2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第2课时　双曲线的综合问题

第2课时双曲线的综合问题直线与双曲线的位置关系【例1】（1）（2023·全国甲卷8题）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则A.55 B.2C.355 （2）（2024·长春质检）已知双曲线C：x2－y24＝1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有答案：（1）D（2）4解析：（1）法一根据双曲线的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交.由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝165，x1x2法二由法一知，圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝｜2×2－3｜22＋(-1）2＝55，（2）当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝1，显然与双曲线只有一个公共点（1，0）；当直线l斜率存在时，设直线l方程为y－1＝k（x－1），与双曲线方程联立，消y得（4－k2）x2＋2k（k－1）x－（k2－2k＋5）＝0，当4－k2＝0，即k＝±2时，方程有唯一实根，符合题意；当4－k2≠0，即k≠±2时，若方程有唯一实根，则Δ＝4k2（k－1）2＋4（4－k2）（k2－2k＋5）＝0，解得k＝52.故满足与C有且只有一个公共点的直线l共有4条解题技法直线与双曲线位置关系问题的解题策略（1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：①若a≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点；②若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；③若a≠0且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点；④若a＝0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；⑤若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点；（2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思路，借助方程思想，将问题进行化归转化.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的其中一个焦点为（5，0），一条渐近线方程为（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知倾斜角为3π4的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l解：（1）由焦点可知c＝5，又一条渐近线方程为2x－y＝0，所以ba＝2由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，故双曲线C的标准方程为x2－y24（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点的坐标为（x0，4），则x12－y124x22－y224②－①得x22－x12＝即k＝4x04＝x0，又k＝tan3π4＝－1，所以所以直线l的方程为y－4＝－（x＋1），即x＋y－3＝0.双曲线中的最值（范围）问题【例2】（1）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝36的左、右焦点，A是双曲线C右支上（顶点除外）任意一点，若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为（）A.182 B.183C.362 D.363（2）已知直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，若（QP＋QF2）·PF2＝0，其中∠PQF2∈答案：（1）C（2）[6，22）解析：（1）由题可知，C的实轴长2a＝12，｜F1F2｜＝122.如图，延长AF2，F1B交于点D，∵点B在以AF1为直径的圆上，∴AB⊥F1B，又AB为∠F1AF2的角平分线，∴｜AF1｜＝｜AD｜，B为F1D的中点.连接OB，则OB是△DF1F2的中位线.由双曲线的定义知｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝12，故｜F2D｜＝｜AD｜－｜AF2｜＝｜AF1｜－｜AF2｜＝12，∴｜OB｜＝12｜F2D｜＝6，故点B的轨迹是以原点O为圆心，6为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝36.显然，当点B的坐标为（0，6）或（0，－6）时，△BF1F2的面积取得最大值，最大值S＝12｜F1F2｜×6＝12×122×6＝（2）如图，∵（QP＋QF2）·PF2＝0，∴｜QP｜＝｜QF2｜，又｜QF1｜－｜QF2｜＝2a＝｜PF1｜，则有｜PF1｜＝2a，｜PF2｜＝4a，不妨设∠F1PF2＝θ，则有∠F1QF2＝π－2（π－θ）∈［π3，π），可得θ∈［2π3，π），在△F1PF2中，由余弦定理可知，cosθ＝16a2+4a2－4c216a2∈（－1，－12］，∴7a2≤c2＜9a2，则6解题技法与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.1.（2024·泰安适应性考试）若双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝3x有交点A.（2，＋∞） B.（1，2]C.（1，2） D.[2，＋∞）解析：A由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，一条渐近线方程为y＝bax，这条渐近线的斜率应大于直线y＝3x的斜率，即ba＞3，则e＝1+2.已知点M（－5，0），点P在曲线x29－y216＝1（x＞0）上运动，点Q在曲线（x－5）2＋y2＝1上运动，则答案：20解析：如图，在双曲线x29－y216＝1中，a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5，圆（x－5）2＋y2＝1的圆心为C（5，0），半径r＝1.所以双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别为M，C，由双曲线的定义可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以｜PM｜2｜PQ｜≥(|PC｜+6）2｜PC｜+1＝（｜PC｜＋1双曲线与圆、椭圆的综合问题【例3】（1）设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若｜PQ｜＝｜OF｜，A.2 B.3C.2 D.5（2）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，与双曲线x2－y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为答案：（1）A（2）45解析：（1）设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F的坐标为（c，0），则c＝a2＋b2，如图所示，由圆的对称性及条件｜PQ｜＝｜OF｜可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则｜OP｜＝a，｜OM｜＝｜MP｜＝c2.在Rt△OPM中，由｜OM｜2＋｜MP｜2＝｜OP｜2得，（c2）2＋（c2）2＝（2）由题意，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，易知以这四个交点为顶点的四边形为正方形，且面积为16，故边长为4，所以（2，2）在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以4a2＋4b2＝1，因为e＝32，所以a2－b2a2＝34，即a2＝4b2，所以a2＝20，解题技法双曲线与圆、椭圆的综合问题主要是几何性质方面的综合，往往用一种曲线的性质来研究另一种曲线的性质，特别是在双曲线与椭圆中都涉及a，b，c，e四个基本量，而几何含义却不同，特别容易混淆，处理这类问题一是切实理解三种曲线的定义，二是厘清三种曲线的几何性质.1.（多选）已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且MF1·MF2＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点.若∠FA.e2e1＝2 B.e1eC.e12＋e22＝52 D.解析：BD因为MF1·MF2＝0且｜MF1｜＝｜MF2｜，所以△MF1F2为等腰直角三角形.设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝22a，所以e1＝22.在△PF1F2中，∠F1PF2＝π3，设｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y，双曲线C2的实半轴长为a'，则x2＋y2－xy=4c2，x＋y=22c，｜x－y｜=2a',故xy＝43c2，故（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝8c23，所以（2.已知双