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文档简介

第=page11页,共=sectionpages11页2025届河南省高考数学模拟卷(3)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2−5x+6>0},B={x|x−1<0},则A∩B=A.{x|x<1} B.{x|−2<x<1}

C.{x|−3<x<−1} D.{x|x>3}2.已知(1−i)2z=3+2i,则z=(

)A.−1−32i B.−1+32i3.如图,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点D为AC的中点,OE=A.112a−b+112c 4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a4A.24 B.36 C.48 D.725.DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子,由称为碱基的化学成分组成.它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链,两条链上的碱基之间由氢键相结合.在DNA中只有4种类型的碱基,分别用A、C、G和T表示,DNA中的碱基能够以任意顺序出现.两条链之间能形成氢键的碱基或者是A—T,或者是C—G,不会出现其他的联系.因此,如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序,那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条DNA单链模型示意图,现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2个碱基G和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为(

)

A.20 B.40 C.60 D.1206.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(

)A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=1−f(1−x),若函数y=4x4x+2与函数y=f(x)的图象的交点为(x1,y1)A.0 B.20252 C.2025 D.8.已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π4的直线交C于A,B两点,M是AB的中点,点P是C上一点,若点M的纵坐标为1,直线l:3x+2y+3=0,则P到C的准线的距离与P到l的距离之和的最小值为A.31326 B.51326二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+3π4A.函数f(x−π4)为偶函数

B.曲线y=f(x)的对称轴为x=kπ,k∈Z

C.f(x)在区间(π3,10.函数f(x)=x3−3xA. B.

C. D.11.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(A.M={(x,y)|y=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知cosα−π3=1313.设O为坐标原点,A为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,点B在E上,线段AB交x轴于点M.若14.已知三棱锥P−ABC的顶点P,A,B,C均在半径为2的球面上,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=2,则二面角P−BC−A的正切值最小为

.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(sinA+sinB)(a−b)=c⋅(sinC−sinB),a=27,且△ABC的面积为63.

(1)求A;16.(本小题15分)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人,它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术,在测试它时,如果输入的问题没有语法错误,则它的回答被采纳的概率为80%,当出现语法错误时,它的回答被采纳的概率为40%.(1)在某次测试中输入了8个问题,聊天机器人的回答有5个被采纳,现从这8个问题中抽取4个,以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数,求X的分布列和数学期望;(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%,求p的值.17.(本小题15分)在平面直角坐标系xOy中,把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫作旋转变换.定点G叫作旋转中心,定角θ叫作旋转角(规定逆时针方向为正).如果图形上的点P(x,y)经过旋转变为点P′(x′,y′),那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线xу=m(m≠0)绕G顺时针旋转π4后,得到新曲线E,其变换关系为x′=xcosθ−ysinθ,(1)求曲线E的方程并确定点G的位置;(2)点P1的坐标为(1,0),按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过点Pn−1作斜率为2的直线交E于另一点Qn−1,设Pn是点Qn−1(ⅰ)求数列{xn+yn(ⅱ)记M为直线P1Pn+2与直线QnPn+1的交点,N为直线P1Qn与直线Qn+118.(本小题17分)如图,四棱锥P−ABCD的底面为正方形,∠PAB=60∘, ∠PAD=45

(1)求证:平面ABP⊥平面BCP.(2)若PQ=μABμ>0,且三棱锥Q−BCP(i)求点C到平面APQ的距离;(ii)求平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值.19.(本小题17分已知函数f(x)=alnx−x−1(1)讨论f(x)的单调性;(2)n为正整数,当a=1时,曲线y=f(x)在点(n,f(n))处的切线记为Ln,直线Ln与y轴交点的纵坐标记为yn,证明:y答案和解析1.【答案】A

【解析】根据题意,A={x|x2−5x+6>0}={x|x>3或x<2},

B={x|x−1<0}={x|x<1},

则A∩B={x|x<1}2.【答案】B

【解析】由(1−i)2z=3+2i,得z=3+2i3.【答案】B

【解析】∵OE=12ED,

∴OE4.【答案】D

【解析】设等差数列an的公差为d,则a4−a2=2d=12,

所以d=6,5.【答案】C

【解析】总共需要插入6个碱基,所以先选出3个位置放碱基A,有C63种;

再选2个位置放碱基G,有C32种;

剩下一个位置放碱基T,有C11种;

所以一共有C6.【答案】C

【解析】对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06=6%,故选项A正确;

对于B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%,故选项B正确;

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元,故选项C错误;

对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5,

故估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间,故选项D正确.

故选:C.7.【答案】C

【解析】∵f(x)=1−f(1−x),g(x)=4x4x+2,

g(x)+g(1−x)=4x4x+2+41−x41−x+2=4x4x+2+22+4x=1,

∴函数f(x)、g(x)的图象关于点(12,18.【答案】D

【解析】由题得C的焦点为F(p2,0),设倾斜角为π4的直线AB的方程为y=x−p2,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程y=x−p2y2=2px,化简得:y2−2py−p2=0,Δ=4p2+4p2>0,

则y1+y2=2p=2,p=1,故C的方程为y2=2x,F(12,0),

由抛物线定义可知,点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,

联立方程y2=2x3x+2y+3=0,化简得:9x2+10x+9=0,

由Δ=100−4×9×9=−224<0得C与l相离,

如图,Q,S,R分别是过点P向准线、直线l:3x+2y+3=0以及过点F向直线9.【答案】AC

【解析】f(x)=sin(2x+3π4)+对于A,f(x−π4)=−2对于B,由2x=π2+kπ,k∈Z,则x=π4+k2π,k∈Z对于C,由π3<x<π2,得2π3<2x<π,

由于正弦函数在(2π3,π)上单调递减,

所以f(x)在(π3,π2)单调递增,故C正确;

对于10.【答案】BD

【解析】因为f(x)=x3−3x2+bx+c,

所以f′(x)=3x2−6x+b,

由b<0知,

Δ=(−6)2−4×3×b=36−12b>0,

即f′(x)一定有两个不等的变号零点,设为x1,x2,不妨取x1<x2,

所以x1+x2=2>0,

x1x11.【答案】ABC

【解析】选项A,任取(x1,y1)∈M,则y1=1x12,取x2= −1x1,

故x1x2+y1y2=x1(−1x1)+1x121x22=x1⋅(−1x1)+1x12⋅x12=0,

所以存在这样的x2=−1x1使得x1x2+y1y2=0成立,选项A正确;

选项B:任取点A(x1,y1)∈M,取点B(x2,y2)∈M,

x112.【答案】−7【解析】cos(α−π3)=13,

sin(2α−π6)

=sin[2(α−π313.【答案】7【解析】解:如图:

设Bx0,y0,Mt,0.

过B作BD⊥x轴,交x轴于D,则△AOM∽△BDM,因此BMAM=BDAO.

因为BMAM=45=BDAO,而A0,b,所以y0b=45.

因为∠AOB=135∘,因此y0x14.【答案】2【解析】由题意,三棱锥P−ABC的顶点P,A,B,C均在半径为2的球面上,且PA⊥平面ABC,且AB⊥AC,可将三棱锥P−ABC放置到如图所示的长方体中,如图:

设三棱锥P−ABC的外接球的半径为R,AB=a,AC=b因为PA⊥平面ABC,PA=2,且AB⊥AC,由长方体的性质知R=1又R=2,得到a2+b过A作AD⊥BC交BC于D,连接PD,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又AD⊥BC,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以BC⊥平面PAD,因为PD⊂平面PAD,所以BC⊥PD,所以∠PDA为二面角P−BC−A的平面角,又由12=a2+b2所以AD=则tan∠PDA=PAAD≥2故答案为:215.【答案】解:(1)∵(sinA+sinB)(a−b)=c⋅(sinC−sinB),

∴由正弦定理可得,(a+b)(a−b)=(c−b)c,化简可得,b2+c2−a2=bc,

由余弦定理可得,cosA=b2+c2−a22bc=12,

∵0<A<π,

∴A=π3,

(2)∵a=27,A=π3,△ABC16.【答案】解:(1)由题可知X的所有取值为1,2,3,4,

P(X=1)=C51C33C84=570=1X1234P1331则E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52;

(2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,记“输入的问题有语法错误”为事件B,

记“回答被采纳”为事件C,

由已知得,P(C)=0.7,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.417.【答案】解:(1)由题意得x′=22x+22yy′=−22x+22y,即2x=x′−y′2y=x′+y′,

∴(x′−y′)(x′+y′)=2xy=2m,故曲线方程为x2−y2=2m,

∵点(2,1)在曲线上,∴m=12,故曲线方程为x2−y2=1,

由对称性可知,点G为坐标原点O;

(2)(ⅰ)由题意得xn2−yn2=1xn+12−yn+12=1,得(xn−xn+1)(xn+xn+1)=(yn−yn+1)(yn+yn+1) ①,

又∵直线PnQn的斜率为2且Pn(xn,yn),Qn(xn+1,−yn+1),∴yn+yn+1=2(xn−xn+118.【答案】解:(1)在▵ABP中,cos∠PAB=4+1−PB则AB2+BP因为四边形ABCD为正方形,则AB⊥BC,又因BP∩BC=B,BP⊂平面BCP,BC⊂平面BCP,则AB⊥平面BCP,又因AB⊂面ABP,则平面ABP⊥平面BCP;(2)(i)以D点为坐标原点,DA、DC分别为x、y轴,过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D0,0,0设Pa,b,c,则AB则AB⋅AP=b=1×2×12因VQ−BCPVP−ABCD=1则PQ=1因PQ=μABμ>0,则μ=1设平面APQ的法向量m=则AP⋅m=0PQ⋅m=0则点C到平面APQ的距离为AC⋅

(ii)BC设平面BCQ的法向量n=则BC⋅n=0BQ⋅n=0所以cos 则平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值为3

19.【答案】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(

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