2024-2025学年辽宁省重点高中联合体高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省重点高中联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i(3−i)在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(3,4)，b=(2,1)，则cos〈A.23 B.223 3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=2π3，b=1，B=π4，则C和aA.π12，64 B.5π12，64 C.5π124.已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为(

)A.75 B.150 C.200 D.4005.将函数f(x)=cosx的图象上的每个点向右平移π2个单位长度，再向上平移23个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，则g(x)=(

)A.3cosx−23 B.3sinx+2 C.3sinx+1 6.在△ADT中，已知∠DTA=π3，AD=2，则△ADT面积的最大值为(

)A.1 B.3 C.3 D.7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，A.25

B.26

C.8.已知直线族lk：y=kπω(k∈N∗)与曲线y=sinx在区间(0,π)A.1013π B.1013 C.1012π D.1012二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于斜二测画法，下列命题为真命题的有(

)A.平行关系在直观图与原图中保持不变

B.斜二测画法不会改变边长比例

C.斜二测画法会改变直角关系

D.通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等10.已知复数z，w是方程x2−2x+2=0的两个根，且在复平面内，z对应的点M在ω对应的点N的上方，O为坐标原点，则(

)A.z=1+i B.OM⋅ON=1 C.|z−2w|=11.已知tanα+tanβ=−tan(α+β)≠0，则tanα+β2A.22 B.−1 C.12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知5tan(π2−θ)=1，则2sinθcos13.已知边长为4的菱形ABCD的一个内角为π3，则AB⋅AD=14.如图，在三棱锥P−ABC中，D为BC的中点，平面PAD⊥平面ABC，PD⊥BD，BD=PD=1，AD=5，三棱锥P−ABC的体积为23，则锐二面角P−BC−A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a=(2,3)，b=(sinx,cosx)．

(1)若a⊥b，求sinx−3cosxcosx+2sinx的值；

(2)若x=0，且a与a16.(本小题15分)

如图，已知正四面体PABC，M，N，Q，R分别是棱PA，PC，AB，BC的中点．

(1)证明：四边形MNRQ为菱形；

(2)求异面直线BM与QR所成角的余弦值．17.(本小题15分)

在△ABC中，A是锐角，且cosBcosC=1−sinBsinC．

(1)求B；

(2)设P是△ABC所在平面内的一点，A，P位于直线BC两侧，若AB=BC=BP=2，且∠PBC=∠APC，求四边形18.(本小题17分)

已知函数f(x)=tan(ωx+π3)(ω>0)．

(1)若ω=2，求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间(−π3,π6)上有定义．

(i)求ω的最大值；19.(本小题17分)

①斜圆锥，顾名思义，即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体.保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变，将顶点位置改变后，所得到的锥体即为斜圆锥．

②祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．

(1)如图，已知圆柱的上底面圆心为P，下底面圆心为O，圆锥⊥的顶点为P，底面与圆柱的下底面相同.Q是圆柱的上底面圆周上一点，将Q与圆柱下底面圆周上的点相连，记构成的封闭几何体为斜圆锥Λ′.α是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，A，B是圆柱下底面圆周上的两点，AQ∩α=M，BQ∩α=NBQ∩α=N．

(i)证明：QM⋅QB=QA⋅QN；

(ii)证明：α截Λ′所得的图形为圆面；

(2)已知斜圆锥的底面半径为r，底面中心与顶点的连线长度为L

参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.B

6.B

7.A

8.A

9.AC

10.ACD

11.AD

12.10

13.8或−8

14.2

15.(1)因为a⊥b，所以a⋅b=2sinx+3cosx=0，所以tanx=−32，

所以sinx−3cosxcosx+2sinx=tanx−31+2tanx=−32−31+2×(−32)=94；

(2)x=0时，b=(0,1)，a+mb=(2,3)+(0,m)=(2,3+m)，

a与a+mb16.(1)证明：正四面体PABC，M，N，Q，R分别是棱PA，PC，AB，BC的中点，

∴MN为△PAC的中位线，

∴MN//AC，且MN=12AC，

同理可得QR//AC，且QR=12AC，

∴MN//QR，且MN=QR，∴四边形MNRQ为平行四边形，

同理有MQ=12PB，

∵在正四面体中，PB=AC，∴MQ=MN，

∴四边形MNRQ为菱形．

(2)∵QR//MN，∴∠BMN即为异面直线BM，QR所成的角，

设正四面体的棱长为2a，则BM=BN=3a，MN=a，

17.(1)依题意得sinCcosB+cosCsinB=cosC，故sin(B+C)=cosC，

在△ABC中，A+B+C=π，C∈(0,π)，A∈(0,π2)，

所以sin(B+C)=sinA=cos(π2−A)=cosC，

所以π2−A=C，故B=π2；

(2)由(1)知，B=π2，因为AB=BC=BP=2，

所以AC=22，且点B为△APC的外接圆的圆心，圆的半径为2，

由正弦定理得，ACsin∠APC=2R=4，解得sin∠APC=22，

因为18.(1)当ω=2时，f(x)=tan(2x+π3)，

则T=π2；

(2)(i)当x∈(−π3,π6)时，ωx+π3∈(−ωπ3+π3,ωπ6+π3)，ω>0，

若f(x)在(−π3,π6)上有定义，则−ωπ3+π3≥−π2ωπ6+π3≤π219.(1)(ⅰ)由题意圆柱的上底面圆心为P，下底面圆心为O，圆锥⊥的顶点为P，底面与圆柱的下底面相同．Q是圆柱的上底面圆周上一点，

α是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，

可知平面α//平面OAB，且平面QAB∩平面OAB=AB.又因为AQ∩α=M，BQ∩α=N，即平面QAB∩α=MN，所以MN//AB．

由于平行线分线段成比例，所以QMQA=QNQB，即QM⋅QB=QA⋅QN．

(ii)如图，

连接OQ，记OQ∩α=O1，连O1M，O1N，

因为OQ∩α=O1，AQ∩α=M，所以平面QAO∩平面α=O1M，

又平面α//平面OAB，平面QAO∩平面OAB=AO，

所以O1M//OA，于是有O1MOA=QO1QO，

同理可得O1NOB=QO1QO，又OA=OB，

所以O1M=O1N，

由于A，B是圆柱下底面圆周上的任意两点，故结论具有一般性，所以α截Λ