2026版三维设计一轮高中总复习数学课时跟踪检测-第十一节　立体几何中的创新性问题

第十一节立体几何中的创新性问题1.用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥轴截面半顶角为α，截口曲线形状与θ，α有如下关系：当θ＞α时，截口曲线为椭圆；当θ＝α时，截口曲线为抛物线：当θ＜α时，截口曲线为双曲线.如图1所示，其中θ，α∈（0，π2），现有一定线段AB，其与平面β所成角φ（如图2），B为斜足，β上一动点P满足∠BAP＝γ，设P点在β的运动轨迹是Γ，则（A.当φ＝π6，γ＝π4时，B.当φ＝π3，γ＝π6时，C.当φ＝π4，γ＝π4时，D.当φ＝π3，γ＝π4时，2.由空间一点O出发不共面的三条射线OA，OB，OC及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为O-ABC.其中O叫做三面角的顶点，面AOB，BOC，COA叫做三面角的面，∠AOB，∠BOC，∠AOC叫做三面角的三个面角，分别记为α，β，γ，二面角A-OB-C、B-OA-C、A-OC-B叫做三面角的二面角，设二面角A-OC-B的平面角大小为x，则一定成立的是（）A.cosx＝cosB.cosx＝cosC.cosx＝sinD.cosx＝sin3.〔多选〕设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1－12π（∠Q1PQ2＋∠Q2PQ3＋…＋∠Qk－1PQk＋∠QkPQ1），其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk－1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，AA1＝AB，则下列说法正确的是（A.四棱柱ABCD-A1B1C1D1在其各顶点处的离散曲率都相等B.若AC＝BD，则四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为1C.若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为712，则AC1⊥平面A1D.若四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为13，则直线BC1与平面ACC1所成的角的正弦值为4.已知一个四面体ABCD被n＋1（n为奇数，且n≥3）个平行于AB，CD且等距离的平面α0，α1，α2，…，αn分成n部分，其中AB⊂α0，CD⊂αn.设这n部分的体积依次为V1，V2，…，Vn，记V奇＝∑i为奇数Vi，V偶＝∑i为偶数Vi，则5.（操作题）如图1，将3个2×2的正方形沿一组邻边的中点连线剪开分成两部分，把这6部分接于一边长为2的正六边形中，如图2.若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体能容纳的最大球的半径为.6.设S是空间中n个不同的点构成的集合，n≥4且n∈N*，其中任意四点不在同一个平面上，dAB表示点A，B间的距离，记集合τ（S）＝{dAB｜∀A，B∈S，A≠B}.已知四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1.（1）求二面角C-AD-B的余弦值；（2）若S＝{A，B，C，D}，求τ（S）.7.〔多选〕如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为mn，则（A.三棱锥的直度的最大值为1B.直度为34C.四棱锥的直度的最大值为1D.四棱锥的直度的最大值为48.〔多选〕球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，若a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC.设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则下列结论正确的是（）A.若平面△ABC是面积为34R2的等边三角形，则a＝b＝c＝B.若a2＋b2＝c2，则α2＋β2＝γ2C.若a＝b＝c＝π3R，则球面O-ABC的体积V＞212D.若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB＝π2，则a2＋b2＝c9.（新定义）若点M在平面α外，过点M作平面α的垂线，则称垂足N为点M在平面α内的正投影，记为N＝fα（M）.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点（与C，C1不重合），Q1＝fγ[fβ（P）]，Q2＝fβ[fγ（P）].给出下列三个结论：①线段PQ2长度的取值范围是［12，22）；②存在点P，使得PQ1∥平面β；③存在点P，使得PQ1⊥PQ2.其中正确结论的序号是10.（2025·八省联考）在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ADC＝30°，∠DA