5.1.1导数的概念及其意义-变化率问题 说课稿

5.1.1导数的概念及其意义——变化率问题尊敬的各位评委老师，大家好！今天我要说课的内容是“变化率问题”，接下来我将从教材和教学过程两方面进行说课。一、教材分析内容分析微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛应用。本节课的学习内容是“变化率问题”，选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第五章《一元函数的导数及其应用》第一节“导数的概念及其意义”第一课时，是一节概念课，内容较平淡、单薄，教学中很难“出新、出奇、出彩”，但本节课的作用举足轻重，是学习导数，进入微积分的“敲门砖”。如何在教学中构建生动的情境，让学生在探索中求知、在思考中求智、在品味中求美，使课堂充满灵动、精彩，是对教师的悟性和能力的考验。学情分析我现在带的是理科普通班，学生整体基础较弱，动手能力差，学习较为被动。关于“变化率问题”，学生有着一定的感知基础，比如物理上作自由落体运动的物体下落速度的变化。在备课过程中我依据班上学生的特点认真研读教材，依据课标来理解、思考和处理，在确定教学目标上，没有简单地把教学目标锁定在完成“概念”上。依据教材高台跳水问题，设计一系列探究活动，让学生亲身经历“平均变化率”如何逼近“瞬时变化率”，割线斜率如何逼近切线斜率，使学生加深对数学概念本质的理解。基于上述分析，我确定了本节课的教学目标和教学重难点：教学目标：1.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线在某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率与割线斜率、瞬时变化率与切线斜率数与形的统一.重难点：重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念(及算法)难点：理解函数的平均变化率与割线斜率、瞬时变化率与切线斜率数与形的统一二、教学过程：1、导语在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。（通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。）2、新知探究问题1高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似的描述它的运动状态。例如,在0≤t≤0.5这段时间里，v在1≤t≤2这段时间里，v一般地，在t1≤t≤tv探究1：计算运动员在0≤t≤4849为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_______.(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．(3)平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝＝.x2－x1；f(x2)－f(x1)；eq\f(fx2－fx1,x2－x1)；eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝.某一时刻；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)（通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。）问题2.抛物线的切线的斜率

我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2探究3.你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点Px,探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0记∆x=x−1,点P的坐标(1+∆x,(1+∆x)2k=f利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当无限趋近于0时，割线P0从几何图形上看，当横坐标间隔∆x无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率eq\f(fx－fx0,x－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f(x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)（通过曲线上某点出割线与切线斜率的问题，加深学生对函数平均变化率与瞬时变化率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养）3、典例解析1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． ()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． ()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． ()(4)函数y＝f(x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]D3.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（）A．B．C．D