第21练　三次函数的性质（解析）

第21练三次函数的性质(分值：40分)三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质(1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时,f(x)是奇函数.(2)对称性：中心对称,且对称中心是-b3a,f-b3a.引申性质：若y=f(x)是可导函数.①若图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称；②若图象关于直线x=m对称,则y=f'(x)的图象关于点(m,0)对称；③奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.(3)根与系数的关系设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,x2,x3,则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比较系数可得x1+x2+x3=-ba,x1x2+x2x3+x3x1=ca,x1x2x(4)三次函数切线条数设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N-b3a,f-b3a处的切线为l,函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域,如图1(a<0①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时,过点P的切线有且仅有一条；②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时,过点P的切线有两条；③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时,过点P的切线有三条.一、单项选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞B.[-3,C.(-∞,-3)∪(3,+∞D.(-3,答案B解析由f(x)=-x3+ax2-x-1,得f'(x)=-3x2+2ax-1,因为函数在R上单调,所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,则Δ=4a2-12≤0⇒-3≤a≤3所以实数a的取值范围是[-3,32.已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-72,则f

12026+f

22026+f

32026+A.2024 B.2025C.2025 D.2026答案B解析由f(x)=2x3-3x2+9x-72,可得f'(x)=6x2-6x+9,令g(x)=6x2-6x+9,g'(x)=12x令g'(x)=12x-6=0,得x=12,又f

12=2×123-3×122+9×12-72=12,所以对称中心为12,12,f

12026+f

20252026=1,f

22026+f

20242026=1,…,f

10122026+f

10142026二、多项选择题(每小题6分,共12分)3.(2024·合肥模拟)已知三次函数f(x)=x3+ax+2,下列叙述正确的是()A.当a=1时,函数f(x)无极值点B.函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称C.过点(0,2)的切线有两条D.当a<-3时,函数f(x)有3个零点答案ABD解析对于A,当a=1时,f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0,f(x)单调递增,无极值点,故A正确；对于B,因为f(x)+f(-x)=4,所以函数f(x)的图象关于点(0,2)中心对称,故B正确；对于C,设切点坐标为(x1,f(x1)),则切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),因为切线过点(0,2),所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1),即2-x13-ax1-2=-3x13-ax1,解得即只有一个切点,即只有一条切线,故C错误；对于D,f'(x)=3x2+a,当a<-3时,令f'(x)=0,得x=±-当x∈-∞,--a3时,f'(x)>0,当x∈--a3,-a3时,f'(x)当x∈-a3,+∞时,f'(x)>0,f(又f(x)有极大值为f

--a3>f(0)=2>0,所以若函数f(x)有则f(x)有极小值为f

-a3=2a3-a3+2<0,4.(2025·长沙模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有三个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),函数g(x)=f(x)-1也有三个零点t1,t2,t3(t1<t2<t3),则()A.b2>3acB.若x1,x2,x3成等差数列,则x2=-bC.x1+x3<t1+t3D.x12+x22+x32答案ABD解析因为f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f'(x)=3ax2+2bx+c,a≠0,对称中心为-对于A,因为f(x)有三个不同的零点,所以f(x)必有两个极值点,即f'(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不同的实根,所以Δ=4b2-12ac>0,即b2>3ac,故A正确；对于B,由x1,x2,x3成等差数列,及三次函数的中心对称性,可知(x2,f(x2))为f(x)的对称中心,所以x2=-b3a,对于C,函数g(x)=f(x)-1,当g(x)=0时,f(x)=1,则直线y=1与y=f(x)图象的交点的横坐标即为t1,t2,t3,当a>0时,画出f(x)与y=1的图象,由图可知,x1<t1,x3<t3,则x1+x3<t1+t3,当a<0时,则x1+x3>t1+t3,故C错误；对于D,由题意得a整理得x得(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=(t1+t2+t3即x12+x22+x32=t12三、填空题(共5分)5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1,x2,x3,且在点(xi,f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1,2,3),则1k1+1k2+1答案0解析设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),则f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3),由导数的几何意义可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3),k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3),k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2),所以1k1+1k2+1k3=1a(x四、解答题(共13分)6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=13x3-m2x2+(1)当m=1时,求f

1100+f

2100+…+f

98100+f(2)若不等式2xlnx+f'(x)+3≥0恒成立,求实数m的取值范围.(7分)解(1)函数f(x)=13x3-m2x2当m=1时,f(x)=13x3-12x2∵f'(x)=x2-x,∴f″(x)=2x-1,令f″(x)=2x-1=0,解得x=1则对称中心的纵坐标为f

12=1,∴f(x)+f(1-x)=2,∴f

1100+f

99100=2,f

2100+f

98100=2,…,f

49100+f

51100则f

1100+f

2100+…+f

98100+f

99100(2)∵2xlnx+f'(x)+3≥0,f'(x)=x2-mx,即mx≤2xlnx+x2+3,又x>0,∴m≤2xlnx+x2+3x在x∈令t(x)=2xlnx+x2+3∴m≤t(x)