2023年立高中数学必修二立体几何知识点总结及例题

立体几何初步

一、柱、锥、台、球的图形

（1）棱柱：（2）棱锥（3）棱台:（4）圆柱:

（5）圆锥：（6）圆台:（7）球体:

二、空间几何体的三视图

三视图：主视图、左视图、俯视图【注：主视图反应了物体的高度和长度；俯视图反应了物

体的长度和宽度：左视图反应了物体II勺高度和宽度。］

三、空间几何体的直观图一一斜二测画法

斜二测画法特点：①本来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②本来与y轴平行口勺线段仍然与y平行，长度为本来口勺二分之一。

四、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高,h'为斜高,1为母线）

S直极柱侧面积=chS圆柱侧=27n'hS正枝铢侧面积=/°”

s圆锥侧面积="

S正枝台蚀面枳=耳（°】+c2）h's圆台侧面积=（，+R）用

S[R]台表=疝厂+"+RI+R

S圆柱表=2Mr+')S网推表=+/）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

%=ShVm=Sh=7rr~h%=；弘/惟=；"%

咋=g（S'+4s~s+S）h/台=g（S+阮+S）〃=g"（'+，火+R2）h

（4）球体的表面积和体积公式:V葬团；S（3=团

五、空间点、直线、平面的位置关系

公理1：假如一条直线的两点在一种平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。【的

公理2：通过不在同一条直线上的三点，有且只有一种平面

公理3:假如两个不重叠的平面有一种公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

【例】

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行

①等角定理：假如一种角的两边和另一种角的两边分别平行，那么这两角相等或互

补。

②1、空间直线之间的位置关系：

③共面直线（相交直线、平行直线）②异面直线

（1）异面直线所成角：

作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°,90。］,

若两条异面直线所成的角是直角，这两条异面直线互相垂直。

（2）求异面直线所成角环节：

①运用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同步平移到某个特殊的位置，顶点选

在特殊的位置上。

②证明作出H勺角即为所求角

③运用三角形来求角

2.空间直线与平面之间的位置关系

，直线在平面内一一有无数个公共点；［aua］

［直线与平面相交一一有且只有一种公共点；【aCla=A】

直线与平面平行一一没有公共点：【a〃a】

注：直线与平面相交或平行统称为直线在平面外

3、平面与平面之间的位置关系：

・两平面平行一一没有公共点；【a〃B】

两平面相交一一有一条公共直线；［QnB=B】

六、空间中的平行问题

1.直线与平面平行的鉴定及其性质

①线面平行日勺鉴定定理：平面外一条直线与此平面内一袋直线平行，则该直线与此平面平行。

【线线平行团线面平行】

②线面平行日勺性质定理：假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相

交，那么这条直线和交线平行。【线面平行回线线平行】

2.平面与平面平行的鉴定及其性质

(1)两个平面平行日勺鉴定定理：

①假如一种平面内的两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行。

【线面平行一面面平行】

②假如在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

【线线平行一面面平行】

③垂直于同•条直线的两个平面平行，

(2)两个平面平行H勺性质定理：

①假如两个平面平行，那么某一种平面内日勺直线与另一种平面平行。

【面面平行一线面平行】

②假如两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

【面面平行一线线平行】

七、空间中的垂直问题

1.线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的I垂直：假如两条异面直线所成日勺角是直角，就说这两条异面直线互相垂

直。

②线面垂直：假如一条直线和--种平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面

垂直。

③平面和平面垂直：假如两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所构

成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

2.垂直关系的鉴定和性质定理

①线面垂直鉴定定理和性质定理

鉴定定理：假如一条直线和一种平面内H勺两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平

面。

性质定理：假如两条直线同垂直于一种平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直欧J鉴定定理和性质定理

鉴定定理：假如一种平面通过另一种平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

八、性质定理：假如两个平面互相垂直，那么在•种平面内垂直于他们的交线的I直线垂直于

另一种平面。

九、空间角问题

①1.直线与直线所成的角

②两平行直线所成的角：规定为人

两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不不小于直角口勺角，叫这两条直线所成口勺角。

两条异面直线所成的角：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线a,b平行日勺直线a\b\

形成两条相交直线，这两条相交直线所成“勺不不小于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

2.直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为90o。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条

直线和这个平面所成的J角,

・求斜线与平面所成角（思绪类似于求异面直线所成角）：“一作，二证，三计算”。

（1）作斜线上任意•点到面的垂线；并得到射影；

（2）连接斜线、垂线、射影构成三角形；

（3）根据三角形算出斜线与平面的夹角。

3.二面角和二面角欧J平面角

(1)二面角的定义：从一条直线出发H勺两个半平面所构成H勺图形叫做二面角，这条直线叫做

二面角的棱，这两个半平面叫做二面角日勺面。

(2)二面角口勺平面角：以二面角H勺棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱肚两条

射线，这两条射线所成日勺角叫二面角的平面角。

(3)直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面假如所构成的二面角是直二面角，那么这两人平面垂直；反过来，假如两个平面

垂直，那么所成的二面角为直二面角

(4)求二面角的措施

①定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面体作垂直于棱的射线得到平面角

②垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的

角为二面角的T平面角

例.下面几何体中，过轴欧1截面一定是圆面的是()

A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台

分析：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的J轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形,

球的轴截面是圆面，因此A.B.D均不对的.

答案：C

例.已知一种正方形的直观图是一种平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面积是

()

A.16B.64C.16或64D.都不对

分析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为本来的

二分之一，于是长为4的边假如平行于x轴，则正方形边长为4,面积为16,边长为4时边

假如平行于y轴，则正方形边长为8,面积是64.

答案:C

例.有关“斜二测画法”，下列说法不对的的是()

A.原图形中平行于x轴日勺线段，其对应线段平行于X,轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴口勺线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为本来的

C.在画与直角坐标系xOy对应日勺x'O'y'时，Nx'O'y'必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不一样，所得的直观图也许不一样

分析：在画与直角坐标系xOy对应欧Jx，O'/时，ZxzO'/也可以是135°,因

此C不对的.

答案：C

例.一种三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是

（）

A.2V6B.476C.6D.都不对

分析：直观图的面积为：；由斜二测法中直观图和原图面积关系得，：.原三角形的面

积=

答案:A

例.一种水平放置的平面图形的直观图是一种底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形，

则该平面图形的面积等于（）

A.-+—B,1+—C.1+V2D.2+V2

222

分析：直观图的面积为：；由斜二测法中直观图和原图面积关系得，二原三角形的面

积二.

答案：D

例（宁夏模拟，理6）长方体AC1欧J长、宽、高分别为3、2、1,从A到C1沿长方体的表

面的最短距离为（）

A.1+V3B.2+V10C.372D.273

答案:C

例.（湖南数学竞赛,9）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相似方向拼成棱长为90的正方

体，