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文档简介
专题05根与系数的关系(8大类型精准练+过关检测)
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型强知识:8大核心考点精准练
第二步:记
串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
1.一元二次方程根与系数的关系
bc
如果方程ax2bxc0(a0)有两个实数根x,x那么xx,xx
12,12a12a
文字语言:一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数
项与二次项系数的比
使用条件:
(1)方程是一元二次方程,即二次项系数a≠0:
(2)方程有实数根,即△≥0
2.有关根与系数的关系的两个重要推论
()以,为实数根的一元二次方程二次项系数为是2
1x1x2(1)xx1x2xx1x20;
()如果方程2的两个实数根是,那么,
2xmxn0;x1x2,x1x2mx1x2n
3.几种主要的代数式求值问题
1
【课前热身】
1.判别下列方程根的情况.若有两个实数根,求出两个根的和与积.
(1)x24x10;
(2)x22x10;
(3)x23x20;
(4)x24x0.
.已知,是方程2的两根,求下列各式的值:
2x1x22x6x30
()
1x1x2
()
2x1x2
()22.
3x1x2
3.已知关于x的一元二次方程3x219xm0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.
4.方程ax2bx100(a0)的两根之和与两根之积都等于10,求a,b的值.
【题型1】不解方程求两根之和与两根之积
.(•汇川区四模)已知,是方程2的两个实数根,则的值为
12025x1x2x3x10x1x2()
A.1B.1C.3D.3
2.(2025春•界首市期中)若关于x的一元二次方程x2mx的两个实数根分别为,,则.
3.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)(x1)(x2)2;
(2)3x27x6.
4.求下列方程两根的和与两根的积:
(1)x24x10;
(2)2x23x2;
(3)3x22x0;
(4)4x21.
2
【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值
.(春•天津校级月考)已知,分别是方程2的两个根,则代数式33的值为
52025x1x2x4x30()
x1x2
A.4B.5C.2D.6
6.(2025春•泉州期中)设a,b是方程x2x20180的两个实数根,则a2aab的值为()
A.0B.1C.4036D.2018
.(春•马边县期中)已知一元二次方程2的两根为,,则2的值为.
72025x3x10x1x2x15x12x2
.(秋•天河区校级月考)设,是方程2的两个根,利用根与系数的关系,求下列
82024x1x22x4x30
各式的值:
();
1(x12)(x22)
xx
(2)21.
x1x2
.(春•濉溪县期中)设,是方程2的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式
92025x1x22x4x30
的值.
();
1(x11)(x21)
11
(2).
x1x2
【题型3】已知代数式的值求参数
m
10.(2025•聊城模拟)已知关于x的一元二次方程mx2(m2)x0有两个不相等的实数根x,x.若
412
11
4m,则m的值是()
x1x2
A.2B.1C.2或1D.不存在
.(•绥化二模)设,是关于的方程2的两个根,且,则.
112025x1x2xx4xm0x1x2x1x22m
.(春•北仑区期中)已知关于的一元二次方程2有两个实数根,.实数满
122025xxmx2m10x1x2m
6
足(x1)(x1),则实数m的值为.
12m1
3
13.(2025•和平区校级模拟)已知关于x的一元二次方程x24x2m50有两个实数根.
(1)求实数m的取值范围:
()若、是该方程的两个根,且满足2,求的值.
2x1x2x1x2x1x2m6m
.(•和平区校级一模)关于的一元二次方程22有两个实数根和.
142025xx(2m1)xm0x1x2
(1)求实数m的取值范围;
()当时,求的值.
2x1x2x1x22m
.(•高密市三模)已知关于的一元二次方程2有两个实数根和.
152025xx2xk10x1x2
(1)求实数k的取值范围;
()若两个实数根和满足,求的整数值.
2x1x2x1x2x1x24k
【题型4】已知方程的一根求另一个根
16.(2025•鹿城区校级三模)若x3是关于x的一元二次方程x2mx30的一个根,则该方程的另一个
根是()
A.x1B.x4C.x1D.x2
17.(2025春•凤阳县校级期中)已知关于x的一元二次方程ax22axk20有两个实数根.
(1)若方程的一个根为2,求方程的另一个根;
(2)当a1时,求实数k的取值范围.
4
18.(2024秋•潮阳区期末)若x1是关于x的方程(m1)x2x20的一个根,求m的值和方程的另
一根.
19.(2025春•永康市期中)已知关于x的方程x2mxm30.
(1)若该方程有一个根为3,求方程的另一根;
(2)求证:不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【题型5】已知两根求一元二次方程
20.(2024秋•平顶山期末)已知一元二次方程的两根分别是3和2,则这个一元二次方程是()
A.x2x60B.x25x60C.x2x60D.x2x60
21.(2024秋•即墨区期中)已知一元二次方程的两根分别是2和3,则这个一元二次方程
是.
22.(2010春•怀化校级期中)已知一元二次方程的两根为:75,75,则这个方程是.
23.(2024秋•辉县市校级月考)解某个一元二次方程时,甲看错了方程的常数项,因而得出的两根为8和
2;乙看错了方程的一次项的系数,因而得出两根为9或1,那么正确的方程为()
A.x210x90B.x210x90C.x210x90D.x210x90
24.已知一元二次方程的两根都是整数,且不相等,若其中一根是另一根的整数倍,则称该方程是整根方
程.例如:2的两根为,.因为是的倍,所以2是整根方程.
xx20x11x22212xx20
(1)求证:方程x23x180是整根方程;
(2)若存在正整数m,使关于x的一元二次方程x2(m5)x4m40是整根方程,且关于x的一元二
次方程x24x2m0有实数根,求m的值.
5
【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题
.(春•崇川区校级月考)关于的一元二次方程2的有两个实数根为,.
252025xmx2mxm20x1x2
(1)求m的取值范围;
()若,求的值.
2|x1x2|1m
26.(2025•邗江区校级二模)已知关于x的方程:x22kxk230,其中k是常数.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若m、n是此方程的两个根,当k1时,求代数式2025m22m4n的值.
27.(2025•尤溪县一模)已知实数k、m、n(mn),且满足m22m3k1,n22n3k1.
(1)求证:mn的值是定值;
(2)若m、n同号,求k的取值范围;
mn
(3)当m、n同号时,设p,求p的取值范围.
nm
6
28.(2025•凉州区校级二模)已知关于x的方程x22axa2b0,其中a,b为实数.
(1)当a3,b2时,求方程两根的平方和.
(2)当a0时,若方程有一个根为2a,判断a与b的大小关系并说明理由.
(3)若对于任何实数a,此方程都有实数根,求b的取值范围.
【题型7】根与系数的关系与几何问题
1
29.(2025春•西湖区校级期中)已知关于x的一元二次方程x2mxm210.
4
(1)证明:该方程一定有两个不相等的实数根.
(2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度,当这个直角三角形的斜边长为10时,
求m的值.
30.(2025•五通桥区模拟)已知:平行四边形ABCD的两条边AB,AD的长是关于x的方程
1
2x22mxm0的两个实数根.
2
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形;
(2)若AB2,求平行四边形ABCD的周长.
7
31.(2025春•杭州期中)已知ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x22(n1)xn22n0
的两个根,第三边BC的长是10.
(1)求证:无论n取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)当n为何值时,ABC为等腰三角形?并求ABC的周长.
(3)当n为何值时,ABC是以BC为斜边的直角三角形?
【题型8】新定义探究问题
32.(2025春•温州期中)定义:如果关于x的一元二次方程ax2bxc0(a,b,c均为常数,a0)有
两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是(填序号).
①x210;
②x26x90;
③x23x20.
(2)若(x2)(xn)0是“邻根方程”,求n的值.
(3)若一元二次方程x2bxc0(b,c均为常数)为“邻根方程”,请写出b,c满足的数量关系,并
说明理由.
.(春•舟山期中)已知关于,是一元二次方程2的两个实数根,若满足,
332025x1x2axbxc0|x1x2|1
则此类方程叫做差根方程.根据“差根方程”的定义,解决下列问题:
(1)下列是“差根方程”的是;(填写序号)
①x2x0;②x24x50
(2)已知关于x的方程x22ax0是“差根方程”,求a的值.
(3)已知△ABC是直角三角形,BC的长为5,若△ABC的两边AB、AC的长是一个“差根方程”的
两个实数根,求出这个差根方程.
8
一.选择题(共6小题)
.(•柳州三模)若、是方程2的两个根,则的值为
12025x1x2xx60x1x2()
A.1B.1C.6D.6
.(•秦皇岛模拟)已知,是关于的方程22的两个根,下列结论一定正确的是
22025x1x2xx(k1)xk0
()
...,.
Ax1x2Bx1x2Cx1x20Dx1x20
3.(2025•绵阳三模)已知a和b是方程x22025x30的两个解,则a22024ab的值为()
A.2020B.2024C.2026D.2028
4.(2025•西陵区模拟)已知一元二次方程x23xm0的一个根为1,则它的另一个根是()
A.2B.1C.1D.2
5.(2025•江阳区校级模拟)已知四边形ABCD是菱形,菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方
m1
程x2mx0的两个实数根,则m的值为()
24
A.2B.1C.1D.2
6.(2025•市中区模拟)关于x的方程x22k1x2k0的两实根异号,则k满足的条件是()
9
A.k1B.1k1C.k0D.1k0
二.填空题(共6小题)
7.(2025•信都区二模)若关于x的一元二次方程x2mx30的两个根分别为1,a,则a1.
8.(2025•天河区校级二模)已知a,b(ab)是方程x2x20240的两个实数根,则代数式a22025b
的值为.
.(•青羊区校级模拟)若,是方程2的两个根,则22.
92025x1x22x3x103x13x1x2
10.(2025•郫都区校级模拟)若一元二次方程x24x20的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长,
则这个直角三角形的周长为.
11.(2025•广州模拟)对于字母m、n,定义新运算m☆nmnmn,若方程x23x10的解为a、
b,则a☆b2的值为.
12.(2025•镇江模拟)定义:若一元二次方程有两个整数根,且其中一个根是另一个根的整数倍,则称该
方程是“一元二次倍根方程”.例如:方程2的两个根为,,因为是的倍,
x3x20x11x22x2x12
所以方程x23x20是“一元二次倍根方程”.已知n是正整数,若关于x的一元二次方程
x2(n4)x3n30是“一元二次倍根方程”,且关于y的一元二次方程y25yn0总有两个不相等
的实数根,则n的值为.
三.解答题(共6小题)
13.(2025春•昭平县期中)已知关于x的一元二次方程(m1)x23x20有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
()在()的条件下,若取最大正整数值,设、是该方程的两根,求22的值.
21mx1x2x1x2x1x25
.(•南充)设,是关于的方程2的两根.
142025x1x2x(x1)(x2)m
()当时,求及的值.
1x11x2m
()求证:.
2(x11)(x21)0
.(•舒城县模拟)已知关于的一元二次方程2为常数)有两个不相等的实数根和
152025xxpx10(px1
.
x2
(1)若方程有一个根为2,求p的值;
()敏敏求出,老师说敏敏的这个答案一定有误,你同意老师的观点吗?并给出理由.
2x1x23p
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