2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第12讲 函数的单调性与最值（教师版）

第12讲函数的单调性与最值

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第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意

两个自变量的值x1，x2

当x1<x2时，都有

定义

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间Df(x1)>f(x2)，那么

上是增函数就说函数f(x)在

区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象

自左向右看图象是上升的

是下降的

知识点2单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定

义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能是开区间。

（2）单调区间D定义域I。

（3）遵循最简原则，单调区间尽可能大。

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和来表示。”

知识点3函数单调性的判断

1、定义法证明函数单调性的步骤

1，＜

取值：设x1x2为区间nei任意的两个值，且x1x2；

2（）-（）

作差变形：fx1fx2，通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值

符号的方向变形；

3定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；

4下结论：根据定义做出结论。

2、函数的复合：f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)

f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)

增+增=增增-增

增+减增-减=增

减+减=减减-减

减+增减-增=减

注意：加同不变，减异随前。

3.复合函数：yfg(x)

ug(x)内函数yf(u)外函数yfg(x)

增增增

增减减

减增减

减减增

注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。

知识点4函数的最值

前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

对于任意x∈I，都有f(x)≤M；对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

条件

存在x0∈I，使得f(x0)＝M存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论M为最大值M为最小值

解题方法

x3a,x0

要想满足fx2在R上是减函数，

xax1,x0

教材习题01

a

x3a,x0则二次函数yx2ax1的对称轴x0，且

已知函数fx2在2

xax1,x0

020a103a，

定义域R上是减函数，求实数a的

1

取值范围．解得0≤a≤，

3

1

所以实数a的取值范围是0,.

3

1

【答案】0,

3

解题方法

证明：任取x1,x2R，且x1x2，

则

y1y22x132x232x1x2

教材习题02

因为x1x2，所以x1x20，所以

证明：函数y2x3在定义域R上是增函数．

y1y2，

所以函数y2x3在定义域R上是增

函数.

【答案】见解析

解题方法

因为

bdbdbdbcad

教材习题03xx

axbaaacacaacaac

axby1

研究函数y的图象和性质，cxdcdcdcdcd

cxdxxxx

cccc

其中a，b，c，d都是实常数，

bcad

ac0．bcadaxb

若0，所以y可以由反比例函数ac经过平

accxdy

x

移而得到，

da

所以函数的定义域为x|x，值域为y|y，对称中心为

cc

da

,，

cc

bcaddd

当0，函数在,上单调递减，在,上单调递

accc

减；

da

①当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

②当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

③当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

④当0且0时函数图象如下所示：

cc

bcaddd

当0，函数在,上单调递增，在,上单调递

accc

增；

da

①当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

②当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

③当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

④当0且0时函数图象如下所示：

cc

bcadada

若0，则y，函数的定义域为x|x，值域为，

acccc

da

图象为一条平行于x轴的直线（去掉点,）.

cc

【答案】见解析

考点一定义法判断或证明函数单调性

f(x)f(x)

12

1．已知函数yf(x)的定义域为R，对任意的x1,x2R且x1x2，总有0，则f(x1)f(2x)

x1x2

的解集是．

【答案】(,1)

【详解】依题意，不妨设x1x2，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

因此函数f(x)是定义在R上的增函数，由f(x1)f(2x)，得x12x，解得x1，

所以f(x1)f(2x)的解集为(,1).

故答案为：(,1)

x1

2．已知函数fx，x3,5.

x2

(1)判断函数fx的单调性，并证明；

(2)求函数fx的最大值和最小值.

【答案】(1)fx在3,5上是增函数，证明见解析

24

(2)最小值为，最大值为

57

【详解】（1）fx在3,5上是增函数，证明如下：

任取x1,x23,5且x1x2，

x11x213x1x2

fx1fx2.

x12x22x12x22

3x1x25，

x1x20，x12x220，

fx1fx20，即fx1fx2，

fx在3,5上为增函数.

（2）由（1）知，fx在3,5上为增函数，

24

则fxf3，fxf5.

min5max7

3．已知函数fx在R上满足fxyfxfyf01，且当x0时，0fx1；当x0时，

fx1．

(1)求f0的值；

(2)判断并证明函数fx的单调性；

1

(3)若f1，求不等式fxx24的解集．

2

【答案】(1)f(0)1；

(2)f(x)在R上单调递减，证明见解析；

(3)(,1)(2,).

【详解】（1）令xy0，则f00f0f0f01，故f201，可得f(0)1，

令y0，则fxfxf0f01，

当f(0)1，则fxfx2，即f(x)1，与题设不符，

所以f(0)1；

（2）f(x)在R上单调递增，证明如下：

当x0时，0fx1；当x0时，fx1，

由（1）知fxyfxfy，

由f(x1)fx1x2x2fx1x2fx2，

当x1x20，即0fx1x21，0f(x1)1，0fx21，

所以f(x1)fx1x2fx2fx2，即f(x)在(0,)上单调递减，

fx1

当0x1x2，则0fx1x21，f(x1)1，2，

所以f(x1)fx1x2fx2fx2，即f(x)在(,0)上单调递减，

综上，结合f(0)1，易知f(x)在R上单调递减，得证.

111

（3）令yx，则f(x)，故f(1)，即f(1)2，

f(x)f(1)2

所以f2f1f14，则fxx2f(2)，

由（2）知，xx22，即x2x20，可得x1或x2，

所以不等式解集为(,1)(2,).

3

4．求证：fxx1在R上是减函数．

【答案】证明见解析

3

【详解】fxx1，在实数集上任取x1x2，

2

333322132

则fx1fx2x11x21x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x1，

24

2

又由，则，且不同时为零，所以132，

x1x2x2x10x1,x2x2x1x10

24

fx1fx20，即fx1fx2，

故fxx31在R上是减函数.

考点二求函数单调区间

2024ax

1．已知函数f(x)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）

a1

A．(,0)(1,2024]B．(,0)(0,2024]

C．(,0)(1,)D．(,0)(0,1)

【答案】A

【详解】若a0，则当x[0,1]时，函数y2024ax单调递增，

12024ax

又0，函数f(x)在[0,1]上单调递减，

a1a1

若a0，则当x[0,1]时，函数y2024ax单调递减，

12024ax

只有0时，才有可能使函数f(x)在[0,1]上单调递减，

a1a1

a0

1

0，解得1a2024

a1

2024a10

综上，实数a的取值范围是(,0)(1,2024]

故选：A

（多选题）2．已知函数fx在R上是增函数，则下列说法错误的是（）

1

A．yf(x)在R上是减函数B．y在R上是减函数

f(x)

C．y[f(x)]2在R上是增函数D．yaf(x)（a为实数）在R上是增函数

【答案】BCD

【详解】设x1x2，则必有fx1fx2，所以fx1fx2，所以选项A一定成立；其余三项不一定

成立，如当f(x)x时，B，C不成立；当a0时，D不成立．

x22ax9,x1,

（多选题）3．已知函数f(x)4若f(x)的最小值为f(1)，则（）

xa,x1,

x

A．函数f(x)在(,1)上单调递减B．函数f(x)在(1,)上单调递增

C．a2D．函数f(x)的最小值为102a

【答案】ACD

4

【详解】当x1时，f(x)2xa4a，当x1时，f(x)x22ax9(xa)29a2，由条件

minx

知a1（否则f(x)的最小值不是f(1)，所以函数f(x)在(,1]上单调递减，f(x)minf(1)102a．又由

条件知102a4a，解得a2，所以当x1时，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增．由

以上分析知A，C，D正确．

4．函数fxx2x12的单调递减区间为.

【答案】(,3]

2

【详解】由xx12x4x30，解得x3或x4，

则函数fx的定义域是,34,，

1

二次函数yx2x12的开口向上，对称轴为x，

2

所以fx的单调递减区间是(,3].

故答案为：(,3]

5．求函数fxx22x3的单调区间，并指出其值域

【答案】单调递增区间为,1和0,1，递减区间为1,0和1,，值域为,4.

x22x3,x0,

【详解】

fx2

x2x3,x0,

2

x14,x0,

即

fx2

x14,x0,

图象如图所示

由图象知，函数fxx22x3在,1和0,1上是增函数，

在1,0和1,上是减函数,f1f14,

所以函数fx的单调递增区间为,1和0,1，

递减区间为1,0和1,，

值域为,4.

考点三利用函数单调性求参数

11

1．已知函数f(x)，若当x[m,n](nm0)时，f(x)的值域也是[m,n]，则实数a的取值范围是（）

ax

1111

A．(,)B．(,)C．(0,)D．(0,)

4242

【答案】D

11f(m)m

【详解】函数f(x)在(0,)上单调递增，依题意，，而nm0，

axf(n)n

1111

因此f(x)x在(0,)上有两个不等的实根，即xx有两个不等的正根，

axax

1

函数g(x)x在(0,1]上单调递减，函数值集合为[2,)；

x

11

在[1,)上单调递增，函数值集合为[2,)，由方程x有两个不等的正根，

ax

111

得直线y与函数g(x)在(0,)上的图象有两个交点，则2，解得0a，

aa2

1

所以实数a的取值范围是(0,).

2

故选：D

2xm

2．若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m（）

x1

A．1B．1C．3D．3

【答案】C

2xmm2

【详解】函数f(x)2，

x1x1

2xm

当m2时，f(x)在[0,1]上单调递减，最大值为f(0)m3；

x1

2xm2m

当m2时，f(x)在[0,1]上单调递增，最大值为f(1)3，解得m=4，不合题意，

x12

所以实数m=3.

故选：C

2a

3．已知函数f(x)x2ax3,g(x)，其中a0．对任意的x2,1，存在x1,2，使得f(x1)g(x2)，

x12

则实数a的取值范围为．

4

【答案】,

3

【详解】由题意知f(x)ming(x)min，

f(x)x22ax3的对称轴为xa0，

所以f(x)在2,1上单调递减，f(x)minf(1)2a2，

aa

g(x)在1,2上单调递减，g(x)g(2)，

xmin2

a4

所以2a2，解得a.

23

4

故实数a的取值范围是,．

3

4

故答案为：,.

3

11

4．已知fx2xx2，xa,b的值域为,，则ab所有可能值为．

ba

35

【答案】

2

2

【详解】fx2xx2x11的对称轴为x1，开口向下，

fx在,1上单调递增，在1,上单调递减，

ba0

由题意11ba，所以ab0，

0

abab

情形一：若a,b0，

22

（i）当0ab1，xa,b可得值域为2aa,2bb，

1

2aa2

b

所以，方程组无解，

1

2bb2

a

22

若1ab，xa,b可得值域为2bb,2aa，

1

2aa2

a

所以，方程组无解，

1

2bb2

b

若，时，可得在处取得最大值，

0a1bxa,bfxx1fxmaxf11

最小值在xa或xb处取得，

1

所以1，解得a1，

a

1

若2aa2，可得b1（舍去，因为与ba矛盾），

b

1221515

若2bb，即b1bb10，解得b，b（舍去，因为与ba矛盾），

b1222

35

所以ab，

2

35

情形二：若a,b0，同理可得ab.

2

35

故答案为：.

2

m

5．已知函数f(x)4x,f(1)13．

x

(1)求m的值；

(2)用定义法证明：函数f(x)在(0,1)上是减函数；

(3)若f(x)a在1,3上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

【答案】(1)m9

(2)证明见解析

(3)(12,13]

mm

【详解】（1）因为f(1)13，将x1代入函数f(x)4x，可得4113，

x1

解得m9．

<<<

（2）设0x1x21，则

999x2x19

fx1fx24x14x24x1x2x1x24，

x1x2x1x2x1x2

99

<<<

因为0x1x21，所以x1x21，则9,40，

x1x2x1x2

又x1x20，所以fx1fx20，即fx1fx2，

所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．

9

（3）f(x)a在1,3上有两个不同的实根，等价于函数f(x)4x与直线ya在1,3上有两个交点，

x

9993

因为x1,3，由基本不等式可知4x24x12，当且仅当4x即x时取等号，

xxx2

3

即当x1,3时，fxf12，

min2

33

由对勾函数性质可知当x1,时，f(x)单调递减；当x,3时，f(x)单调递增，

22

3

又f(1)13,f12,f(3)15，

2

9

因为函数f(x)4x与直线ya在1,3上有两个交点，

x

所以实数a的取值范围是(12,13].

考点四恒成立问题

1．若当0x1时，不等式2xa0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．a0B．a0C．a2D．a2

【答案】C

【详解】因为不等式2xa0恒成立，

所以a2x恒成立，

又0x1，且函数y2x在0,1上单调递减，

所以当x1时，ymin2

所以a2，

故选：C

a

2．若关于x的不等式x0aR在区间1,2上恒成立，则a的值可能是（）

x

A．2B．1C．2D．4

【答案】D

【详解】由题意可得，ax2在区间1,2上恒成立，

因x21,4，则a4，故ABC错误，D正确.

故选：D

3．若a,bR，对x[2,2]，均有(2ab)x2bxa10恒成立，则2ab的最小值为

【答案】4

【详解】设t2ab，原题转化为求t的最小值，

原不等式可化为对任意的2x2，tx2t2axa10，

111

不妨代入x，得tt2aa10，得t4，

242

当t4时，原不等式可化为4x242axa10，

2

112

即2xa1a0，

24

21

观察可知，当a0时，2x10对2x2一定成立，当且仅当x取等号，

2

此时，a0,b4，说明t4时，a,b均可取到，满足题意，

故t2ab的最小值为4.

故答案为：4

4．已知函数fxx22tx1（tR）

(1)设函数fx在区间2,1上的最小值为gt，求gt的表达式；

(2)对（1）中的gt，当x1,1，t1,1时，恒有x2mx3gt成立，求实数m的取值范围．

54t,t2

【答案】(1)gt1t2,2t1

22t,t1

(2)2,2

【详解】（1）解：函数fxx22tx1的图象是开口向上抛物线，且对称轴为xt，

当时，函数fx在区间2,1上单调递增，所以fxf(2)54t；

t2min

当t1时，函数fx在区间2,1上单调递减，所以fxf(1)22t；

min

当2t1时，函数fx在区间2,t上单调递减，在区间t,1上单调递增，

所以fxf(t)1t2，

min

54t,t2

所以gt的表达式为gt1t2,2t1.

22t,t1

（2）解：当t1,1时，可得g(t)22t，可得g(t)[0,4]，

因为当x1,1，恒有x2mx3gt成立，

所以当x1,1，恒有x2mx3gt0，

min

令2，则，

hxxmx3,x1,1hxmax0

m

当0时，即m0时，hxh1m20，解得m2，所以0m2；

2max

m

当0时，即m0时，hxh1m20，解得m2，所以2m0，

2max

综上所述，实数m的取值范围是2,2.

5．已知函数fxx22axax2a2x2.

(1)若a0，求函数fx的单调递增区间；

(2)若a0，不等式fxx22a对xR恒成立，求a的最大值；

(3)若a0，存在m，n0，使得fx在m,n上单调递增且在m,n上的值域为4m,4n，求a的取值范

围.

【答案】(1)1,

(2)5

(3)226a222

x22x2,x1,

【详解】（）当时，2

1a0fxx2x12

x2x2,x1,

其中yx22x2开口向上，对称轴为x1，故在1,上单调递增，

yx22x2开口向上，对称轴为x1，故在,1上单调递减，

所以fx的单调递增区间为1,.

（2）由题知，x22axax2a2x2x22a，

即ax2a2x2x22axx22a，

ax2x1x2x22ax2a，

ax2x1x2x12ax1，

ax2x1x1x2a2对任意xR恒成立.

若x1，则aR.

若x1，则x10，所以ax2x2a2，

2a2a12

因为a0，所以22a20，所以22a，

aaa

2

当x时，x22a，所以x2a20ax2，

a

2

当x1,时，ax22ax，

a

2

故只需ax2x2a2对任意x1,恒成立，即1ax2a0，

a

3a10

1

所以2，解得a.

22a03

a

若x1，则x10，所以ax2x2a2，因为a0，则ax20，

所以a1x2a40，

只需a12a40，所以a5，

1

综上，a5，故a的最大值为5.

3

（3）因为a0，当xm,n，m0,n0时，ax2a2x2ax2x10，

a2

故fx1ax2a2x2，对称轴为x.

2a1

a2

当0，即2a0时，fx在0,单调递增，故在m,n上单调递增，

2a1

fm4m,

所以

fn4n,

令1ax2a2x24x，即1ax2a2x20，

所以m，n是方程1ax2a2x20在0,上的两个不等实根，

2a0,

a2

则0,解得a.

2a1

2

Δa281a0,

a2a2a2

0

当，即a2时，fx在0,单调递减，,单调递增，

2a12a12a1

fm4m,

所以

fn4n,

a2

2

所以m，n是方程1axa2x20在,上的两个不等实根，

2a1

a2,

2

Δa281a0,

a2a2

则,

2a12a1

2

a2a2a2

1a20,

2

4a12a1

解得226a222.

综上，226a222.

考点五能成立问题

1．若命题“xx1x3，ax2a2x20”是真命题，则a的最大值为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

2x222

【详解】由2，可得，即．

axa2x20a2a2

xxxxmax

故选：C.

14x2

y2

2．若两个正实数x，y满足22，且不等式xmm有解，则实数m的取值范围是．

xy4x

【答案】(,1)(2,)

y21y214x1y24x21y24x2

【详解】由于xx2222，当且仅当

22222

4x24xxy24xy24xy

y24x2y2

1，即x1,y2时取等号，而不等式xm2m有解，所以m2m2，即(m2)(m1)0，

4x2y24x

解得m1或m2．

1

3．若当1x2时，不等式m有解，求实数m的取值范围.

x

【答案】m1

111

【详解】由题设(,1)，又不等式m有解，则m1.

x2x

31

4．已知函数fx2x2ax10，gxx2x，（aR）

4

(1)当a1时，求f2的值；

(2)若对任意xR，都有fxgx成立，求实数a的取值范围；

(3)若x10,2，x20,1，使得不等式fx1gx2成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)16；

(2)2a4；

(3)a25.

【详解】（1）由题设fx2x2x10，则f222221016；

319

（2）由题设2x2ax10x2x恒成立，即x2(1a)x0恒成立，

44

9

所以，只需(1a)241a22a8(a2)(a4)0，可得2a4；

4

（）由题设，在，，有成立，

3x10,2x20,1fx1mingx2min

31115115

对于gxx2x(x)2，x0,1，易知gxg()，

422min22

aa2

对于fx2x2ax102(x)210，x0,2，

48

a15

当0，a0时，f(x)f(0)10，显然10，满足；

42

aaa2a215

当02，0a8时，f(x)f()10，只需10，可得0a25；

44882

a15

当2，a8时，f(x)f(2)182a，只需182a，无解；

42

综上，a25.

5．已知函数gxax22ax1ba0在区间2,3上有最大值4和最小值1．

(1)求a，b的值；

(2)若存在x3,4，使gx2m2tm7对任意的t0,5都成立，求实数m的取值范围．

a1

【答案】(1)

b0

3

(2),1,

2

2

【详解】（1）因为gxax22ax1bax11ba，且a0，

可知gx的图象开口向上，对称轴为x1，可知gx在2,3上单调递增，

g21b1a1

则，解得.

g39a6a1b4b0

（2）由（1）得gxx22x1，

因为存在x3,4，使gx2m2tm7对任意的t0,5都成立，

由（）可知：在内单调递增，则，

1gx3,4gxming34

2

可得42m2tm7，即ftmt2m30对任意的t0,5都成立，

2

f02m303

可得2，解得m1或m，

f55m2m302

3

故实数m的取值范围为,1,．

2

考点六函数单调性的应用

x21

1