2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-微专题5　破解嵌套函数的零点问题

破解嵌套函数的零点问题函数的零点问题是命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图象、性质求解.一、嵌套函数零点个数的判断【例1】已知函数f（x）＝lnx－1x，x>0，x2+2x，x≤A.2 B.3C.4 D.5解析：D令t＝f（x）＋1＝lnx－1x+1，x>0，（x+1）2，x≤0.当t＞0时，f（t）＝lnt－1t，则函数f（t）在（0，＋∞）上单调递增，因为f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln2－12＞0，所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈（1，2），使得f（t1）＝0；当t≤0时，f（t）＝t2＋2t，由f（t）＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f（x）＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f（x）＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f（x）＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f（x）＋点评（1）判断嵌套函数零点个数的主要步骤：①换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；②依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数.（2）抓住两点：①转化换元；②充分利用函数的图象与性质.（2024·青岛模拟）已知函数f（x）＝ex，x<0，4x3－6x2+1，x≥0，其中e为自然对数的底数，则函数g（x）＝A.4 B.5C.6 D.3解析：A当x≥0时，f（x）＝4x3－6x2＋1的导数为f'（x）＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，可得f（x）在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f（0）＝1，作出函数f（x）的图象，g（x）＝3[f（x）]2－10f（x）＋3，令t＝f（x），则g（x）＝g（t）＝3t2－10t＋3，令g（x）＝g（t）＝0，则3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或13，当t＝13，即f（x）＝13时，g（x）有三个零点；当t＝3时，可得f（x）＝3有一个实根，即g（x）有一个零点，综上，g（x二、求嵌套函数零点中的参数【例2】函数f（x）＝ln(-x－1),x＜－1，2x+1，x≥－1，若函数答案：[－1，＋∞）解析：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝0，则a＝f（t）.在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象（如图）.易知当a＜－1时只有一个零点，当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点.点评（1）求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数；（2）处理含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.已知函数f（x）＝4sinπx，0<x≤1，2x－1＋x，x>1，若关于x的方程[f（x）]2－（2－m答案：（－3，－1）解析：作出函数f（x）的大致图象，如图所示，则f（x）的定义域为（0，＋∞），值域为[0，＋∞），令t＝f（x），则[f（x）]2－（2－m）f（x）＋1－m＝0可化为t2－（2－m）t＋1－m＝（t－1＋m）（t－1）＝0，t∈[0，＋∞），则t1＝1或t2＝1－m，则关于x的方程[f（x）]2－（2－m）·f（x）＋1－m＝0恰有5个不同的实数解，等价于t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2的交点个数之和为5，由图可得函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1的交点个数为2，所以t＝f（x）的图象与直线t＝t2的交点个数为3，即此时2＜1－m＜4，解得－3＜m＜－1.1.（2024·巢湖模拟）函数f（x）＝（3x－27）·ln（x－1）的零点为（）A.2，3 B.2C.（2，0） D.（2，0），（3，0）解析：A由f（x）＝0，得（3x－27）ln（x－1）＝0，即3x－27＝0或ln（x－1）＝0，解得x＝3或x＝2，所以函数f（x）＝（3x－27）ln（x－1）的零点为2，3，故选A.2.设函数f（x）＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f（1）＜0，f（3）＞0，则方程的近似解落在区间（）A.（1，32） B.（32C.（2，52） D.（52解析：A取x1＝2，因为f（2）＝4×8＋2－8＝26＞0，所以方程近似解x0∈（1，2），取x2＝32，因为f（32）＝4×278＋32－8＝7＞0，所以方程近似解x0∈3.（2024·陇南模拟）若x0是方程2x＝12－3x的解，则x0所在的区间为（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）解析：C因为函数f（x）＝2x＋3x－12为增函数，又f（2）＝22＋6－12＝－2＜0，f（3）＝23＋9－12＝5＞0，所以函数f（x）的零点所在区间是（2，3），即x0∈（2，3）.故选C.4.（2024·肇庆模拟）函数f（x）＝2x－2x－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（A.0＜a＜3 B.1＜a＜3C.1＜a＜2 D.a≥2解析：A因为函数y＝2x，y＝－2x在（0，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）＝2x－2x－a在（0，＋∞）上单调递增，由函数f（x）＝2x－2x－a的一个零点在区间（1，2）内得f（1）＝－a＜0，f（2）＝3－a＞0，解得0＜a＜35.（2024·淮南第一次联考）若函数f（x）＝log4（x－1),x>1，A.[－3，0） B.[－1，0）C.[0，1） D.[－3，＋∞）解析：A因为函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，且f（2）＝0，即f（x）在（1，＋∞）上有一个零点，函数f（x）＝log4（x－1),x>1，－3x－m，x≤1存在2个零点，当且仅当f（x）在（－∞，1]上有一个零点，x≤1时，f（x）＝0⇔m＝－3x，即函数y＝－3x在（－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公共点，而y＝－3x在（－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x＜0，则当－3≤m＜0时6.（多选）已知函数f（x）＝13x－log2x，0＜a＜b＜c，f（a）f（b）f（c）＜0，实数d是函数f（x）的一个零点.给出下列四个判断，其中可能成立的是（A.d＜a B.d＞bC.d＞c D.d＜c解析：ABD由y＝13x在（0，＋∞）上单调递减，y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，可得f（x）＝13x－log2x在定义域（0，＋∞）上是减函数，当0＜a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c），因为f（a）f（b）·f（c）＜0，f（d）＝0，所以①f（a），f（b），f（c）都为负值，则a，b，c都大于d；②f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d7.（2024·海宁模拟）函数f（x）＝36－x2·cosx答案：6解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f（x）的定义域为[－6，6].令f（x）＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝π2＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－3π2，－π2，π2，3π2.故f8.设函数f（x）＝1－1x（x＞（1）作出函数f（x）的图象；（2）当0＜a＜b且f（a）＝f（b）时，求1a＋1b（3）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围.解：（1）函数f（x）的图象如图所示.（2）因为f（x）＝1－1故f（x）在（0，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，由0＜a＜b且f（a）＝f（b），得0＜a＜1＜b，且1a－1＝1－1b，所以1a＋（3）由函数f（x）的图象可知，当0＜m＜1时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围为（0，1）.9.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（）A.6 B.7C.12 D.13解析：D因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f12＝f－12，f12＝－f－12，因此f12＝f－12＝0，则f－52＝f－32＝f－12＝f12＝f32＝f52＝0，10.已知函数f（x）＝ex＋x，g（x）＝lnx＋x，h（x）＝sinx＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A.c＜b＜a B.b＜a＜cC.a＜c＜b D.c＜a＜b解析：C函数f（x）＝ex＋x，g（x）＝lnx＋x，h（x）＝sinx＋x的零点转化为y＝ex，y＝lnx，y＝sinx与y＝－x的图象的交点的横坐标，因为零点分别为a，b，c，在坐标系中画出y＝ex，y＝lnx，y＝sinx与y＝－x的图象如图，可知a＜0，b＞0，c＝0，满足a＜c＜b.故选C.11.对于函数f（x）和g（x），设α∈{x｜f（x）＝0}，β∈{x｜g（x）＝0}，若存在α，β，使得｜α－β｜＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”.若函数f（x）＝ex－1＋x－2与g（x）＝x2－ax＋1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）A.2B.[2，＋∞）C.[－2，2]D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）解析：B∵f（x）＝ex－1＋x－2，∴f（x）在R上为增函数，又f（1）＝e0＋1－2＝0，∴f（x）有唯一零点为1，令g（x）的零点为x0，依题意知｜x0－1｜＜1，即0＜x0＜2，即函数g（x）在（0，2）上有零点，令g（x）＝0，则x2－ax＋1＝0在（0，2）上有解，即a＝x＋1x在（0，2）上有解，∵x＋1x≥2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，∴12.（多选）已知函数f（x）＝－x2－2x，x≤0，｜log2x|,x>0，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1C.1＜x4＜2 D.0＜k＜1解析：BCD由函数f（x）＝－x2－2x，x≤0，｜log2x|,x>0，作出其函数图象如图所示，由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；当y＝1时，｜log2x｜＝1，解得x＝12或x＝2；所以12＜x3＜1＜x4＜2；由f（x3）＝f（x4），得｜log2x3｜＝｜log2x4｜，即log2x3＋log2x4＝0，13.（2024·南京模拟）函数f（x）＝1｜x－1｜－1－cosπx在[－1，答案：4解析：令f（x）＝1｜x－1｜－1－cosπx＝0，即1｜x－1｜＝1＋cosπx，函数y＝1｜x－1｜和y＝1＋cosπx都关于x＝1对称，所以函数y＝1｜x－1｜和y＝1＋cosπx的交点也关于x＝1对称，如图画出两个函数在区间[－1，3]的函数图象，由图象知，两个函数图象在[－1，3]上有4个交点，14.已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，证明a＞0，并用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0，1]内有两个实根.证明：∵f（1）＞0，∴3a＋2b＋c＞0，即3（a＋b＋c）－b－2c＞0，∴－b－2c＞0，即－b－c＞c.又a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，∴a＞c.∵f（0）＞0，∴c＞0，则a＞0.取区间[0，1]的中点12则f（12）＝34a＋b＋c＝34a＋（－a）＝－1∵f（0）＞0，f（1）＞0，∴函数f（x）在区间（0，12）和（12，1）又f（x）为一元二次函数，最多有两个零点，故方程f（x）＝0在区间[0，1]内有两个实根.15.已知函数f（x）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝（x－1）2，0<x≤2，f（x－2）+1，A.4 B.5C.6 D.7解析：C因为当x∈（0，2]时，f（x）＝（x－1）2，当x＞2时，f（x）＝f（x－2）＋1，所以将f（x）在区间（0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f（x）在（2，4]上的图象.同理可得到f（x）在（4，6]，（6，8]，…上的图象.再由f（x）的图象关于y轴对称得到f（x）在（－∞，0）上的图象，从而得到f（x）在其定义域内的图象，如图所示，令g（x）＝0，得f（x）＝0或f（x）＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f（x）的图象共有6个交点，所以函数g（x）共有6个零点.故选C.16.已知f（x）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝3x－7，0<x≤2，（1）若函数g（x）恰有三个不相同的零点，求实数a的值；（2）记h（a）为函数g（x）的所有零点之和.当－1＜a＜1时，求h（a）的取值范围.解：（1）作出函数f（x）的图象，如图，由图象可知，当且仅当a＝2或a＝－2时，直线y＝a与函数y＝f（x