三年高考(2025-2026)数学(文)真题分项版分析-专题03导数

三年高考（2025-2026）数学（文）试题分项版解析第三章导数一、选择题1.【2025高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每SKIPIF1<0千米平均耗油量为（）A．SKIPIF1<0升B．SKIPIF1<0升C．SKIPIF1<0升D．SKIPIF1<0升【答案】B【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每SKIPIF1<0千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．2.【2025湖南文9】若SKIPIF1<0，则（） A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0 【答案】C【解析】设函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,求函数求导可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0符号不确定且SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0单调性不确定,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,则SKIPIF1<0,所以选项C是正确的,故选C.【考点定位】导数单调性【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.3.【2025高考湖南，文8】设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是()A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数SKIPIF1<0在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求SKIPIF1<0；(2)确认SKIPIF1<0在(a，b)内的符号；(3)作出结论：SKIPIF1<0时为增函数；SKIPIF1<0时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.4.【2025高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0.考点：函数的解析式.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解析式等知识，属于难题.解题时要认真理解题意，“一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分”，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语言转化为数学语言，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而确定出参数SKIPIF1<05.【2025全国2，文11】若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【考点定位】函数的单调性.【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时端点值能否取到认真判断．6.【2025高考新课标1文数】若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,则a的取值范围是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C【解析】试题分析：SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,构造SKIPIF1<0,开口向下的二次函数SKIPIF1<0的最小值的可能值为端点值,故只需保证SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0．故选C．考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.7.【2025全国1，文12】已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在唯一的零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是()SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.8.【2025高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)=SKIPIF1<0图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)【答案】A【解析】考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点SKIPIF1<0坐标，由两直线相交得出SKIPIF1<0点坐标，从而求得面积，题中把面积用SKIPIF1<0表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．9.【2025高考四川文科】已知SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的极小值点，则SKIPIF1<0=()(A)-4(B)-2(C)4(D)2【答案】D【解析】试题分析：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0极小值为SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，故选D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，但SKIPIF1<0是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在SKIPIF1<0附近，如果SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是极小值点，如果SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是极大值点，10.【2025高考福建，文12】“对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．综上所述，“对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，选B．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．11.(2025课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()．A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)答案：C解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1存在两个零点，不合题意；当a＞0时，f′(x)＝3ax2－6x＝SKIPIF1<0，令f′(x)＝0，得x1＝0，SKIPIF1<0，所以f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，要使f(x)有唯一的零点，需SKIPIF1<0，但这时零点x0一定小于0，不合题意；当a＜0时，f′(x)＝3ax2－6x＝SKIPIF1<0，令f′(x)＝0，得x1＝0，SKIPIF1<0，这时f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，要使f(x)有唯一零点，应满足SKIPIF1<0，解得a＜－2(a＞2舍去)，且这时零点x0一定大于0，满足题意，故a的取值范围是(－∞，－2)．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题.注意区别函数的零点与极值点.12.【2025辽宁文12】当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.二、填空题1.【2025高考广东卷.文.11】曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故所求的切线的斜率为SKIPIF1<0,故所求的切线的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点SKIPIF1<0处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：=1\*GB3①切点在曲线上；=2\*GB3②切点在切线上；=3\*GB3③切点处的导数值等于切线的斜率．2.[2025高考新课标Ⅲ文数]已知SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程式_____________________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】试题分析：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则切线斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数SKIPIF1<0为偶函数，则当SKIPIF1<0时，函数的解析式为SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0为奇函数，则函数的解析式为SKIPIF1<0．3.【2025高考陕西，文15】函数SKIPIF1<0在其极值点处的切线方程为____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在其极值点处的切线方程为SKIPIF1<0【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：eq\o\ac(○,1)切点在曲线上；eq\o\ac(○,2)切点在切线上；eq\o\ac(○,3)切点处导函数值等于切线斜率.4.【2025高考新课标1，文14】已知函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0的处的切线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】1【解析】试题分析：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即切线斜率SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴切点为（1，SKIPIF1<0），∵切线过（2,7），∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<01.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.5.【2025，安徽文15】若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0满足下列两个条件：SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处与曲线SKIPIF1<0相切；SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于直线SKIPIF1<0的两侧，则称直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处“切过”曲线SKIPIF1<0，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处“切过”曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0②直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处“切过”曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0③直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处“切过”曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0④直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处“切过”曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0⑤直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处“切过”曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【答案】①③④，【解析】试题分析：由题意，①SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切线的两侧，满足条件；②SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切线的同侧，不满足条件；③SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切线的两侧，满足条件；④SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切线的两侧，满足条件；⑤SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切线的同侧，不满足条件，故选①③④，如下图：考点：1，函数的切线方程；2，对定义的理解，【名师点睛】对于函数新定义的创新题，要紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.已知SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.6.【2025高考天津，文11】已知函数SKIPIF1<0,其中a为实数,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数,若SKIPIF1<0,则a的值为．【答案】3【解析】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出SKIPIF1<0由,再由SKIPIF1<0可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.7.【2025新课标2文16】已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与曲线SKIPIF1<0相切,则a=．【答案】8【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.三、解答题1.【2025高考北京文第20题】（本小题满分13分）已知函数SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值；（2）若过点SKIPIF1<0存在3条直线与曲线SKIPIF1<0相切，求t的取值范围；（3）问过点SKIPIF1<0分别存在几条直线与曲线SKIPIF1<0相切？（只需写出结论）【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出SKIPIF1<0，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果..试题解析：(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0.（2）设过点P（1，t）的直线与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且切线斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则“过点SKIPIF1<0存在3条直线与曲线SKIPIF1<0相切”等价于“SKIPIF1<0有3个不同零点”，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的情况如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0SKIPIF1<00+SKIPIF1<0t+3SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上分别至多有1个零点，所以SKIPIF1<0至多有2个零点，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上分别至多有1个零点，所以SKIPIF1<0至多有2个零点.当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0分别为区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上恰有1个零点，由于SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调，所以SKIPIF1<0分别在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上恰有1个零点.综上可知，当过点SKIPIF1<0存在3条直线与曲线SKIPIF1<0相切时，t的取值范围是SKIPIF1<0.（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线SKIPIF1<0相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线SKIPIF1<0相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线SKIPIF1<0相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.2.【2025高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0的单调区间和极值；（II）证明：若SKIPIF1<0存在零点，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上仅有一个零点．【答案】（I）单调递减区间是SKIPIF1<0，单调递增区间是SKIPIF1<0；极小值SKIPIF1<0；（II）证明详见解析.试题解析：（Ⅰ）由SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的情况如下：所以，SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0，单调递增区间是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0存在零点，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的唯一零点.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上仅有一个零点.综上可知，若SKIPIF1<0存在零点，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数SKIPIF1<0的单调性与极值的步骤：=1\*GB3①确定函数SKIPIF1<0的定义域；=2\*GB3②对SKIPIF1<0求导；=3\*GB3③求方程SKIPIF1<0的所有实数根；=4\*GB3④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：=1\*GB3①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；=2\*GB3②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．3.【2025高考广东卷.文.21】(本小题满分14分)已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时,试讨论是否存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】(1)SKIPIF1<0,方程SKIPIF1<0的判别式为SKIPIF1<0,①当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数；②当SKIPIF1<0时,方程SKIPIF1<0的两根分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,此时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0；综上所述,当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,必须SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,方程的两根为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,依题意,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,故欲使满足题意的SKIPIF1<0存在,则SKIPIF1<0,所以,当SKIPIF1<0时,存在唯一SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,不存在SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数SKIPIF1<0的单调区间的步骤：=1\*GB3①确定函数SKIPIF1<0的定义域；=2\*GB3②对SKIPIF1<0求导；=3\*GB3③令SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0的范围就是递增区间，令SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0的范围就是递减区间．4.【2025高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数SKIPIF1<0．(I)讨论SKIPIF1<0的单调性；(II)若SKIPIF1<0有两个零点,求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】见解析(II)SKIPIF1<0【解析】试题分析：(I)先求得SKIPIF1<0再根据1,0,2a的大小进行分类确定SKIPIF1<0的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为SKIPIF1<0.③若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,在SKIPIF1<0单调递减.(II)(i)设SKIPIF1<0,则由(I)知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,在SKIPIF1<0单调递增.又SKIPIF1<0,取b满足b<0且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0有两个零点.(ii)设a=0,则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0有一个零点.(iii)设a<0,若SKIPIF1<0,则由(I)知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增.又当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0<0,故SKIPIF1<0不存在两个零点；若SKIPIF1<0,则由(I)知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,在SKIPIF1<0单调递增.又当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0<0,故SKIPIF1<0不存在两个零点.综上,a的取值范围为SKIPIF1<0.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.5.【2025高考广东，文21】（本小题满分14分）设SKIPIF1<0为实数，函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）讨论SKIPIF1<0的单调性；（3）当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的零点个数．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一个零点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个零点．（2）SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0，其对称轴为SKIPIF1<0，开口向上，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；对于SKIPIF1<0，其对称轴为SKIPIF1<0，开口向上，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.综上所述，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.（3）由（2）得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0.(i)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0无交点.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一个零点SKIPIF1<0.(ii)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.下面比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0结合图象不难得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点.综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一个零点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：=1\*GB3①求零点；=2\*GB3②划区间，去绝对值号；=3\*GB3③分别解去掉绝对值的不等式；=4\*GB3④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：=1\*GB3①基本初等函数的单调性；=2\*GB3②导数法．判断函数零点的个数的方法：=1\*GB3①解方程法；=2\*GB3②图象法．6.【2025湖南文21】已知函数SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的单调区间；（2）记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的从小到大的第SKIPIF1<0个零点，证明：对一切SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.【答案】(1)单调递减区间为SKIPIF1<0,单调递增区间为SKIPIF1<0.(2)详见解析【解析】试题分析:(1)对函数SKIPIF1<0求导得到导函数SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0大于0和小于0的解集得到单调减区间和单调增区间,但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域SKIPIF1<0.试题解析:数SKIPIF1<0求导可得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,故函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0,单调递增区间为SKIPIF1<0.(2)由(1)可知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0,且函数SKIPIF1<0的图像是连续不断的,所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内至少存在一个零点,又SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调的,故SKIPIF1<0,因此,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,综上所述,对一切的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域．2．利用单调性求最值时不要忽视f′(x)＝0的情况．3．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件．7.【2025高考新课标2文数】已知函数SKIPIF1<0.（=1\*ROMANI）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0（II）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，（i）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因此SKIPIF1<0；（ii）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，因此SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0考点：导数的几何意义，函数的单调性.【名师点睛】求函数的单调区间的方法：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．8.【2025山东.文20】（本题满分13分)设函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0处的切线方程；讨论函数SKIPIF1<0的单调性.【答案】（1）SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.【解析】试题分析：（1）由题意知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求切线的斜率，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为SKIPIF1<0.（2）函数SKIPIF1<0的