2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第12讲 函数的单调性与最值（教师版）

第12讲函数的单调性与最值内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的知识点2单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【注意】函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能是开区间。单调区间D定义域I。遵循最简原则，单调区间尽可能大。单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和来表示。”知识点3函数单调性的判断定义法证明函数单调性的步骤取值：设为区间nei任意的两个值，且；作差变形：，通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；下结论：根据定义做出结论。2、函数的复合：f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)增+增=增增-增增+减增-减=增减+减=减减-减减+增减-增=减注意：加同不变，减异随前。3.复合函数：内函数外函数增增增增减减减增减减减增注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。知识点4函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值教材习题01已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．解题方法要想满足在R上是减函数，则二次函数的对称轴，且，解得，所以实数a的取值范围是.【答案】教材习题02证明：函数在定义域R上是增函数．解题方法证明：任取，且，则因为，所以，所以，所以函数在定义域上是增函数.【答案】见解析教材习题03研究函数的图象和性质，其中，，，都是实常数．解题方法因为，若，所以可以由反比例函数经过平移而得到，所以函数的定义域为，值域为，对称中心为，当，函数在上单调递减，在上单调递减；①当且时函数图象如下所示：

②当且时函数图象如下所示：

③当且时函数图象如下所示：

④当且时函数图象如下所示：

当，函数在上单调递增，在上单调递增；①当且时函数图象如下所示：

②当且时函数图象如下所示：

③当且时函数图象如下所示：

④当且时函数图象如下所示：

若，则，函数的定义域为，值域为，图象为一条平行于轴的直线（去掉点）.【答案】见解析考点一定义法判断或证明函数单调性1．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是．【答案】【详解】依题意，不妨设，则，即，因此函数是定义在R上的增函数，由，得，解得，所以的解集为.故答案为：2．已知函数，.(1)判断函数的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值.【答案】(1)在上是增函数，证明见解析(2)最小值为，最大值为【详解】（1）在上是增函数，证明如下：任取且，.，，，，即，在上为增函数.（2）由（1）知，在上为增函数，则，.3．已知函数在上满足，且当时，；当时，．(1)求的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)在R上单调递减，证明见解析；(3).【详解】（1）令，则，故，可得，令，则，当，则，即，与题设不符，所以；（2）在R上单调递增，证明如下：当时，；当时，，由（1）知，由，当，即，，，所以，即在上单调递减，当，则，，，所以，即在上单调递减，综上，结合，易知在R上单调递减，得证.（3）令，则，故，即，所以，则，由（2）知，，即，可得或，所以不等式解集为.4．求证：在R上是减函数．【答案】证明见解析【详解】，在实数集上任取，则，又由，则，且不同时为零，所以，，即，故在R上是减函数.考点二求函数单调区间1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】若，则当时，函数单调递增，又，函数在上单调递减，若，则当时，函数单调递减，只有时，才有可能使函数在上单调递减，，解得综上，实数的取值范围是故选：A（多选题）2．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（

）A．在上是减函数 B．在上是减函数C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数【答案】BCD【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立．（多选题）3．已知函数若的最小值为，则（

）A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增C． D．函数的最小值为【答案】ACD【详解】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确．4．函数的单调递减区间为.【答案】【详解】由，解得或，则函数的定义域是，二次函数的开口向上，对称轴为，所以的单调递减区间是.故答案为：5．求函数的单调区间，并指出其值域【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为.【详解】即图象如图所示由图象知，函数在和上是增函数，在和上是减函数,,所以函数的单调递增区间为和，递减区间为和，值域为.考点三利用函数单调性求参数1．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数在上单调递增，依题意，，而，因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根，函数在上单调递减，函数值集合为；在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根，得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D2．若函数在区间上的最大值为3，则实数（

）A． B．1 C．3 D．【答案】C【详解】函数，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意，所以实数.故选：C3．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为．【答案】【详解】由题意知，的对称轴为，所以在上单调递减，，在上单调递减，，所以，解得.故实数的取值范围是．故答案为：.4．已知，的值域为，则所有可能值为．【答案】【详解】的对称轴为，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，由题意，所以，情形一：若，（i）当，可得值域为，所以，方程组无解，若，可得值域为，所以，方程组无解，若，时，可得在处取得最大值，最小值在或处取得，所以，解得，若，可得（舍去，因为与矛盾），若，即，解得，（舍去，因为与矛盾），所以，情形二：若，同理可得.故答案为：.5．已知函数．(1)求m的值；(2)用定义法证明：函数在上是减函数；(3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为，将代入函数，可得，解得．（2）设，则，因为，所以，则，又，所以，即，所以函数在上是减函数．（3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点，因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号，即当时，，由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增，又，因为函数与直线在上有两个交点，所以实数a的取值范围是.考点四恒成立问题1．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为不等式恒成立，所以恒成立，又，且函数在上单调递减，所以当时，所以，故选：C2．若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】D【详解】由题意可得，在区间上恒成立，因，则，故ABC错误，D正确.故选：D3．若，对，均有恒成立，则的最小值为【答案】【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：4．已知函数（）(1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；(2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，所以；当时，函数在区间上单调递减，所以；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以的表达式为.（2）解：当时，可得，可得，因为当，恒有成立，所以当，恒有，令，则，当时，即时，，解得，所以；当时，即时，，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是.5．已知函数.(1)若，求函数的单调递增区间；(2)若，不等式对恒成立，求的最大值；(3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)5(3)【详解】（1）当时，其中开口向上，对称轴为，故在上单调递增，开口向上，对称轴为，故在上单调递减，所以的单调递增区间为.（2）由题知，，即，，，对任意恒成立.若，则.若，则，所以，因为，所以，所以，当时，，所以，当时，，故只需对任意恒成立，即，所以，解得.若，则，所以，因为，则，所以，只需，所以，综上，，故的最大值为5.（3）因为，当，时，，故，对称轴为.当，即时，在单调递增，故在上单调递增，所以令，即，所以，是方程在上的两个不等实根，则解得.当，即时，在单调递减，单调递增，所以所以，是方程在上的两个不等实根，则解得.综上，.考点五能成立问题1．若命题“，”是真命题，则a的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由，可得，即．故选：C.2．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或．3．若当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】【详解】由题设，又不等式有解，则.4．已知函数，，（）(1)当时，求的值；(2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围；(3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由题设，则；（2）由题设恒成立，即恒成立，所以，只需，可得；（3）由题设，在，，有成立，对于，，易知，对于，，当，时，，显然，满足；当，时，，只需，可得；当，时，，只需，无解；综上，.5．已知函数在区间上有最大值4和最小值1．(1)求，的值；(2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，且，可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增，则，解得.（2）由（1）得，因为存在，使对任意的都成立，由（1）可知：在内单调递增，则，可得，即对任意的都成立，可得，解得或，故实数的取值范围为．考点六函数单调性的应用1．函数的图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故排除A；因为，故排除D；当时，，在单调递增，故排除B，故选：C.2．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】小明沿走时，与点的直线距离保持不变，沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.故选：D3．函数的图象如图所示，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】由图可知函数的定义域为，又定义域为，所以，图像过，，所以，则，故选：C.4．设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为．【答案】【详解】解：由左平移个单位得到函数；由向上平移个单位得到函数；在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图所示：因为的图像恒在的图像的上方，由图象知；恒成立，即恒成立，则，解得，正数的取值范围为，故答案为：5．已知函数的解析式为.(1)求，的值；(2)画出这个函数的图象，并写出的最大值.【答案】(1)，(2)图象见解析，最大值为4【详解】（1）因为，所以，，则.（2）如图，由图象可知，最大值为4.考点七分段函数单调性的判读与应用1．已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为在单调递增，在单调递增，所以当时，单调递增，则，又函数的值域为，所以时，函数的值域要取到的所有实数，所以，当时，即时，函数单调递增，时，，当时，，即，所以，即的取值范围是.故选：C2．设函数，若，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】作出函数的图象如图所示，当时，即，解得或，则由图象可知．3．已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】当时，若，即，有，在上递减，在上递增，则与是的最小值矛盾，若，即，有在上递减，所以，，则，当时，函数，当且仅当，即时等号成立，因是的最小值，则有，解得，所以的取值范围为.故答案为：.4．已知函数.(1)若，求的值；(2)若，求的值域；(3)若在上单调递减，求实数的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)【详解】（1）因为，则，解得.（2）因为，且，可知在内单调递增，则，所以在内的值域为；且在内单调递增，则，所以在内的值域为；注意到，所以在内的值域为.（3）若在上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围为.知识导图记忆知识目标复核1．单调函数的定义2．函数单调性的判断3．函数单调性的应用4.函数的最值1．下列函数为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可.【详解】在单调递减，故A错误；定义域为，且在上单调递增，故B正确；在上单调递减，故C错误；在上单调递减，故D错误．故选：B2．已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.4【知识点】二次函数的图象分析与判断、画出具体函数图象、由一元二次不等式的解确定参数、根据图像判断函数单调性【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取时的函数值，画出函数的部分图象，数形结合即可得解.【详解】因为函数，所以关于的不等式可化为，即，令，即.当时，，在上单调递减，在上单调递增，且；当时，，在上单调递减，且.如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知，要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和，所以实数的取值范围为，即.故选：C3．若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】根据分段函数的单调性求参数【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得.【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即，在上单调递增，则，又是R上的单调递增函数，则，即，综上可得，实数a的取值范围是.故选：C4．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数的单调性求参数值【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】当时，若，则，若，则，函数的值域不可能为；当时，，在上单调递增，在上单调递增，，若函数的值域为，则，解得；综上所述，实数a的取值范围是.故选：B.5．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】由于函数是定义在上的减函数，所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.6．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据集合的包含关系求参数【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果.【详解】因为，所以，所以，因为，所以在上是增函数，因为，所以，因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：.（多选题）7．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【难度】0.85【知识点】根据函数的单调性求参数值【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围.【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误；又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误.故选：BD.8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.【详解】已知函数，当时，单调递增，所以最大值为；当且时，在上单调递增；所以要使函数在上单调递增，则，解得或(舍去).故答案为：.9．函数的单调减区间是．【答案】【难度】0.85【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解.【详解】由，得：或，所以函数的定义域为，函数的单调递减区间是，再和定义域求交集得.故答案为：10．函数，则的值域是．【答案】【难度】0.85【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、对勾函数求最值【分析】应用换元法及对勾函数性质求函数的值域即可.【详解】由题设，令，则，由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增．又因为，故的值域是，所以的值域是．故答案为：11．已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.85【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为函数是上的严格增函数，则满足，解得，故实数的取值范围是.故答案为：．12．函数，的最大值为.【答案】12【难度】0.85【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值【分析】换元法将函数转化为二次函数，再根据二次函数的图像与性质求最小值.【详解】令，因为，所以.则，函数单调递增，当，即时，有最大值12，即函数，的最大值为12.故答案为：1213．函数在上的最大值为，则.【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数的最值求参数【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可.【详解】易知，是由向左平移1个单位得到，当时，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得，与矛盾；当时，即在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得.故答案为：.14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为；【答案】【难度】0.85【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围【分析】求出对称轴，结合二次函数的性质可得.【详解】的对称轴为，且开口朝上，因函数在区间上是增函数，则，故的取值范围为.故答案为：.15．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.85【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解.【详解】依题意，，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：16．已知，若不等式组的解集为，则．【答案】/【难度】0.4【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】根据给定条件，按方程的判别式大于0和不大于0分类探讨，确定不等式组的解集，结合已知解集及韦达定理求解.【详解】依题意，方程有两个不等实根，设为