2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第一节　计数原理

第一节计数原理1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例，理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.1.某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（）A.180种 B.56种C.29种 D.15种解析：A从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3＝9种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4＝20种方案，根据分步乘法计数原理，该医院总共有9×20＝180种不同的选派方案，故选A.2.毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（）A.40种 B.20种C.180种 D.90种解析：D按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故C62C42C3.把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为.答案：240解析：由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有C52A44.若Cn2＝Cn－12＋Cn－13（答案：5解析：由Cnm＝Cn－1m－1＋Cn－1m，所以Cn2＝Cn3，两个计数原理1.（2024·黄冈中学一模）甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（）A.5 B.24C.32 D.64解析：D5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8（种）；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4（种）；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4（种），共计4＋4＝8（种）.根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.2.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种解析：C分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2×1＝24（种）；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48（种）.故不同的涂色方法有48＋24＝72（种）.3.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是.答案：48解析：一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个“平行线面组”，一共有6个面，共有6×6＝36（个）.长方体的每个对角面有2个“平行线面组”，共有6个对角面，一共有6×2＝12（个）.根据分类加法计数原理知共有36＋12＝48（个）平行线面组.4.由0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成个无重复数字的四位偶数.答案：420解析：要完成的一件事为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个数字不重复.因此应先分类，再分步.第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为3×4×5×4＝240.第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除千位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为3×3×5×4＝180.根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数的个数为240＋180＝420.练后悟通1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤2.涂色问题常用的两种方法简单的排列与组合问题【例1】（1）（2023·全国乙卷7题）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种C.120种 D.240种（2）（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.答案：（1）C（2）64解析：（1）法一先从6种读物中选1种作为两人选择的相同读物，再从另外5种读物中选2种分别作为甲、乙两人选择的不同读物，则不同的选法种数为C61A5法二甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6（种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C51C41＝20（种）情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120（2）由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案解题技法1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.2.组合问题常见的两类题型（1）“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.1.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.答案：60解析：当一、二、三等奖被三个不同的人获得，共有A43＝24种不同的方法，当一、二、三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有C32A42＝36，所以获奖的不同情况有2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有种不同的选法（用数字作答）.答案：660解析：法一只有1名女生时，先选1名女生，有C21种方法；再选3名男生，有C63种方法；然后排队长、副队长位置，有A42种方法.由分步乘法计数原理知，共有C21C63A42＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C62种方法；然后排队长、副队长位置，有A42种方法.由分步乘法计数原理知，共有C62法二不考虑限制条件，共有A82C62种不同的选法，而没有女生的选法有A62C42种，故至少有1名女生的选法有A82排列与组合的综合问题考向1相邻与相间问题【例2】（2022·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A.12种 B.24种C.36种 D.48种解析：B先将丙和丁捆在一起有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C21种排列方式，所以不同的排列方式共有A解题技法相邻、相间问题的解题策略（1）求相邻问题时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（2）对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.考向2定序问题【例3】元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（）A.32种 B.70种C.90种 D.280种解析：B因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有A88A44A44解题技法定序问题的求解方法n个不同元素的全排列有Ann种排法，m个特殊元素的全排列有Amm种排法.当这m个元素顺序确定时，提醒对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.考向3分组、分配问题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本；（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.解：（1）无序不均匀分组问题：先选1本有C61种选法，再从余下的5本中选2本有C52种选法，最后余下的3本全选有C33种选法.故有C6（2）有序不均匀分组问题：由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配，共有C61C52C3（3）无序均匀分组问题：先分三步，则应是C62C42C22种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C62C42C22种分法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共A3（4）有序均匀分组问题：在（3）问的基础上再分配给3个人，共有分配方式C62C42C22（5）无序部分均匀分组问题：共有C64C21C1（6）有序部分均匀分组问题：在（5）问的基础上再分配给3个人，共有分配方式C64C21C11（7）直接分配问题：甲选1本有C61种选法，乙从余下5本中选1本有C51种选法，余下4本给丙有C44种选法，共有C6解题技法1.分配问题属于“排列”问题，要按排列模型求解；而分组问题属于“组合”问题，要按组合模型求解.区分是分组问题还是分配问题的关键是看有无分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的分配对象，则为定向分配问题，否则，为不定向分配问题.2.对不同元素分组、分配问题的求解策略（1）对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann（n为均分的组数），避免重复计数.（2）对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；（3）对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有无序不平均分组和有序不平均分组两种情形.1.（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种解析：ABC如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A44＝24（种），故A正确；最左端排甲时，有A44＝24（种）不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有C31A33＝18（种）不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42（种），故B正确；因为甲、乙不相邻，先排甲、乙以外的三人，再让甲、乙插空，则有A33A42＝72（种），故C正确2.（2024·滁州一中检测）某学校安排4名老师到学校的两个入口处进行值班，每个入口至少需要1人，每人都必须参加，则安排的方法总数为.答案：14解析：若一组1人，另一组3人，则有C41＝4（种）分法，若每组2人，则有C42C22A22＝3（种）分法，将分好后的各小组分配到各入口，共有（4＋33.有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的排法共有种.答案：840解析：7名学生的排列共有A77种，其中女生的排列共有A33种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有A77A331.（2024·齐齐哈尔模拟）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（）A.13种 B.22种C.30种 D.60种解析：D根据分步乘法计数原理，共有2×6×5＝60（种）不同的选取方法，故选D.2.夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（）A.A77A7C.A33A3解析：D先将6个小吃类店铺进行全排列，有A66种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有A73种排法，故排出的摊位规划总个数为3.某大厦有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有（）A.12种 B.24种C.18种 D.36种解析：D元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C32＝3种选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有A42＝12种安排方法，则不同的乘坐方式有3×12＝364.（2023·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A.C40045·C20015种 B.C.C40030·C20030种 D.解析：D由题意知，从初中部抽取学生的人数为60×400400+200＝40，从高中部抽取学生的人数为60×200400+200＝20.完成这件事情分两步：第一步，从初中部400名学生中抽取40名学生，有C40040种方法；第二步，从高中部200名学生中抽取20名学生，有C20020种方法.根据分步乘法计数原理，得共有C5.（多选）下列等式正确的有（）A.Cnm＝n！m!(nC.Cnm＝m+1n+1C解析：ABCA是组合数公式；B是组合数性质；由m+1n+1Cn+1m+1＝m+1n+16.（多选）现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是（）A.选1人为负责人的选法种数为34B.每组选1名组长的选法种数为5400C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种解析：AD对于A，4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34（人），故选1人为负责人的选法共有34种，A对；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5040（种），B错；对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法.所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种），C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64（种）选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27（种）选法，所以第一组必须有人选的不同选法有64－27＝37（种），D对.7.男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共有种不同排法.答案：40解析：因为要求男女生相间且甲乙相邻，所以可以先排甲乙，则有A22C51＝10（种）排法，再安排剩余的4位同学，则有A22A22＝4（种）排法，所以由分步乘法计数原理可得共有8.解方程：（1）A2x4＝（2）Cn+3n+1＝Cn解：（1）由已知，可得x∈N*，2x≥4，x≥3，∴x≥3，且x∈N*，∴2x（2x－1）（2x－2）（2x－3）＝60x（x－1）（x－2），化简得4x2－23x＋33＝0，解得x＝3或x＝114∵x≥3，且x∈N*，∴x＝3，∴原方程的解为x＝3.（2）由已知，可得n≥2，且n∈N*，∵Cn+3n+1＝Cn∴Cn+3n+1＝∴Cn+32＝C∴Cn+22＋Cn+2∴Cn+21＝Cn2，即n＋2＝n（n－1）∵n≥2，且n∈N*，∴n＝4.∴原方程的解为n＝4.9.如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案种数为（）A.10 B.12C.18 D.24解析：B先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C31×C21×C11×C21＝3×2×1×10.（2024·北京模拟）在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，其中能被5整除且比4351大的数共有（）A.54个 B.62个C.74个 D.82个解析：C根据能被5整除的数的特点，分成两类.第一类：个位为0，则千位为5或6时，有A21A52＝40（个）四位数大于4351；千位为4，百位为5或6时，有A21A41＝8（个）四位数大于4351；千位为4，百位为3时，十位为6，有1个四位数大于4351.第二类：个位为5，则千位为6时，有A52＝20（个）四位数大于4351；千位为4，百位是6时，有4个四位数大于4351；千位为4，百位为3时，有1个四位数大于4351.综上，满足条件的数共有40＋8＋1＋2011.（多选）现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内.则下列说法正确的是（）A.恰有1个盒子不放球，共有72种放法B.每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C.有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D.恰有2个盒子不放球，共有84种放法解析：BCD对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C41C42A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C31种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C21＝3（种），即3×3＝9（种），故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C42C42＝36（种），故C正确；对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3，1或2，2两种情况，放入盒子，共有C412.《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数为.答案：51解析：法一恰有2个一级医院，有C32C62＝45种抽法；恰有3个一级医院，有C33C61＝6法二从9个医院里抽出4个医院进行药品抽检，共有C94＝126种抽法，抽出的医院中至少有2个一级医院的对立事件是抽出的医院中至多有1个一级医院，则恰有0个一级医院，有C30C64＝15种抽法，恰有1个一级医院，有C31C63＝6013.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出