2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第16讲 指数及其指数运算（教师版）

第16讲指数及其指数运算

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1根式

(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(na)n＝a(a＞0使na有意义)；

当n为奇数时，nan＝a，

a,a0,

当n为偶数时，nan＝|a|＝

a,a0

知识点2分数指数幂

n

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是am＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

n

1*

正数的负分数指数幂的意义是am＝(a>0，m，n∈N，且n>1)；

nam

0的正分数指数幂等于0；

0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：

aras＝ar+s；

(ar)s＝ars；

(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知识点3指数的运算和逆运算

1.指数幂的运算中常用的乘法公式

（1）完全平方公式：（a-b）2a22abb2；（a+b）2a22abb2；

（2）平方差公式：a2b2（a+b）（a-b）；

（3）立方差公式：a3b3（a-b）（a2+ab+b2）；

（4）立方和公式：a3b3（a+b）（a2-ab+b2）；

（5）完全立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

2.指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：

11111171215

例：aaaa2a4a8a248a8；4a3a2a4a34a12.

3.指数的逆运算过程：

1

111

1813234（-）4

（5）2（）2（）4（）2.

1616229

解题方法

因为xy12,xy9，

教材习题01

112

11

x2y2xy2xy12291

x2y2所以，

已知xy12，xy9，求的11

11xy2xy12293

22

x2y2xy

值．11

x2y23

故可得.

113

x2y2

3

【答案】

3

解题方法

1111

1231

23233

（）2583523

10.1250.5

教材习题0242723

计算：

1

525313

110.5.

1

23232222

2583；

(1)0.125

1022

427411113

（2）22218323

12

40122221

(2)222183．

22221

222214223

222121

.

3

【答案】(1)

2

(2)223

解题方法

1

1

（1）b332，b3323；

教材习题0332

把下列各式中的bb0写成负分数指数幂的形式：

（2）b43327，

3

；13

(1)b3211

b4()434；

(2)b433；2727

2n3m

2n3m（3）bπ，

(3)bπm,nN．

3m

1

b2nπ2n(m,nN)．

π3m

1

【答案】

(1)b323

3

(2)b34

3m

(3)2n

bπ(m,nN)

考点一指数与指数幂的运算

1．填空：

（1）27的3次方根表示为；

（2）a6的3次方根表示为；

（3）16的4次方根表示为．

【答案】3273a6416

【分析】根据n次方根的定义求解即可.

【详解】（1）27的3次方根表示为327；

（2）a6的3次方根表示为3a6；

（3）16的4次方根表示为416.

故答案为：327，3a6，416

2．计算：

1

；

(1)83

2

(2)273.

1

【答案】(1)

2

1

(2)

9

【分析】（1）（2）根据分数指数幂的运算法则化简求值即可；

11

13

33

【详解】（）3111

18.

822

22

232

33

（）31111

227.

27339

3．已知xx13x0，求下列各式的值：

11

；

(1)x2x2

11

；

(2)x2x2

33

；

(3)x2x2

33

(4)x2x2

【答案】(1)5

(2)1

(3)25

(4)4或4

【分析】根据有理指数幂的运算性质，结合完全平方式和立方和（差）的公式，准确运算，即可求解.

【详解】（1）因为xx13x0，

1111

由211，所以

(x2x2)xx2325x2x25.

（2）因为xx13x0，

11

11

由211，所以

(x2x2)xx2321x2x21.

11

（）因为1，且，

3xx3x2x25

3311

由x2x2(x2x2)(x1x11)5(31)25.

113311

（）因为1，且，由11，

4xx3x2x21x2x2(x2x2)(xx1)

1133

当时，可得；

x2x21x2x21(31)4

1133

当时，可得

x2x21x2x21(31)4.

4．化简（式中的字母均为正实数）：

11

22

1a2a；

(1)1

a1

1a2

b22b2

(2)．

b2b2

a1

【答案】(1)

a1

b21

(2)

b21

【分析】结合有理指数幂的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解.

11111

1a22a2(1a2)(1a2)2a2

【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得：111

a1a1

1a2(1a2)(1a2)

1111

(1a2)22a2a12a212a2

1a1a11a1a1

11

12a2a2a2a1

.

a1a1a1

b22b2(bb1)2bb1b21

（2）根据指数幂的运算法则，可得.

b2b2(bb1)(bb1)bb1b21

5．用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）：

(1)3m2；

3

(2)mnmn；

(3)a3a．

【答案】2

(1)m3

3

(2)mn2

5

(3)a6

【分析】（1）（2）根据分数指数幂和根式的关系进行求解；（3）根据分数指数幂和根式的关系和分数指数

幂的运算法则计算出答案.

2

【详解】（）32

1mm3

3

3

（2）mnmn2

115

（）3

3aaa2a3a6

考点二根式的化简求职

1．化简：4(ab)8.

【答案】(ab)2

【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可得出答案.

8

【详解】解：4(ab)8(ab)4(ab)2.

故答案为：(ab)2

2．计算：532.

【答案】2

【分析】找到一个数，它的5次方等于32，显然结果为2

5

【详解】因为232，所以5322.

故答案为：2.

1

622

3．计算：32(3)23160.7552(45)2．

273

【答案】19.

【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.

31114

0.752

22422113

【详解】原式=33322525322525324219.

3333

4．化简：

（1）4(a4)4（a4）；

（2）3(2a)3；

（3）a22a1（a1）；

（4）(a1)23a3（a1）.

【答案】（1）a4，（2）2a，（3）a1，（4）1

【分析】利用根式的性质逐个化简计算即可

【详解】（1）因为a4，所以a40，

所以4(a4)4a4a4，

（2）3(2a)32a，

（3）因为a1，所以a10，

所以a22a1(a1)2a1a1，

（4）因为a1，所以a10，

所以(a1)23a3a1a1aa1

5．求下列各式的值：

3242

（1）38；（2）10；（3）43；（4）ab.

ab,ab

【答案】（1）8；（2）10；（3）3；（4）.

ba,ab

【解析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可.

3

【详解】（1）388；

2

（2）101010；

4

（3）4333；

2ab,ab

（4）abab.

ba,ab

【点睛】本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.

考点三无理数指数幂的运算

1．用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）：

(1)a3a；

(2)a24a3；

(3)a3a．

【答案】4

(1)a3

11

(2)a4

2

(3)a3

【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式，结合指数幂的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即可.

114

1

【详解】（）3；

1aaaa3a3a3

3311

2

（）2432

2aaaa4a4a4

11

1242412

3

（）33323．

3aaaaaaa

2．求下列各式的值（式中字母都是正数）：

2

；

(1)83

3

164；

(2)

81

x2

(3)x2x；

x

x1y1

(4)；

xy

423375

(5)x5y34x4y23x5y8．

1

【答案】(1)；

4

27

(2)；

8

3

(3)21x2；

1

(4)

xy

43337

(5)x20y24.

3

【分析】（1）（2）（5）利用幂的运算性质直接求解；（3）先把根式化为幂的结构，再利用幂的运算性质求

解；（4）先把负指数幂化为分式，通分约分即可.

2

2

31

【详解】（1）832322.

4

3

3

44

（）164227

2.

8138

x2333

（3）x2x2x2x221x2.

x

11yx

（）x1y11

4xyxy

xyxyxyxy

423375

（5）x5y34x4y23x5y8

437235

4

x545y328

3

43337

x20y24

3

3．已知0a1，h0，对任意的实数u，求证：auhau2hauauh．

【答案】证明过程见解析.

【分析】运用作差法，结合因式分解法、指数的运算性质的性质进行证明即可.

【详解】auhau2hauauh

au(aha2h1ah)

au[ah(1ah)(1ah)]

au(1ah)(ah1)

au(1ah)2,

因为0a1，h0，所以0ah1，

因此au(1ah)20，所以auhau2hauauh0，

因此auhau2hauauh.

axax

4．设a0，a1，求证：函数f(x)（xR）是奇函数.

2

【答案】证明见解析.

【分析】根据函数的奇偶性的定义可证明.

【详解】证明：对于任意xR，都有xR，

axaxaxaxaxax

又因为f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数.

222

5．设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等？为什么？

n11

（）m与nm；（）与；

1aaa2nn

aa

m

m

annn

（3）n与；（4）(ab)与ab.

aan

【答案】（1）不恒等；（2）不恒等；（3）不恒等；（4）不恒等.

【分析】（1）根据指数幂的运算可得答案；

（2）根据指数幂的运算可得答案；

（3）根据指数幂的运算可得答案；

（4）当ab1时验证可得答案.

nn

【详解】（1）因为amamn，anamamn，所以am与anam不恒等；

1n11

（2）因为a，所以n与不恒等；

anaan

mm

m

amna

（3）因为a，所以n与不恒等；

anaan

（4）当ab1时，(ab)n2n，anbn2，所以(ab)n与anbn不恒等.

考点四分数指数幂与根式的互化

m

m

0n1

1．设a0，m，n是正整数，且n1，则下列各式nnm；；a；正确的个数是（）

aaa1nm

a

A．3B．2C．1D．0

【答案】A

【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．

【详解】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，

m

∴nm，正确，

ana

显然a0＝1，正确，

mm

11

nn1

而am，∴a正确，

nmnm

anaa

故选：A．

2．利用分数指数幂计算：(3a3b)3a23ab3b2.

【答案】ab

【分析】先将根式形式化为分数指数幂形式，再直接利用立方差公式计算即可.

33

11211211

【详解】(3a3b)3a23ab3b2(a3b3)a3a3b3b3a3b3ab.

3．用分数指数幂表示下列各式：

（1）a（a0）；（2）3x2；

1

（3）；（4）x3（x0）；

3a

m2

（5）x4y3（y0）；（6）（m0）；

m

（7）3(ab)2；（8）(mn)2（mn）.

1213332

【答案】（）；（）；（）；（）；（）2；（）；（）；（）mn

1a22x33a34x25xy26m27(ab)38.

【分析】直接将根式形式化为分数指数幂的形式.

【详解】（1）a（a0）；

1

aa2

（2）3x2；

2

3x2x3

1

（3）；

3a

1

1

a3

3a

（4）x3（x0）；

3

x3x2

（5）x4y3（y0）；

3

x4y3x2y2

m2

（6）（m0）；

m

2113

m2

m2m2m2m2

m

（7）3(ab)2；

2

3(ab)2(ab)3

（8）(mn)2（mn）

(mn)2mnmn.

4．用根式的形式表示下列各式（a0）：

113733

（）；（）；（）；（）；（）；（）

1a22a53a44a55a56a2.

【答案】答案见详解．

【分析】根据根式与分数指数幂互化公式一一求解即可．

113

【详解】（）；（）；（）43；

1a2a2a55a3a4a

33

7

5121

（4）557；（5）a；（6）a．

aa533

aa

5．用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）：

（1）a2a；

1

（2）；

a3

（3）aa.

533

【答案】（）；（）；（）

1a22a23a4.

【分析】（1）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案；

（2）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案；

（3）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案.

115

2

【详解】（）22

1aaaa2a2a2.

3

11

a2

（2）33.

aa2

11

112323

（3）aa(aa)2aa2a2a4.

考点五指数幂的化简求值

1．求下列各式的值：

1；

(1)1002

2

；

(2)83

3

；

(3)92

3

14

(4).

81

【答案】(1)10

(2)4

1

(3)

27

(4)27

【分析】（1）根据指数幂的运算公式求解即可；

（2）根据指数幂的运算公式求解即可；

（3）根据指数幂的运算公式求解即可；

（4）根据指数幂的运算公式求解即可；

111

2

【详解】（1）1002102210210

222

3

（2）8323323224

33

1

（3）9232233

27

3

3

4

（）1443

43327

81

y2xy2x

2．已知yx31，求的值．

yxyx

33

【答案】

22

【分析】利用平方差公式先化简目标式，再代值计算即可.

【详解】因为y2xy2xyxyxyxyx，

y2xy2x

故xx11133

xxyy31313.

yy312222

3．化简下列各式：

32

(1)532；

(2)42．

【答案】(1)78125

(2)2

【分析】利用指数幂运算性质，计算即可

3222

【详解】（1）原式=5325(32)(32)53(2)5778125

（2）原式=42(4)(2)2

1

4．若2x2x5，求4x的值．

4x

【答案】23.

【分析】根据给定条件利用指数运算变形计算作答.

1

【详解】因为2x2x5，则有4x(2x)2(2x)2(2x2x)2223，

4x

1

所以4x的值23.

4x

1

5．已知a3，求下列各式的值：

a

（1）aa1；

（2）a2a2；

aa1

（）11

3.

a2a2

7575

【答案】（1）7；（2）47；（3）或.

55

11

【分析】根据式子的特点，联系完全平方式进行转化，即可求出答案

a2a23.

11

1

【详解】a3，即22.

aaa3

11

（1）aa1(a2a2)22aa13227;

（2）a2a2a1a122a1a172247；

11111111

（）222，故

3(a2a2)(a2a2)4a2a2345a2a25

11

或，

a2a25

aa1775aa1775

11或11.

5555

a2a2a2a2

知识导图记忆

知识目标复核

1．根式的定义

2．分数指数幂的运算

3．实数指数幂的运算性质

4.无理数指数幂

一、单选题

x,x0

．已知函数fx，则（）

1xff4

21,x0

33

A．3B．C．3D．

44

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算

【分析】根据分段函数的性质，根据定义域代入求分段函数值即可.

【详解】由题意知f(4)(4)2，

则f(f(4))f(2)2213.

故选：C.

2．下列各式正确的是（）

4

A．382B．12333

2

31

33n2

C．4xyxy4D．nm2

m

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值

【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得.

3

【详解】对A：28，238，故A正确；

1

4

对B：12312343333，故B错误；

3

333

对C：xy44xy4xy，故C错误；

221

nn222

对D：nmnm2，故D错误.

mm2

故选：A．

125

3．若3m5，3n6，则下列式子值为的是（）

36

mn1

325m6n3m2n32

A．B．3C．3D．3mn

2

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】指数幂的运算

【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果.

32

【详解】因为3m5，3n6，所以125533m33m，36623n32n，

12533m

所以33m2n，

3632n

故选：C．

4．3aa(a0)的分数指数幂表示为（）

．1．3．3．都不对

Aa2Ba2Ca4D

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值

13311

【详解】原式33．

aa2a2a23a2

5．设m12b,n12b，那么n（）

m1m1m1m

A．B．C．D．

m1mm1m1

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】指数幂的运算

m

【详解】由m12b得2bm1①；由n12b得2bn1②．①②得20(m1)(n1)，得n．

m1

2

0.5

3

．计算：7210037（）

620.123

92748

A．0B．1C．100D．5

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值

12

2

【详解】原式2521643375937．

31003100

910274831648

123

7．满足axbycz，0x,y,zR的有序实数组a,b,c可以是（）

xyz

A．4,3,2B．4,2,3C．3,9,2D．18,12,2

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】指数幂的化简、求值

【分析】根据指数运算化简得b2ac3，逐个选项分析即可判断.

111

xyz

【详解】记，则y，

abct0atx,bt,ctz

123213

23

因为0x,y,zR，所以y，所以bac，

xyzttxz

对于A，32423，故A错误；

对于B，22433，故B错误；

对于C，92323，故C错误；

对于D，1221823，故D正确.

故选：D.

二、多选题

8．已知a3a33，下列各式正确的是（）

A．a23a237B．a33a3324

332331

C．22D．aa25

aa5a23a3

【答案】ACD

【难度】0.65

【知识点】指数幂的化简、求值

【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案.

2

【详解】A.a23a23a3a32927，故A正确；

B.a33a33a3a3a231a233618，故B错误；

33

由33可知，故，

C.aa3a0a2a20

2

33

33

因为2233，所以，故正确；

aaa2a5a2a25C

3333

1

D.因为a23a3a2a2，

a23a3

2

3333

又223333，所以原式，故正确．

aaaa22025D

故选：ACD.

9．下列说法正确的是（）

A．481的运算结果是3

B．16的4次方根是2

C．当n为大于1的偶数时，na只有当a0时才有意义

D．当n为大于1的奇数时，na对任意aR都有意义

【答案】CD

【难度】0.85

【知识点】根式的化简求值

【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B

错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确．

10．已知f2x1x，则下列函数值计算正确的有（）

A．f(1)2B．f(2)3C．f(3)1D．f(5)2

【答案】CD

【难度】0.85

【知识点】求函数值、指数幂的运算

【详解】令2x11，所以2x0，无解，所以f(1)2无意义，A错误；令2x12，所以2x1，所以x0，

所以f(2)0，B错误；令2x13，所以2x2，所以x1，所以f(3)1，C正确；令2x15，所以2x4，

所以x2，所以f(5)2，D正确．

三、填空题

x

1

,x13

11．设函数f(x)2，则f．

2

f(x1),x1

21

【答案】/2

22

【难度】0.94

【知识点】指数幂的运算、求分段函数值

【分析】代入计算即可.

1

【详解】331122

ff1f.

22222

故答案为：2

2

12．若a2a23(a0)，则a3a3．

【答案】25

【难度】0.85

【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值

22

【详解】a2a2aa123，则aa15．又a0，所以aa15，所以

a3a3aa1a21a25(31)25．

11

13．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第

33

5次倒出的纯酒精的升数为．

16

【答案】

243

【难度】0.85

【知识点】指数幂的运算

1112

112

【详解】第一次倒出的酒精浓度为1，每次用水填满后的酒精浓度依次为323332，

,,

1313

24

112121216

故每次倒出的纯酒精为,,,，所以第5次倒出的纯酒精为．

3333333243

14．某企业计划对生产线进行技术