2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第二节　二项式定理

第二节二项式定理1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.（1＋x）10的展开式中x2的系数为（）A.1 B.10C.45 D.120解析：C（1＋x）10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C10rxr，令r＝2得x2的系数为C102＝2.（2022·北京高考8题）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（）A.40 B.41C.－40 D.－41解析：B法一（赋值法）依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.法二（通项公式法）二项式（2x－1）4的通项为Tr＋1＝C4r（2x）4－r（－1）r，分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以a0＋a2＋a4＝41，3.（2024·宜宾模拟）在二项式（x2－2x）n的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（A.－32 B.－1C.1 D.32解析：B∵二项式系数的和是32，则2n＝32，∴n＝5，令x＝1，则展开式中各项系数的和为（－1）5＝－1，故选B.4.（1x－x）9的展开式中常数项为.（用数字作答答案：84解析：根据通项公式Tk＋1＝C9k（1x）9－k（－x）k＝（－1）kC9kx3k－182，令3k－182＝0，解得k1.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则：（1）h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；（2）h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；（3）h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；（4）h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.2.常用公式（1）Cn0＋Cn1＋…＋C（2）Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn31.二项式（3x＋32）n（n∈N*）的展开式中只有一项的系数为有理数，则n的可能取值为（A.6 B.7C.8 D.9解析：BTr+1＝Cnr·3n－r2·2r3·xn－r，由结论1可知：n－r是2的倍数，r是32.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，则Cn答案：31解析：逆用二项式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，3n＝35，所以n＝5，由结论2得，Cn1＋Cn二项式中的特定项及系数问题1.（2x－1x）5的展开式中x的系数是（A.－40B.40C.－80 D.80解析：D（2x－1x）5展开式的通项公式为Tr＋1＝C5r（2x）5－r（－1x）r＝（－1）r25－rC5rx5－2r（r＝0，1，…，5），令5－2r＝1，可得r＝2.即含x的项为第3项，∴T3＝80x，2.（x＋13x）30的展开式中无理项的项数为（A.27 B.24C.26 D.25解析：D（x＋13x）30展开式的通项为Tr＋1＝C30r·（x）30－r·（13x）r＝C30r·x15－56r，r＝0，1，2，…，30，若x的指数15－56r为整数，则r是6的倍数，所以当r＝0，6，12，18，24，30时为有理项3.x2＋2x6的展开式中常数项是答案：240解析：（x2＋2x）6展开式的通项Tr＋1＝C

6r（x2）6－r·（2x）r＝C6r2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，练后悟通求二项展开式中特定项的策略求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Cnkan－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围（k＝0，1，2，…，n提醒两类系数的区别：二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，与各项的项数有关，二项式系数的性质与各项系数的和考向1二项展开式中的系数和问题【例1】（1）（2024·惠州一模）已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝（）A.1 B.243C.121 D.122（2）在（2x－3y）10的展开式中，奇数项系数的和为.答案：（1）B（2）1+解析：（1）令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①.令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②.①＋②，得2（a4＋a2＋a0）＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2（a5＋a3＋a1）＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝122＋121＝243.（2）设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①.令x＝1，y＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②.①＋②得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510，所以奇数项的系数和为1+5解题技法赋值法的应用（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；（2）对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f(-1）2，偶数项系数之和为a1＋考向2系数的最值问题【例2】在（x－1x）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为（A.－126 B.－70C.－56 D.－28解析：C∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，（x－1x）n的展开式的通项为Tk＋1＝（－1）kC8kx8－32k（k＝0，1，2，…，8），∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，解题技法1.求二项式系数最大项（1）如果n是偶数，那么中间一项（第n2＋1项）的二项式系数最大，最大值为C（2）如果n是奇数，那么中间两项（第n+12项与第n+12＋1项）的二项式系数相等且最大，最大值为2.求展开式系数最大项求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥A1.（多选）在（2x－x）6的展开式中，下列说法正确的是（A.常数项为160B.第4项的二项式系数最大C.第3项的系数最大D.所有项的系数和为64解析：BC展开式的通项为Tk+1＝C6k·（2x）6－k·（－x）k＝26－k（－1）k·C6kx2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23（－1）3C63＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得（21－1）2.设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝.答案：6解析：根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2mm，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2m+1m，则C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2mm多项式展开式中特定项（系数）问题考向1几个多项式和的展开式中特定项（系数）问题【例3】在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（）A.25 B.30C.35 D.40解析：C法一（1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝Cnrxr，当n依次取3，4，5，6，r取3得到含x3的系数为C33＋C43＋C53＋C63＝C54法二多项式可化为1-(1+x）71-(1+x）＝（x+1）7－1x，二项式（x＋1）7的通项公式为Tr＋1＝C7rx7－r，令解题技法对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.考向2几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题【例4】（2022·新高考Ⅰ卷13题）1－yx（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为（答案：－28解析：（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以1－yx（x＋y）8的展开式中x解题技法对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.考向3三项式展开式中特定项（系数）问题【例5】（x－3y＋2）5的展开式中，常数项为，所有不含字母x的项的系数之和为.答案：32－1解析：由多项式知常数项为25＝32.令x＝0，y＝1，即得所有不含字母x的项的系数之和，所以所求系数之和为（0－3×1＋2）5＝（－1）5＝－1.解题技法（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法1.x＋y2x（x＋y）5的展开式中x3y3A.5 B.10C.15 D.20解析：C因为（x＋y）5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝C5rx5－ryr，所以x＋y2x（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为C2.（x2－2x＋y）6的展开式中，x3y3的系数是.（用数字作答答案：－120解析：（x2－2x＋y）6表示6个因式x2－2x＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－2x，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是C63C32×（－2）＝20×3.（2021·浙江高考13题）已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝；a2＋a3＋a4＝.答案：510解析：（x－1）3展开式的通项Tr＋1＝C3rx3－r·（－1）r，（x＋1）4展开式的通项Tk＋1＝C4kx4－k，则a1＝C30＋C41＝1＋4＝5；a2＝C31（－1）1＋C42＝3；a3＝C32（－1）2＋C43＝7；a4＝C33（－1）3＋C41.（2024·枣庄模拟）在（2x＋1x）6的展开式中，含x4项的系数为（A.160B.192C.184 D.186解析：B二项式（2x＋1x）6的展开式的通项是Tr＋1＝C6r（2x）6－r（1x）r＝C6r26－rx6－2r，当r＝1时，T2＝C61×25×x4＝192x42.（2024·益阳模拟）设（1＋2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＝2a2，则n＝（）A.4 B.5C.6 D.7解析：B二项式（1＋2x）n的展开式的通项为Tr＋1＝Cnr1n－r（2x）r＝Cnr2rxr，所以a2＝Cn222，a3＝Cn323，又a3＝2a2，所以Cn323＝2×C3.已知（1＋2x）n（n∈N*）的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则（1＋2x）n的展开式的各项系数和为（）A.38 B.310C.28 D.210解析：A由题知Cn3＝Cn5，由组合数性质得n＝8，则（1＋2x）n＝（1＋2x）8.令x＝1，则（1＋2x）84.（2＋1x）（1＋x）6的展开式中含x2的项的系数为（A.55 B.50C.135 D.270解析：B（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k·xk，令k＝3，则T4＝C63·x3＝20x3，令k＝2，则T3＝C62·x2＝15x2，所以（2＋1x）（1＋x）6的展开式中含x2的项的系数为20＋5.已知（1－x2）n的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是（A.72 B.C.7 D.70解析：C令x＝1得，（1－12）n＝1256，∴n＝8，∴（1－x2）8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C8r（－x2）r，要求展开式中项的系数的最大值，则r必为偶数，∴T1＝C80（－x2）0＝1，T3＝C82（－x2）2＝7x2，T5＝C84（－x2）4＝358x4，T7＝C86（－x2）6＝76.（多选）已知（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5，则（）A.a0＝－32 B.a2＝－80C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1解析：ABC令x＝－1得（－1－1）5＝a0，即a0＝－32，故A正确.令x＝0得（－1）5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.令x＋1＝y，则（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5就变为（y－2）5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式（y－2）5展开式中y2项的系数，Tk+1＝C5ky5－k（－2）k，故a2＝C53（－2）3＝－80，故B正确.a4＝C51（－2）1＝－10，a3＝C52（－7.在（x2＋2x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为.答案：60解析：（x2＋2x＋y）5＝[（x2＋2x）＋y]5，由通项公式可得Tk+1＝C5k（x2＋2x）5－kyk，∵要求x5y2的系数，故k＝2，此时（x2＋2x）3＝x3·（x＋2）3，其对应x5的系数为C32×21＝6.∴x5y28.在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，并解决问题.已知（2x－1）n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn（n∈N*），若（2x－1）n的展开式中，.（1）求n的值；（2）求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）选择条件①：若（2x－1）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n2＝5.所以n＝选择条件②：若（2x－1）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则Cn3＝Cn7.选择条件③：若（2x－1）n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.所以n＝10.（2）由（1）知n＝10，则（2x－1）10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，令x＝0，则a0＝1，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a10｜，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a10｜＝310－1.9.如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82023天后是（）A.星期二 B.星期三C.星期四 D.星期五解析：C82023＝（1＋7）2023＝C2023070＋C202317＋C2023272＋…＋C210.已知函数f（x）＝Cn0＋Cn1x＋13Cn3x3＋15Cn5x5＋…＋1kCnkxk＋…＋1nCnnxn（k，n为正奇数），f'（A.2n B.2n－1C.2n＋1 D.2n－1＋1解析：D因为f（x）＝Cn0＋Cn1x＋13Cn3x3＋15Cn5x5＋…＋1kCnkxk＋…＋1nCnnxn，令x＝0，则f（0）＝Cn0＝1，由于f'（x）＝Cn1＋Cn3x2＋Cn5x4＋…＋Cnkxk－1＋…＋Cnnxn－1，令x＝1，则f'（1）＝Cn1＋Cn11.（多选）若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是（）A.n＝6B.a1＝21C.（1＋2x）n展开式中二项式系数和为729D.a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321解析：ABD对于A，因为（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2，令x＝0，得n＝a0，因为（1＋x）n中xn项为Cnnxn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n，解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋C21＋C31＋C41＋C51＋C61＝21，故B正确；对于C，（1＋2x）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；对于D，令f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，f'（x）＝1＋2（x＋1）＋…＋6（x＋1）5＝a1＋2a2x＋…＋6a6x5，令x＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25＝a1＋2a2＋312.已知（33＋2x）n（n∈N*，1≤n≤12）的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值为答案：6（答案不唯一，n取6，8，9，10，11中任意一个值均可）解析：（33＋2x）n的展开式的通项为Tr＋1＝Cnr·（33）n－r·（2）rxr，r≤n，r∈N.若系数为有理数，则r2∈Z，且n－r3∈Z.当n＝3时r＝0；n＝4时r＝4；n＝5时r＝2；n＝6时r＝0，6；n＝7时r＝4；n＝8时r＝2，8；n＝9时r＝0，6；n＝10时r＝4，10；n＝11时r＝2，8；n＝12时r＝0，6，12.所以n可取6，813.设（x2＋1）（4x－3）8＝a0＋a1（2x－1）＋a2（2x－1）2＋…＋a10（2x－1）10，则a1＋a2＋…＋a10＝.答案：3解析：令x＝12，得a0＝［（12）2＋1］×（4×12－3）8＝54，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝（12＋1）×（4×1－3）8＝2，所以a1＋a2＋…＋a10＝a0＋a1＋a2＋…＋a10－a0＝2－14.若（x＋41x3）n的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的项，求其第解：依题意，（x＋41x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝Cnk（x）n－k当n为偶数时，只有第10项的二项式系数最大，即n2＋1＝10，则n＝18此时T5＝C184（x）18－4·（41x3）4当n为奇数时，第10，11项的二项式系数最大或第9，10项的二项式系数最大，即n+12＝10或n+12＝9，