＝2（条）；第二类：1条；第三类：2×2＝4（条），根据分类加法计数原理，共有2＋1＋4＝7（条）不同线路可以通电；由题知合上两只开关可以接通电路的情况分两类：第一类：中路的开关不合上，有2×1＋2×2＝6（种）；第二类：中路的开关合上，有7种，因此共有6＋7＝13（种）不同的方法.练后悟通1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤2.对于分类过多的问题，可以采用间接法，利用正难则反的原则，先计算出全部的再减去不符合要求的.简单的排列与组合问题（师生共研过关）（1）（2025·烟台、德州一模）将8个大小、形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（B）A.3 B.6C.10 D.15（2）（2024·日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（B）A.9种 B.36种C.38种 D.45种（3）（2025·江西名校联盟）甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组.已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（C）A.45种 B.81种C.90种 D.162种解析：（1）依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有C31种方法，放入两个盒子有C32种方法，所以不同放法的种数为C31＋C（2）从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，2部影片进行全排列，故共有C42C31A22＝6（3）根据题意，4个兴趣小组中必有两个有2人选择，两个有1人选择，根据有2人选择的小组是同样的两个人还是3人分两种情况：当有2人选择的小组是同样的两个人时，有C42×C32＝6×3＝18种选法；当有2人选择的小组是由3人构成时，有C42×C31×C21×C21＝解题技法1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.2.组合问题常见的两类题型（1）“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.1.（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有660种不同的选法（用数字作答）.解析：法一只有1名女生时，先选1名女生，有C21种方法；再选3名男生，有C63种方法；然后排队长、副队长位置，有A42种方法.由分步乘法计数原理知，共有C21C63A42＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C62种方法；然后排队长、副队长位置，有A42种方法.由分步乘法计数原理知，共有C62法二不考虑限制条件，共有A82C62种不同的选法，而没有女生的选法有A62C42种，故至少有1名女生的选法有A8排列与组合的综合问题（定向精析突破）考向1相邻与相间问题（1）（2025·滨州一模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（）A.42种 B.40种C.36种 D.30种（2）（2024·河南九师联盟）有除颜色外大小相同的9个小球，其中有2个红球，3个白球，4个黑球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相邻，3个白球两两互不相邻，不同的排列种数为（）A.100 B.120C.10800 D.21600答案：（1）B（2）A解析：（1）甲、乙相邻的排列数是A22A44，其中甲、乙相邻且丙排在5月3日的排列数为2A22A22，所以不同的安排方案共有A2（2）将4个黑球放好有一种，形成5个空，从中选一个空将2个红球作为一个整体排上，有C51种排法，如此就形成6个空，将3个白球插空到6个空中，有C63种排法，由分步乘法计数原理得，共有C51C解题技法相邻、相间问题的解题策略（1）求相邻问题时用捆绑法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（2）求不相邻问题时用插空法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.考向2定序问题元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（）A.32种 B.70种C.90种 D.280种解析：B因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有A88A44A44解题技法定序问题的求解方法n个不同元素的全排列有Ann种排法，m个特殊元素的全排列有Amm种排法.当这m个元素顺序确定时，提醒对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.考向3分组、分配问题按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本；（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.解：（1）无序不均匀分组问题：先选1本有C61种选法，再从余下的5本中选2本有C52种选法，最后余下的3本全选有C33种选法.故有（2）有序不均匀分组问题：由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配，共有C61C52C3（3）无序均匀分组问题：先分三步，则应是C62C42C22种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C62C42C22种分法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF（4）有序均匀分组问题：在（3）问的基础上再分配给3个人，共有分配方式C62C42C（5）无序部分均匀分组问题：共有C64C21C1（6）有序部分均匀分组问题：在（5）问的基础上再分配给3个人，共有分配方式C64C21C（7）直接分配问题：甲选1本有C61种选法，乙从余下5本中选1本有C51种选法，余下4本给丙有C44种选法，共有解题技法1.分配问题属于“排列”问题，要按排列模型求解；而分组问题属于“组合”问题，要按组合模型求解.区分是分组问题还是分配问题的关键是看有无分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的分配对象，则为定向分配问题，否则，为不定向分配问题.2.对不同元素分组、分配问题的求解策略（1）对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann（n为均分的组数），避免重复计数.（2）对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；（3）对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有无序不平均分组和有序不平均分组两种情形.1.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A.518B.625C.925解析：C先将5位同学分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为（C53C21A22＋C52C32A22）×A33＝150，甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为A2.〔多选〕甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种解析：ABC如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A44＝24（种），故A正确；最左端排甲时，有A44＝24（种）不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有C31A33＝18（种）不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42（种），故B正确；因为甲、乙不相邻，先排甲、乙以外的三人，再让甲、乙插空，则有A33A42＝72（种），故C3.某运动会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者活动，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者.若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）解析：法一选拔方案可分为3类：①甲被选中一定参加C项目，则B项目在剩余3人中选1人参加，之后A项目再从剩下的2人和乙共3人中选1人参加，共有C31C31＝9（种）情况；②当甲未参加而乙参加，则乙参加A项目，剩余3人中取2人参加剩下的两个项目，有A32＝6（种）情况；③甲、乙都不参加，则剩余3人全排列，有A33＝6（种）情况.综上，一共有法二观察到甲只能参加C项目或不参加项目，乙只能参加A项目或不参加项目，则其他3人选1人参加B项目，有C31种情况；接下来考虑A项目，有2种情况：①乙参加，则只需从剩余3人中选1人参加C项目，有C31种情况；②乙不参加，则需考虑从剩余2人中选1人（不含甲）参加A项目，有C21种情况，之后需从剩余2人中选1人（含甲）参加C项目，有C21种情况.综上，法三不考虑特殊情况，有A53＝60（种）情况；考虑甲参加A或B项目，有A21A42＝24（种）；同理，考虑乙参加B或C项目，有A21A42＝24（种）；而考虑甲参加A或B项目，乙参加B或C项目，共有3种情况，剩余1个项目在其他3人中选1人参加，共有3×C31＝9（种）情况.由容斥原理可知，满足条件的共有1.汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A，B，C，D，E（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A.20 B.15C.10 D.5解析：C先固定第一个位置有C51＝5种，如先固定A为第一个位置，则第二步只能固定C或D，依次ACEBD或ADBEC两种，同理分别让B，C，D，E为第一个位置，分别各有2种，所以共有102.（2025·石家庄质量检测）某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（）A.24 B.10C.16 D.12解析：D若乙值前两天，则甲有两种选择，共有C21A22＝4种不同安排方法，若乙值后两天，则甲有两种选择，共有C21A22＝4种不同安排方法，若乙不值第一天和最后一天，共有C21A22＝43.按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有不同的编码的种数为（）A.120 B.60C.40 D.10解析：D该题等价于将5个元素（其中3个元素相同，另2个元素也相同）排成一列，所有排列数N＝A55A22·4.〔多选〕甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（）A.A55－A44 BC.C11C2解析：BCD特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，四名同学全排，再去掉甲与老师相邻的情况，则不同的站法种数为A44－C21A33；特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有C11·C21种站法，其余三名学生任意排列有A33种排法，则不同的站法种数为C11C21A5.〔多选〕现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是（）A.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法B.将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种C.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种D.将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种解析：BCD若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256（种）放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C42（A22＋1）＝18（种）放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有C41·C41·C31·C22·A33A22＝144（种）放法，故C正确；编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若（2，1，4，3）代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，所有符合要求的情况为（2，1，4，3），（4，1，2，3），（3，1，4，2），（2，4，1，3），（3，4，1，2），（4，3，1，2），（2，3，4，1），（36.《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为51.解析：法一恰有2个一级医院，有C32C62＝45种抽法；恰有3个一级医院，有C33C61＝6种抽法法二从9个医院里抽出4个医院进行药品抽检，共有C94＝126种抽法，抽出的医院中至少有2个一级医院的对立事件是抽出的医院中至多有1个一级医院，则恰有0个一级医院，有C30C64＝15种抽法，恰有1个一级医院，有C31C63＝60种抽法7.在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是1920.解析：如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；第四步：若区域D与区域A种植同