2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第五节 指数与指数函数_第1页
2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第五节 指数与指数函数_第2页
2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第五节 指数与指数函数_第3页
2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第五节 指数与指数函数_第4页
2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第五节 指数与指数函数_第5页
已阅读5页,还剩6页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第五节指数与指数函数1.通过对有理数指数幂amn(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.1.函数f(x)=ax-3+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点()A.(0,1) B.(0,3)C.(3,3) D.(4,1)解析:C对于函数f(x),令x-3=0,可得x=3,则f(3)=a0+2=3,所以函数f(x)=ax-3+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,3).故选C.2.已知a=0.22,b=30.3,c=log40.4,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a解析:C因为0<0.22<0.20=1,30.3>30=1,log40.4<log41=0,所以c<a<b,故选C.3.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是()解析:A易知f(x)为偶函数,且f(x)=1-e|x|≤0,A正确.4.(2024·沈阳模拟)若∃x∈[-2,0],(12)x-2x-a≤0,则实数a的取值范围为(A.(-∞,8] B.[8,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)解析:D因为∃x∈[-2,0],(12)x-2x-a≤0,所以a≥((12)x-2x)min,x∈[-2,0],显然y=(12)x-2x在[-2,0]上单调递减,所以a≥(12)0-2×0=1,即实数a的取值范围为[1,+指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.已知y1=13x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为(解析:A由结论知选A.指数式的运算1.化简4a23b-13÷(A.-2a3bC.-6ab D.解析:C4a23b-13÷(-23a-13b23)=[4÷(-2.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=,(2α)β=.答案:14解析:由根与系数的关系得α+β=-2,αβ=15.则2α·2β=2α+β=2-2=14,(2α)β=2αβ=3.(2024·宁波一模)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=.答案:7解析:∵f(a)=2a+2-a=3,∴f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2-2=32-2=7.练后悟通指数幂的运算指数函数的图象与应用【例1】(1)(2024·长春模拟)已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是()(2)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为.答案:(1)A(2)(-∞,0]解析:(1)由图象可知,b<-1,0<a<1,所以函数g(x)=ax+b是减函数,g(0)=1+b<0,所以选项A符合.(2)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k的取值范围为(-∞,0].1.(变条件)若本例(2)条件变为:函数y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是.答案:(0,1)解析:函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线,图象如图所示,由图象可得,如果函数y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点,则m的取值范围是(0,1).2.(变条件)若本例(2)条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是.答案:(-∞,-1]解析:作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1].解题技法指数函数的图象及其应用要点(1)已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断;(2)进行图象识别与应用时,可从基本的指数函数图象入手,通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象;(3)根据指数函数图象判断底数的大小问题,可通过直线x=1与图象的交点进行判断.1.(多选)已知函数y=ax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应的是()解析:ABD由题图可得a1=2,即a=2,则y=a-x=(12)x,在定义域内单调递减,图象过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,图象过点(-1,1),(1,1),故B正确;y=a|x|=2|x|=2x,x≥0,2-x,x<0为偶函数,结合指数函数图象可知C错误;y=|logax|=2.(多选)已知实数a,b满足等式2a=3b,下列关系式中可能成立的是()A.0<b<a B.a<b<0C.b<a<0 D.a=b解析:ABD作出函数y=2x与函数y=3x的图象(如图),当2a=3b>1时,根据图象得0<b<a,故A选项正确;当2a=3b=1时,根据图象得a=b=0,故D选项正确;当2a=3b<1时,根据图象得a<b<0,故B选项正确;b<a<0不可能成立,故选A、B、D.指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小【例2】(1)已知a=313,b=915,c=(13)-32,则A.a>b>c B.c>a>bC.b>a>c D.c>b>a(2)(2023·全国甲卷11题)已知函数f(x)=e-(x-1)2,记a=f(22),b=f(32),c=A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案:(1)D(2)A解析:(1)由题知,b=915=325,c=(13)-32=332,又f(x)=3x在R上是增函数,所以f(32)>f(25)>(2)函数f(x)=e-(x-1)2是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数,y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f(62)=f(2-62),又22<2-62<32<1,所以f(22)<f(2-62)<解题技法比较指数式大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.考向2解简单的指数方程或不等式【例3】(1)(2024·常州模拟)若2x2+1≤14x-2,则函数yA.18,2C.-∞,18 D.[(2)已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f(1答案:(1)B(2)1解析:(1)14x-2=(2-2)x-2=2-2x+4,∴2x2+1≤2-2x+4,即x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3≤0,∴-3≤x≤1,此时y=2x的值域为[2-3(2)当a<1时,41-a=21,解得a=12;当a>1时,代入不成立.故a的值为1解题技法指数方程或不等式的解法(1)解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x);②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x);(2)解指数方程或不等式的方法:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解.考向3指数型函数性质的综合问题【例4】(1)(多选)(2024·杭州一模)已知函数f(x)=2x-12xA.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x)的值域为(-1,1)D.函数f(x)是减函数(2)不等式4x-2x+1+a>0对任意x∈R都成立,则实数a的取值范围是.答案:(1)AC(2)(1,+∞)解析:(1)f(x)的定义域为R,f(x)=2x-12x+1,则f(-x)=2-x-12-x+1=-2x-12x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,A正确,B错误;f(x)=2x-12x+1=1-22x+1,因为2x+1>1,所以0<12x+1<1,0<22x+1<2,所以-1<1-22x+1<1,故f(x)的值域为(-1,1),C正确;设x2>x1,则f(x2)-f(x1)=(1-22x2+1)-(1-22x1+1),22x1+1-22x2+1=2(2x2-2x1)(2x1+1)((2)原不等式可化为a>-4x+2x+1对x∈R恒成立,令t=2x,则t>0,∴y=-4x+2x+1=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,当t=1时,ymax=1,∴a>1.解题技法涉及指数型函数性质的综合问题时,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.1.若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论正确的是()A.a+b≤0 B.a-b≥0C.a-b≤0 D.a+b≥0解析:D∵ea+πb≥e-b+π-a,∴ea-π-a≥e-b-πb①,令f(x)=ex-π-x,则f(x)是R上的增函数,①式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0.2.(多选)若f(x)=e1-x2(x∈R),其中e为自然对数的底数,A.f(x)在(0,+∞)上单调递增B.f(x)在(0,+∞)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=0对称D.f(x)的图象关于点(0,0)中心对称解析:BC因为函数y=1-x2在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,y=ex在定义域R上是增函数,所以f(x)=e1-x2在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故A错误,B正确;又f(-x)=e1-(-x)2=e1-x2=f(x),所以f(x)=e1-x2(x∈R)为偶函数,函数图象关于y3.(2024·韶关一模)当0<x<12时,方程ax=1x(a>0且a≠1)有解,则实数a的取值范围是答案:(4,+∞)解析:依题意,当x∈(0,12)时,y=ax与y=1x有交点,作出y=1x的图象,如图,所以a>11.已知a>0,则a2a3A.a65C.a-56解析:Ba2a3a2=a2a2.若函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则()A.a>1,b>1B.a>1,0<b<1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<1解析:D根据图象,函数f(x)=ax-b是减函数,所以指数函数的底数a∈(0,1),根据图象的纵截距,令x=0,y=1-b∈(0,1),解得b∈(0,1),即a∈(0,1),b∈(0,1).3.(2024·合肥模拟)已知a=223,b=313,c=251A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b解析:A由a=223=34,b=313=33,c=2516=35,4.(2024·黄冈模拟)函数f(x)=(12)x2A.(0,16] B.[16,+∞)C.(0,116] D.[116,+解析:A设u=x2-6x+5,则u=x2-6x+5=(x-3)2-4≥-4,g(u)=(12)u,u≥-4,因为y=(12)x为减函数,所以0<g(u)≤g(-4)=16,即值域为(0,16],5.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A.3.6小时 B.3.8小时C.4小时 D.4.2小时解析:C由题意可得N0e-4k=45N0,可得e-4k=45,设N0e-kt=0.64N0=452N0,可得e-kt=(e-4k)2=e-8k,解得t=8.因此,污染物消除至最初的64%还需要46.(多选)(2024·聊城模拟)已知函数f(x)=2-x-2x,有下列四个结论,其中正确的是()A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-∞,+∞)上是增函数D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解解析:ABDf(x)=2-x-2x,则f(0)=120-20=0,故A正确;f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故B正确;f(x)=12x-2x在R上是减函数,故C错误;当x→-∞时,f(x)→+∞;当x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a都有解,7.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数.①当x1x2≥0时,f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f(x)为偶函数.答案:f(x)=2|x|(答案不唯一)解析:若满足①对任意的x1x2≥0有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)成立,则对应的函数为指数函数y=ax的形式;若满足②f(x)为偶函数,只需要将x加绝对值即可,所以满足①②两个条件的函数满足f(x)=a|x|(a>0,a≠1)即可.8.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式1ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,解:(1)因为f(x)的图象经过点A(1,6),B(3,24),所以b所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,12x+13x-m≥0恒成立,即m≤12x+13x在x∈又因为y=12x与y=13x均为减函数,所以y=1所以在x∈(-∞,1]上,当x=1时,y=12x+13则m≤56,故m的取值范围是-9.(2024·苏州一模)已知p:-1<x<2,q:2x+1-x<2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:B对于不等式2x+1<x+2,作出曲线y=2x+1与y=x+2的图象如图所示,由图象可知,不等式2x+1<x+2的解集为{x|-1<x<0},因为{x|-1<x<0}⫋{x|-1<x<2},因此,p是q的必要不充分条件,故选B.10.(2024·秦皇岛一模)不等式ex2-x-1>2+e+x-A.(-1,2)∪(2,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析:D构造函数f(x)=ex+x,易知函数f(x)在R上为增函数.因为不等式ex2-x-1>2+e+x-x2等价于ex2-x-1+(x2-x-1)>e+1,又f(1)=e+1,所以f(x2-x-1)>f(1),所以由函数f(x)的单调性知x2-x-1>1,即x2-x-2>0,解得x<-1或x>2,所以原不等式的解集为(-∞,11.(多选)关于函数f(x)=14x+2的性质,下列说法中正确的是A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(0,+∞)C.方程f(x)=x有且只有一个实根D.函数f(x)的图象是中心对称图形解析:ACD函数f(x)=14x+2的定义域为R,所以A正确;因为y=4x为增函数,所以函数f(x)=14x+2为减函数,所以函数f(x)的值域为0,12,所以方程f(x)=x只有一个实根,所以B不正确,C正确;因为f(x+1)+f(-x)=14x+1+2+14-x+2=14·412.(多选)(2024·宜昌模拟)若函数f(x)=a+22x+1(x∈R)是奇函数,下列选项正确的是A.a=-1B.f(x)是增函C.f(x)是减函数D.不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集为t解析:ACD因为f(x)=a+22x+1(x∈R)是奇函数,所以f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1,A正确;因为y=2x+1为增函数,且y=2x+1>1,所以y=22x+1为减函数,所以f(x)是减函数,B不正确,C正确;因为f(x)是奇函数,所以不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0等价于不等式f(2t+1)≤f(5-t),因为f(x)是减函数,所以2t+1≥5-t,解得t≥43,D正确13.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是.答案:[-23,解析:∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,∴存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),∴3-x0+m-1=-3x0-m+1,∴2m=-3-x0-3x0+2,构造函数y=-3-x-3x+2,x∈[-1,1],令t=3x,t∈[13,3],y=-1t-t+2=2-(t+1t)在[13,1)上单调递增,在(1,3]上单调递减,∴t=1时取得最大值0,t=13或t=3时取得最小值-43,y∈[-43,0],又m≠014.已知定义域为R的函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)<0,判断函数f(x)的单调性,若f(m2-2)+f(m)>0,求实数m的取值范围.解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,∴k=2,经检验k=2符合题意,∴k=2.(2)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),∵f(1)<0,∴a-1a<0,又a>0,且a≠1,∴0<a<1∴y=ax在R上为减函数,y=a-x在R上为增函数,故由单调性的性质可判断f(x)=a

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论